AM
BM
qy'
2p -j- qx'
L'angle M de ces cordes , d'après la formule connue
tang M = : ,
“ 1 ao' '
sera déterminé généralement par l’expression
2p qx’ x'
tangM= '
Zp-\-qx'. X'
laquelle se rëduii à
“e“=-3+ïî7^
et, remplaçant P et 9 par leurs valeurs en fonction des demi-axes,
. M 2ÀB=* ,
tangM^
La plus grande valeur de y' , Y' = B ,• donne pour la valeur minimum dé là tangente
lang M = — j2"Z. ~
et cette tangente étant négative, on en conclut que dans l’ellipse le pdus grand angle que puissent faire deux cordes supplémentaires est l’angle obtus formé par les cordes supplémentaires qui joignent les extrémités du grand axe et l’extrémité du petit axe ; et le plus petit l’angle BCE = DCB , c’est-àdire l'angle des cordes supplémentaires qui joignent les extrémités du petit axe avec l’extrémité du plus grand.
De plus, comme à chaque valeur de y, soit positif ou négatif, il correspond deux points M, m, de la courbe , le même angle des cordes supplémentaires correspond à deux systèmes de ces cordes AM, MB ; Am , wiB.
Si A = B , lang M = oo , c’est-à-dire que l’angle des cordes supplémentaires dans le cercle est constamment un tTngle droit.
Pour l’hyperbole , il suffit de changer B* en — B^, et l’on
trouve (fig. 60)
tang M =
Or, y pouvant croître depuis zéro jusqu’à l’infini, la tangente décroît depuis l’infini jusqu’à zéro.
On rAnarque de même qu’il y a aussi deux systèmes de cordes supplémentaires faisant entre elles le même angle.
171. Reprenons maintenant la recherche des propriétés des diamètres des courbes du deuxième degré , et pour cela soit l’équation générale des trois courbes
yï = 2px -j- qx^ (1)
et y = or
réqnation d’une droite quelconque CC' (fig. 61).
Combinant entre elles ces deux équations pour en obtenir les abscisses de leurs points commuas, on trouvera successivement
{ax -f- A) * — 2/»® — = 0 ,
gp' {jo^ — 2(p — ai)af-f-o* — 0.
Si l’on désigne par af, a^, les abscisses des points d’intersection de la courbe et de la sécante , et par « , les coordonnées du point milieu M de la corde interceptée, on aura d’abord
y-far*
et , en vertu de l’équation précédente,
Et , puisque les points a , p , se trouvent sur la droite y = oar-f A,
on aura p=o«-fA, (4)
et a et P seront complètement déterminés lorsque a et A seront donnés.
Eliminant entre les équations (3) et (4) la quantité A , qui détermine la position particulière d’une des cordes j on obtient
'jS *— a (p — aa) '
a}n — qa.x:z P ap ,
et enfin
■ Celte équation représente actuellement la droite qfci passe par les milieux M, M', M", des cordes parallèles entre elles , et dont la direction est déterminée par a.
On en conclut d’abord , comme précédemment, que les diamètres des courbes du 2* degré sont des lignes droites ; que ces diamètres passent par le centre de la courbe (en effet , l’équation (6) est satisfaite par» = — p=;0); ou bien sont tous
parallèles entre eux , si f =s 0 , tfesl-è-<Mre dans la parabole;
Enfin, si ï(m multipUe entre eux coefficients de x dans les
équations (2) et (5), on ironxe, en désignant par 4, 4, les
rapports des sinus des angles que font avec les axes conjugués
des » et des 9 deux diamètres atniugaéa quelconques ,
«f<f = 3?::; — P pour l’ellipse,
pour, l’hyperbole,
0 pour la parabole.
Or on a trouvé ( 168 ) que, si des extrémités d’un diamètre quelconque on mène deux.droites à un même point de la courbe , la relation entre les rapports d^ sinus des angl^ que font ces cord^ supplémentaires avec les axes des « et des y est exprimée par
ce'zzq:
donc si o =: rf , ' on a c* = a'.
On peut de là conclure qnè ' ' ■ • • . '
Deux diamètres coajugués sont ioujonn parallèles è on système de cordes sup* plémentaires; .1 ' ■ . ■ . ' .
et réciproquement r i - r' u
Deux diamètres parallèles à un système de cordes soppUsDeataiies fiarment un système de diamètres conjugués.; ' ■ r
et par conséquent l’angle des diamètres est égal ou supplément de l’angle des ctnrdes supplémentaires^
173. Cdiistrttire dSns une dipse 'eu'ttens une hyperbole donnée deux dtoiaètres «mjagDés qui fassent entre eux aaÿo donqé.
A cet effet; anr nn diamètre quiconque , . tel que 49 (Çg* a on décrira un arc de segment capable d<e l’angle dcmaé , tpi coupera la courbe en un point M i on mènera par le centre , parallèlement anx droites AM et MB , cordes supplémentaires, les droites CD, CC, qui seront les diamètres demandés.
V 'A cette solation H feat ajouter encore cellej qui corr^pond aux cordes supplémentaire^ AM', BM', dont l’angle ^ supplément de l’angle donné. ' '
Il y a en effet généfalepen^ deux systèmes possibles de diamètres conjugués faisant entre eux un angle donné.
•Pour Tellipse l’angle des diamètres conjugués devra être compris entre les limites déterminées précédemment (140) pour
l’angle des cordes supplémeniaifes. V - -
On trouvera facilement lés axes d’une ellipse ou d’une hyperbole tracées dans un plan, en décrivant, du centre de la courbe, une circonférence de rayon quelconque , qui déterminera un rectangle par ses intersections avec la courbe ; les axes seront parallèles aux côtés du rectangle.
175. On peut arriver à la solution numérique decnproblènle par l’analyse suivante":
Soit ^ Ay + B2y2 = A2B^
-l'équation de l’ellipse, rapportée à son centre et à ses axes; sub- • stUuant dans cette équation à la place de « et y les valeurs a>=»' cos a + y cos et'.
y = a;' sin a -)-y sin a',
qui servent à passer d’un système d’axes rectangulaires à un système d’axes obliques de même origine, on trouvera
A^ sin^ a'
y'2 -}- 2A^ sin a sin o'
jf'y -{- A* sin^ a.| -|-B^ ços^ct
|B*C08*a'i 4- 2B*COSaOOS«'|
Si l’on veut q^ue les nouveaux axes soient conjugués entre eux, il faut et il suffit que le coefficicient de ar'ÿ soit nul; ce qui donne -
A^ sin « sin (»' + B^ cos « cos O» = », , . (1)
et l’équation se réduit à
(A* sin* r' + B* cos* «') y'*-K^^ «œ* «) «<* = A*B*.
Faisant successivement = 0, et = 0 , et désignant par • A’; B', les lôngueurs des demi-diamètres conjugués que l’on ' obtient de'ceite manière , on aura
A* sin* R -j- B* cos* « ’ ' • A*B*' ‘
■ A* sin* a'rl- B* cos* «'*
L’éqnation de' la cojirbe rapportée à ces nouveaux diamètres
conjugués sera . v
THÉORÈME
174. Dans l'ellipse, la somme des carrés de deux diamètres conjugues quelconques est constante et égale à la somme des carrés des axes.
En effet, rétablissant l’homogénéité dans les valeurs de A'^ et , on aura '
. ,2 (sin^ g -f- cos^ «)
A* sin^ « -j- B* cos^ a *
g, 2 ^ A^B^ (sin^ «’-j-cos^ a')
“ A* sin* a' B* cos* a'
' sin* a'
A»-fB2
sin* al
Or , de la relation (1) on tire d’abord
tanga tanga' = — -p,
résultat qui s’accorde avec ce qui a été démontré précédemment (171); et ensuite, élevant au carré, en vertu des formules trigonométriques connues, on obtient
; ■ ‘ COS^ g' ^ sin* g
/ sin* g' B* COS^ g ’
la valeur de B'* deviendra
et par suite
g, 2 B* cos^ g -f- A* sin^ g
A? sin* g -j- B* cos^ g ’
d’où
I A^sin^g(A^-fB^)-j-B^cos^g(A^-tlB^
, A* sin> g + B* cos* a *
et, toute réduction faite , « ' ^
A'*-bB'* = A*-|-B*; ‘
178. Pour l’hyperbole on aurait trouvé, par un calcul en tout semblable,
A'* — B'* = A* B* , et 4A'* -1- 4B'* =a 4A* ~ 4B*. • •
De là ce théorèÀic,'^ analogue au précédente . - ^
— 16ft -r %'HÉORÈHIU
Dam l’hyperbole, la dilTérence des carrés des diamètres coejugués est constante ^{|^|gle h la difféiea«;a4es carrés des axes. ! r, ,
Quant à la relation des diamètres conjugués, ou a
tang K tang « *=
THÉORÈMB, ‘
1T6, Dans l’ellipse et dans l’I^yperbole l’aire du parallélogramme cmistmit sur deux diamètres conjugués quelconques est constante et égale an rectanÿe dea axes.
En eiiïet', multipliant entre elles les égalités
. ■ B'î = on trouvera' A'^B*^ =
A^ sin^ « + B* cos* « * A*B8 ’
A*sinV4-B*cos*cc'*
ASin* a sin V + B*cos*a cos* a'+A*B*(sin Vcos*a -f- sin*a cos V) ’ et, à cause de la relation (1), i ■
A* sin a sin «' -j- B* cos « eos ss 0 , , ' .
qui donne „ '
A*sin*«sin* «'+B* cog* a cos* «t=-r^2A*P sin st sin a' cos« cosV, le dénominateur devient , ' ■ ''
A*B* ^sin? a! cos? » — 2»n a sin a' cos a cos a 4. sia’ a cos* «') i expression qui se change en T - •' '/ •
- A*B* (sin a' cos a — sin. O cos,«')^ =A*B*siu *(«’— o){
et par conséquent sit?(I> - «f •
d’qqçfjft}, ^ - ^;i=;A'#»sioCa'-T-nO '
et 2A . 2B = 2A' . 2B' sin (ji' — a).
On arriverait à un résultat parlaitement identique en changeant B* en — B*, et B'* en, — B" , pojyir Tlijperbolo. .
