A» — B7=A^4-B2 2AB

d’où

sin 6

valeurs des demi-diamètres conjugués, qu’on calculera ou que 1 on construira par les moyens connus.

Quant à la direction de ces diamètres, U suffit de déterminer 1 inclinaison ^Je A' , par exemple , par rapport à A.

Oa a pour cela la relation . - . ,

A2 tanga tang a' 4- B2=o, , v

et, à cause de a' — «=9; d’où «' = 64-a, '

tangalang(e4-«) = -S

Développant tang chassant le dénominateur et ordon-

nant , on aura

A2 iang2 « -i- (A2 B^) tang 6 4: =: 0 ,

Digitizud by Go(' ^Ic

d’où „ ' ‘ ‘ ‘ '

tang.c:=-> 7

Pour que cetle valeur soit réelle , il faut que i

tang* 6 > ou = ^pzlB^2 >

d’où tang0> ou = ±^^-~p,

c’est-à-dire que l’angle 6 , s’il est aigu , doit être au moins égal à celui dont la tangente est ^2 âl» ®‘t ®’d est obtus, au plus

égal à celui qui a pour tangente — ^ ijïï- 1 '

Si l’on substitue la valeur

tang 6 =: ±:

dans l’expression de tang «c, on trouvera ^ ^

tang«=sq:j , -

ce qui s’accorde avec ce qui a été trouvé précédemment (177). 2” La détermination de A’ et de B', au moyen des équations A«— B'2 = A2 — B2,

AB

sin 0 ’

donne lieu à un calcul un peu plus compliqué. En éliminant successivement B' ou A' entre ces deux équations , on obtiendra une équation en A' ou B' du A* degré , résoluble à la manière de celles du 2* degré.

100. Au reste ce problème est moins utile que le problème inverse qui suit , et dont les- applicalions sont fort nombreuses dans la construction des ellipses données par leurs équations.

Connaissant de grandeur et de position deux diamètres conjugués d'une eliipse , déterminer les axes de grandeur et de direction. . . .,1. .. . .%

Des relations

A^-f p=A'2 + B«, AB = A'B' sin 0 ,

on tirera aisément , par nn calcul semblable an précédent,

A ^ 4- 2 A'B' sin 0 4- - k' A’24. B'* - 2 A'B’ sin 6 ,

B = - Ka« + B« + 2A'B' sin 6 - j KA'^+.B’* - 2A'fl’ sin 9.

Ces valeurs se construisent élégamment de la manière suivante : ' ' .

Soient A'a', B'A' (fig. 64) , les diamètres faisant entre eux l’angle donné A'OB' = 9.. ^ ,

De l’extrémité B', du diamètre B'A* abaissez sur son coiÿugué A*a' la perpendiculaire indéfinie B'P ; sur cette perpendiculaire/ prenez , à partir du point B', B'E == B'F = OA' , ét joignez OE et OF. D’après la propriété du triangle obliquangle ,

OE = I^BÏ» + -h 2B'E . PB' ,

ou OE =3 K A'^ + B'2 + 2A'B' sin 6 j

et de même ^ •

• OF = K -f B^» — 2B<F . B'P

ou

OF = B'ï — 2A'B' sin 9

de là par conséquent , - ; ' . .

^0£-fOF