AV

Les relations (1) et (2) semront à déterminer les deini-diamètres conjugués parallèles aux côtés du parallélogramme ; eU’on trouvera, par une élimination focile , pour l’ellipse . ! >• -

poqr l’hyperbole , , .

que l’on construira facilement à l’aide des propriétés du triangle

rectangle. ‘ r

201, Décrire autour d’un parallélogramme donné une ellipse ou une kjçerbole passant par un 5* point donné.

Les données étant les mêmes, et i, les coordonnées du polat donné , on aura , pour délermtûer les deux diamètres conjurés parallèles aux côtés du parallélogramme , ’ - • .

. AYzhBy = 4=AV, " ■

' AVdrBV = i:AV5 •

Æoù- o2)=0, • •

Le rapport des diamètres conjugués étant connu , le problème est ramené au précédent.

ii ' . ‘ PROBLÈME. ‘ .. '

Décrire autour d'un parallélogramme donné une ellipse ou hyperbole dont le rapport des axes soit donné. . ,

A et B étant les deux axes de la courbe demandée , on aura pour déterminer le rapport des deux diamètres conjugués A', B', partdlèles aux cdtés du parallélogramme , les équatipns A«=fcB'2 = A**BS • • ' A'B’sin G = AB ,

d’eù l’on tirera

et l’on revient ainsi an problèpie du n* 200.

■ La formule, précédente se rapporte à l’ellipse jla formule relative à l'hyperbole n’en diffère que par une légère modification.

202. Nous terminerons ces applications par la démonstration d’une propriété assez remarquable -des foyers et des «ordes cenjugnées dans l’ellipse et l’hyperbole.

THÉORÈME. *

Dans toute ellipse» la somine de deux cordes conjuguées qnelcôn({nes passant par le même foyer ou par les deux foyers ést constante. '

Dans Phyperbole, la diffâence des cordes mt constante. . -

Nous indiquerons seulement la marche du calcul et le résultat.

A*1J2 (1), équation de l’ellipse' rapportée à;son centre 'et à ses axes ; y^a {x — c)' (2) , y — a' f jr — c) (3^) , droites passant parle foyer c = l^A^ — B ; positif, a et o' étant liés par la relation des diamètres ou des cordes conjugués'

Ra ••• . ‘

il ^ t: y

On cherchera les coordonnés des detut points d’intersection de

la droite (S) et de la courbe (1) , et, apppclant D la distance de ces points , on ^oùvera

2AB2(i + o2)

AV + B* ' pour la deuxièiiie droite (3} on aura de même

AV-hfi2 ’ • • - • •

substituant daps celle expression la valeur de o'* tirée de l’équation (A), et additionnant , on trouvera , après avoir réduit ,

pour l’hyperbole , on trouvera’, par un calcul semblable ,