DES TANGENTES DANS LES COURBES DU 2« DEGRÉ

20S. Dans l’accepjlion naturelle du mot , une ligne est tangente à- une autre ligne lorsqu’elle ne fait .que toucher cette ligne sans la traverser. / . ,

On ne peut définir la tangente par la seule condition que cette ligne droite n’ait qu’un point commun avec la courbe : car on sait qu’il exis& dans certaines courbes du deuxième degré des droites , les diamètres de paraboles par exemple , qui n’ont • qu’un poieu commun avec elles et qui ne sont pas des tangentes ; et de plus on peut concevoir des droites tangentes et sécantes à la fois à une même courbe (fig. 76) : on préférera doncla dé- . finition suivante , plus exacte et qui s’applique à toute espèce de courbe. *■ « ^ • . ' , '

, • Là tangCBie est h (tOsition^ue prend unè sécante lorsque^ après avoir coopé la courbe en deux.ou plusieurs points , elle a tourné autour d’un de ces points d’in* tersection jusqu’à ee que deux de ces points se confondent en on seul. ^

D’après cette définition, il sera facile' de trouver l’équation générale de la tangente aux courbes du deuxième degré.

Sok l'équaikm générale * ^

Bary Gar^ -}- Dy -j- Ejt -j; F = 0^ et ■ '• ' =

i’éqnation d’une droite^ queicoiu|ire passant par ileu.'K, points y' \ y’’ ■ si ces points appartiennest à. la courbe » ôn aura

les équations ,

^ Rp'/ 4- Cæ'» + Dy' 4 î^' + F = 0 .

• ky^ + + E** + F== 6^

d’où l’on tire par la soustraction

A(y’’-»’)(ÿ’’+y’)+B(x’y’-0!’y^+C(i”-*’)(»”4^’)+b(y’’-ÿ’)+E(®'’-®’) ==•<>; et si l’on observe que ■

^jT ^ 5 ^ 9

on en- conclura pour l’équation de la sécante à la courbe

A(y* + y')+ÎB{af -fa-)+D ' ’ ’

Si l’on fcit dans cette équation — =* y'i l’équation ré-

sultante ,

sera, l’équaiiôn de la tang On retiendra facilement cette équation si l’on remarque que le coénicient de x n’est autre chose’que la dérivée de l’équation

Aj''2 + Bxy-}-(lr«-}.Dÿ'-l-Ex'+F=« , ' ^

par rapport à divisée par la dérivée de fcetto éqoatioBi par rapport à y» y le rapfpwt étant pris en s%iie contraire.

Chassant les dénoninatenrs , et simplifiant f an lit» de ïéquation (T), on aura a

aAjy-pB(xy’ + y»’)+*W4.D6r+j’)-i-EC»-f*(’>+3F“^ Iff) . Lorsque le point x', y', sera un point dowié delà courbe, cette équaljon^sera complètement ''déterminée , ^l’on pourra construire la droite qu’elle représente. - r

' S04. S’il s’agit de mener par nn point donné une tangente à la courbe , l’équation (T') donnera ' • ^

2A/8/-t-B(«/-f ^x’j-l-acJB’-fDf^-l-y^-l-ECa+O+SF^O , (C) et les coordonnées du point de contact x<, ÿ', seront déterminées par la combinaison de cetté équation et de l’équation •

Ay * 4- Bxy -I- tlr'2 4- Dy' -f Ex' -f F == 0 .

By'4-2Cx'4-E,

2Àÿ'4:Bx'4-ï)^"’

ente à la courbe au point x', y’.

Or la première de ces 5euX équations , représentant une ligne droite, est précisément l’équation de la droite passant par les pqints de œntact, et représente la corde de contact elle-mêmé.

Si le point par lequel les deux tangentes doivent être menées est^pris pour origine, à cause de «?= 0 , p = 0 , l’équation de la corde de contact devient

Dÿ' + Ea? 4-2F = 0.

205. Reprenons le nîéme’ problème , en appliquant la même méthode, à l’équation générale , mais plus simple , des courbes' du deuxième degré , afin de découvrir de nouvelles propriétés de ces courbes.

Par un point donné sur une courbe du S* degré mener une tangente à cette courbe. - • ‘

Soit

yaz=^-jr

l’équation des courbes du deuxième degré rapporlée au sommet et à detax diamètres conjugués quelconque».

En considérant la tangente comme une sécante dont les deux points de section se réunissent en un seul , l'équation de la sé cante passant par deux points donnés de la courbe T', (^, y'}, N (ar' , y*) (fig. 77), sera de la forme

et l’on exprimera que les points T', , N’ ; a»*, / ; jc", y" , appar- ' tiennent à la courbe, si , combinant entre elles les équations

y'^ = gaf^, - (î)

y"^ = 2j»ir" -}- gar"* ,

on en lire la valeur de ^ pour la substituer dans l’équation générale de la sécante.

Or, en retranchant lu seconde de la première de ces deux dernières équations on obtient

OÙ (ÿ' —ly") (y’ + y") =2p{x'— x^) (x' -f- x") (x' —x”),

et enfin

LVq«atîôïï de la sécarHe SS' à là cour^ deviendiÿ donc, parla • substilufion de' cette yaleiir, * ■'

Maintenants! i’on suppose que la sécante tourne âutour clMn des points dé section {x,' y') par exemple, le second pomt y") se rapprocl^B! de plus en plus du premier; et ehfin.quand ces deux point « seront confondus en un seul, etalors onaura x’=zx'', y' = ÿ”,’ l’équation précédente, dévenue*, Joute réduction faite,

sera précisément l’équation de la tangente P.T', au point donné T, , (x' y') , et pourra être facilement construhe.

S^OG. La combinaison de l’équation (T) et (1) fera coAnaitre le*8 deux points de tangence, lorsque a^ |9,'seront les coordonnées d’un point donné. L’équation (T) r-éprésente alors la corde T.T'^ qui 'joint les points de contact des deux tan^Otés menées à la courbe par lé point P, (a, ^). . , . ’ , . - , #

L’équation (T), réduiteâu moyen ,,de l’équation (1), prend la forme ^'^(p-\-qx')d+j>x’ , ou encore (a -\-x') -|- qaxf~

Si Pon y faity' = 0, pour déterminer le point où Ja , corde de contact rencontre l’axe des x , on aura *

Ce résultat, étant indépendant de p, montre que, si d’un autre point P, pris sûr la droite LP.P,L', parallèle à l’axe des y, on mène deux nouvelles tangentes à la courbe , la nouvelle corde de contact passera de m&me par le point I.

De là , par^ conséquent, ce théorème général: ■

THÉORÈME

' ' s de tous les paints d’une drobe çn mène des couples de tangentes à une courbe «tuelconque du 3* degré, toutes les cordés de c..htact se couperont en un seul et même point situé sur le didmètre conjugué du diamètre parallèle à la droite donnée.

En effet, si le point P (fig. 78) , par lequel les deux tangentes sont menées à la courbe ,■ est pris sur l’axe des a: , la corde de contact, réduite à(p-|-y*')«-4-pîF' — D , représente «ne droite parallèle à Taxe des y- ~ '

Digllized by Googk

■ De plus , si , dans l’équation de la couri» y*' = 2/>jr» -|- »

l’on sùbslilue la .valeur *'= — r-,

’ ■ P qrot '

011 obtiendra poBr y' deux Taleurs égales et de signe 'contraire , ce qui prouve que le diamètre OX partage en doux parties égales la corde de contact parallèle à son conjugué.

207. On appelle $ou$-tangente la partie IP de l’axe des x comprise entre l’abscisse du point de contact et le point où la tangente vient rencontrer l’axe ; ainsi pour trouver cette longueur il suffira de faire y = 0 dans l’équation de la tangente , et là valeur résultipnte de x, + ** représentera la sous-tangente. D’après l’équation générale de la tangente ■

yy'=p{x-\-x‘)-\-qxaf^

on obtiendra

Si y = 0 , la sôus-tangente est égale à 2<x'.- Donc ..

, • THÉORÈME

Dans la parabole la sous- tangente est double dè l’abscisse.

Ce qui fournit un moyen facile de mener la tangente à la parabole par un point de la courbe. .

208. Si l’on tqipliqne le même calcul aux équations de l’ellipse et de l’byperbole, rapportées à. leur centre et à deux diamètres conjugués quelconques , dont les équations sont >

AV + BV = A^S (E)

on trouvera pour les équations des tangentes

A*yy' -j-: B^ataf' = A^B^,

A*yy' — B^rà' ==: — A^B*.

Si l’on lait y=.0 et « = 0 dans ces équations, on trouvera

^0 = ; ^0 = + . ellipse , ou — - , hyperbole.

THÉORÈME

Date l’ellipse et dans lliyperbole chaqlie diamètre conjugué est moyen proportionnel entré la distance au centre du point où la fangoite renconUe-le diamètre . et i’Mdbnnée Ott l’abseiase du pOut de tangence. . .

La valeur de , étant iodépendaiite de B' et'de^, sera la même pour la tangente au cercle du rayon A en un point. dont l’abscisse est la même 5 ce qui fournit le moyen de mener la tangente à l'ellipse par un point donné de la courbe.

On en conclut aussi une remarque analogue pour l’hyperbole éqiiilatère.

Dans l’hyperbole , à mesure que a?' augmente, la valeur de Xo = -7 diminue, et tend sans cesse vers zéro’, valeur correspon-'

' danle à ar' = 00 , et alors la tangente n’est autre chose que l’a-; sympiote , que f on peut regarder par conséquent connue la limite des tangentes à l’hyperbole i ce que l’on peut démontrer analytiquement de la manière suivante : '

L’équation de la tangente à l’hyperbole donne

et, remplaçant y'- par sa valeur tirée de l'équation de la courbe on aura

Divisant les deux tçrmes de chaque fraction par x',''puia faisant X* == oe , et réduisant , on aura < ■

' . ' y =s ^ X , équations des asymptotes^

309. [Si l’on suppose les axes coordonnés rectangulaires, d’après les équations des tangentes.aux trois courbes du deuxième degré •- f, .. , - •

' ' • + byperbofeî

+ parabole;

eu discutant les valeurs des tangentes des angles que ces droites font, avec je grand axe ou l’a.\e trausverse on trouvera.que t Pour l’ellipse , la taugeote est perpendiculaire au grand axe

aux doux sommets' correspondants à cet axe , et lui est parallèle aux deux autres sommets ; entre ces quatre points l'angle augmente ou diminue, tantôt obtus, tantôt aigu;

Tour l’hypèrbolê, la tangente est perpcndicnlaii-eà l’axe transvorse aux deux sommets , toujours faisant un angle aigu ou obtus avec cet axe, pour la môme branche ;

Pour la parabole , la tangente est perpendiculaire ù l’axe au sommet de la courbe, faisant partout^ailleurs un a'ngle aigu avec l’axe. . '

210. 'Par le centre do i’olUpae ou de l’hypocbole menons une droite au point de contact : cette droite aura pour équaiionj /

et l’angle T , qu’elle fait avec la tangente , sera déterminé par la valeur de sa tangente

tangT » ..

le signe supérieur correspondant à l’ellipse', l’inférieur à l’hyperbole.

Dans le premiercas, on reconnaît que cet angle ne peut être un angle droit que pour 07* = 0 ou ^ = 0, c’est-à-dire aux sommets de l’ellipse.

, Si A B , c’est-à-dire dans le cas dn cercle, le itiy on .est toujouts perpendiculaire à la tangente.

Dans le cas de l'hyperbole , le rayon n’est peipendiculaire à la langentequ’au sommet de la courbe ;et, à mesure que le point de la tangeate s’éloigne dndéhniment sur la branche correspondante aux abscisses et aux ordonnées positives, l’angle du rayon du centre et de la tangente diminue , et tend cesse vers zéro, valeur qu’il n'atteint que lorsque la tangente se confond avec l’asymptote. '

911. En multipliant entre çux les coeflicients de a; dans les équations du rayon et de la tangente on trouve pour produit

condition des diamètres conjugués (171); d’où l’on conclut ce théorème :

GoOgl

THÉCmÈME.

Dans l’ellipse et dans rbypérbole la tangente en un point quelconque est parallèle au diamètre conjugué de celui qui passe par ie, point.de contact. , •

On peut le dérnonlrer {rénéralement de la manière suivante : Ou a trouvé pour l’équation de la'tangentfe-en un point quelconque (a?', courbe

SI par le centre dé^la cOurbe, dont les coordonnées sont ap* = — - ,

y* z= 0 , on mène une droite au point de contact , ré(^uation de ce diamètre sera

Multipliant èntre eux lés cofficients de at les équations (1) et (2) , dnpbtient entre les rapports des sinus des angles que font avec les axes la tangente et le diamètre passant par lepoint de contact v

relation indépendante des coordonnées dq point de contact.

Si .g=— 1, DT -^-1= 0 , et si les axes auxquels la courbe est rapportée sont rectangulai^ , D et T représentent les. tangentes des angles que la tangente et le diamètre font avec l’axe des x. Ces droites se coupent donc à angle droit , oé qu’dn pouvait prévoir, puisc^ue dans cette double hypothèse la courbe est' une circonférence. . .

SIS. Quant à la sdu&>tangente à l’ellipse et à l’hyperbole, dont les équations rapportées à leur centre et à deux diamètres con-" jugués quelconques sont-'

. • r Ay dbBV =±:A*Ba, ' .

ou a pour l’ellipse —

pour l’hyperbole

213. Soit proposé maintenant de mener une tangente à l’ellipse par un poînfdonné (a, ‘

On aura pour déterminer le Jidint de tangence (x , y) les deux

équations ...

A Y + BV == A’B» , (1)

V A»^y-l-B»c<ar=A»B\ ' (2)

d’bù l’on lire, par soustraction , et en complétant les carrés dans l’équation résultante, *

et en6n

équation (Tune ellipse ayant son centre au milieu de la distance

du point donné au centre de l’ellipçe proposée, et dont les demidiamètres conjugués , parallèles aux diamètres conjugués de l’ellipse proposée, sont

1/ A’fi’ 4- B’à*

Si la courbe est rapportée à ses axes ,^ccs xaleurs exprimeront les demi-axes de l’ellipse (S).

Dans celle même hypothèse , si la courbe primilivé est un cercle A = B , l'équation (3) devient, toute réduction faite,

r PI’ . r «1’

' équation d’un cercle dont le diamètre est égal à |/ «’ -f- ,

c’est-à-dire à la distance des centres.

D’où l’on conclut la construction indiquée dans les éléments de géométrie. ' . *

En général , les points de tangence seront déterminés par l’intersection des courbes (1) et (8).

On trouverait pour l’hyperbole un résultat analogue ; nous laissons au lecteur le soin de le chercher.

214. Au surplus, en combinant directement les équations fl) et (2), on trouvera pour les coordonnées des points dp tangence . / B’a> ± jS KFiS' -f- B*«> — FF»

Ttf.f*.

. Quand le point (lonné(a, fi) est au dehors de l’ellipse, *Ia quantité A®/5*-|;BV — est positive, et ces valeurs sont réelles et inégales : il y a donc deqx tangentes. ■ ' ”