Quandlepointest donné sur Ja|coorbe

et l’on n’a plus qu’une tangente. * * '

Enfin , si le point est intérieur, J^.fi^ BV — A*B* < 0 f et ces valeurs sont imaginaires. Qnne peui^onedans ce cas mener une tangente A l’ellipse. ^ ,

918. Nous aHons^maintenant chercher l’équation de.l^langente par une autre m^hode et par. un calcul difTérent , ce qui nous permettra de conclure de nouvelles, propriétés des courlims dn^^deuxième degré. ' ■ ’ ‘ .

'''Soit 'Toujours l’équation générale des courbes rapportée à deux diamètres conjugués quelconques ‘ ' ■ . . -j •

»ét t y — |3 = A.(ar — a),

..réquation d’une droite quelconque passant parle point dont les cordonnées sont' ' tj’ V Si l’on élimine entre ces dcux’équations j ptourtronrer tes coordonnées des points communs de la sécante et de-ia courbe, èn substituant la valeur dé y tirée de l’équation (2) dans l’-équation (1) , on irouvérè ' '

; [P + A(x-^,a:)]^t==ipx-^qs^; I '

développant et ordonnant parraj^rtAat, oa obtient ^ toute rëduoübn- faite,.. • i

(A* — q) X' — 2 [A (Aa — P) ^ (A« j3)’,=c ft. . (8)

Cette'équation donnerait pour x deux valeurs,* qui seraient les abscisses des deux points de section de la droite et de la courbe.

‘‘‘ Mais si l’on veut que ces deux points séT- cou foudeiit en un seul , il faut nécessairement que le premier membre de l’équation (3) soit un carré parfait, c’est-à-dire qu’il faut que Fou ait entre les coefficients de ce poly nème la relation

, (; 2£A(A« - P) -f p] )1- à (A* >9KA« p)’’= 0.

Développant cette équation de condition , et ordonnant par rapport à A on trouvera > • •

A* (2pa -j- qa?) — qa) A -J" = 0 • (û)

tes axes étant quelconques, A exprime le rapport de*s sinus des angles que la tangente doit faire avec les deux axes, et comme la valeur de A dépend d’une équation du deuxième degré , il s’ensuit qu’il y a généralepicnt deux tangentes menées par le point (a , p) à une courbe quelconque du 2* degré.

Au surplus , la résolution de»réqualion (4) fait reconnaître dans quel cas le problème est possible ou impossible , et admet une ou deux solutions : on obtient en ellef,- en résolvant et effectuant les réductions sous le radical ,

A = À (/^+ 9«) —P y'?' — ~ gg*

2/Ht + ■

Si donc le point («, p)est intérieur è la conrbe, auquel cas 2/ja — > 0 , il^y aura deux tangentes; une seule si

— 2pa — ga = 0 , auquel cas le point est sur la courbe ; et , enfin, le problème est impossible si le point est intérieur, puisque dans ce cas le radical serait imaginaire , à cause de la relation ^ — 2pa — ga^ < 0.

Ayant de tirer d’autres conséquences de l’équation (4) , exanainons le cas où le point est donné sur la courbe. Alors

— 2/»a — get* = 0 , . . •

et la valeur unique de A devient, à cause de cette relation même, ^ |3 '

valeur obtenue précédemment par une autre méthode. (205)

* 216. Si la courbe est rappontce à scs axes principaux , A représente la tangente de l’angle que la tangente à la conrbe doit faire avec l’axe des x, et ù cause de la double valeur de A , dans le cas où lè point (a , p) est extérieur, le produit dés tangentes des angles que les deux tangentes à la courbe font avec Taxe des X sera exprimé par le terme indépendant de A dans l’équation (4). Si donc l’on veut établir que les deux tangentes sont perpendiculaires entre elles , on aura la relation l-j-A'^-rTzO;

; et par conséquent 1 '

équation qui prend la fbrnie • r* ^ . ' ' ' ,

ou , si f n’esl pas nul, . / ‘ • > "

équation d’un cercle eoBcentrique à la courbe proposée. ' ) Si g = 0 , K = — ^ représênte Une ligne droite , qui n’est autre chose que la directrice. * , J ^ '

Dn conclut de cette analyse ce théorème générai : . '

- - THÉORÈME. •

|r Le lie« géométrique des pqinis de rencontre des tangentes perpendiculaires entre elles est, pour l’ellipse et pour l'hypérbole , une drcontérence concedtfiqne , et, ppnr la parabole, la directrice. ^ .

' Si7. On peut' se proposer ce problème plus général :

Déterminer le lieu géométrique des points tels, que leî couples de tangentes ine- . uèes de chacun d’eux à une courbe ^elconque du S* degré fassent constamment un même angle donné. ^

.£n désignant la tangente 'de l’augle donné par lang a,‘ on aura à satisfaire à Ja relation , ^ ,

' r+ÂÂr”*®”®®’

- or , d’après l’équation (4) et la valeur générale (5) , on a

P‘ + of'