AA
2/>a -j- ça* ipa -f- qa.‘
et par conséquent l’équation de condition deviendra , toute réduction faite, ,
~P 2p« — ga* = (p* -f + qp*) tanga,
équation du quatrième degré , généralement. ’’ , ,
Faisant pour abréger ^ ,
S/' ~p‘ — — qi’ — k , d’où 2/>« -4- î«* = P* — A* ,
et par conséquent A — -f ?)+p* — A*] tan^a = 0;
OB obüent
et
tang a
laog
â=^t^(üF;)’+ ‘î
S18. Cas particaliers : - - ^
Si a est un aogle droit , réqaaiion (6), à cause de taog a =sto , sia a = 1 , se réduit à . ,
Elevant au carré , remplaçant k par sa valeur , et réduisant, on retrouve l’équation ^ ’ -T
• 219. Lorsque ç'== — 1., janquelcas l’équation y*= 2par — aP, représei^le une circonférence dont le rayon est p, l’équation (6) donne * '
^ ^\tango sm a/ sino^ ’
et par conséquent
+ «* — 2 P? = (Iq: COS a) ,
'et cause de
lq=coso__ 1 ou =
sia O ^ . ' 1
- tangua
tang - a,
selon que l’on prend le signe supérieur ou le signe inférieur',
P‘+cc‘—Sipc(z=p‘ tang’ - a .• ou p’ +«* — 2p« =— ^ ,
► / tang* -O -
équation d’une circonférence concentrique à la circonférence proposée , et dont le rayon est facile à déterminer. ’
220. Si 9 = 0 , ç*^st-à-dire si la courbe proposée e^t'une. parabole , l’équation générale devient , toute réduction faite ,
tanga' ’ '
d’où P* — 2p« =.f R + y tangua ,
équation d’une courbe du deuxième degré , dont il s’agit de dé-r terminer le genre et les éléments. v -■ ' . ^
On la mettra d’nbordsous la forme'
' P* — tang* a — P (tang* a -f? 2) « — j- tang* a = 0;
et, complétant )e carré du binéme en «t, on trouvera , toutè réduction faite, . ^ '
p;-i.De;« [•+,(-* + ,
équation d’une hyperbole , dont le centre est sur l’axe dé la parabole , à une distance du sommet exprimée par
' \2 tang’ qj*
etjdofltle^ axes sont • «
’ • ■ sm a tang a ’
siB a
l’axe transverse dfe l’hyperbole coïncidant avec l’axe de la parabole." ' ’ • '
. On reconnaîtra sans peine que l’;^gle des asymptotes, est double de l’angle donné. ’ ' .
S21. Voici maintenant quelques propri^cs remarquables des . foyers relativement à la tangente.
Déterminer l'angle que lait là ^tangente avec le rayon vecteur mené des foyers dans les courbes du 2* degié.
L’équation, générale de ces courbes rapportée au sommet et à leurs axes priucipaux étant == 2/>a?-i- la tangente eu un point quelconque (x' , y?) aura pour équation
. et eu désignant par (a , 0) les coordonnées c^un foyer, l'équatien du iniyoD vecteur passant par le point de tangence sm*a • ■
papvconséquent la tang[eute de l’angle queliÿ deu& toiles font entre elles sera ird’après^ lu relatioD cannûe -
Digitizcii by
eu
laujjr— ^ ,
substituant pour A et A’ leurs valeurs , cl ea réduisant
{p-\-qx')a — '
tangr Ty'[(p — oH-x'C-l+î)]
Si l’on substitue 'dans celle expression la valeur générale de
l’abscisse du foyer' on trouvera tang
a=-P(ît;:k'ï+^).
et, selon que l’on prendra les signes supérieurs ou les signes^nfcrieurs , ^
tang X, = —
r-, iang®. = +
y'Kl + î
Les angles que les deux rayons vecteurs dès foyers font avec la tangence au point de contact sont donc suppléments 1 un de l’autre , e» par conséquent :
THÉORÈME. ^ . ' -
Dans l'ellipse et dans l'hyperbole , la tangente divise en deux parties égales l'angle formé par l'un des rayons vecteurs et le prolongement de l'autre.
Dans la parabole^ Fune des deux valeurs générales se présente sous la forme et l’autre , lang v = ^ , qui est précisément la tangente de l’angle que la tangrnle à la courbe fait avec l’axe , èt par conséquent : ‘
THÉORÈME
Dans la parabole, la tangente bit avec le rayon vecteur du foyerle même angle
qu'avec le diamètre passant par le point de contact.
On conclut de là le moyen de mener une tangente à une courbe du deuxième degré par un point de la courbe ou par un point extérieur. “ -
S22. Pour la’ parabole , si l’on transporte l’ongine en un point quelconque O' (fig. 79) de lacourbe^ en prenant pour axes le diamètre O'X' et la tangente O'Y' en ce point, on aura à substituer dans l’équation les formules
ÿ = J»' sin « +y' sin «’ 4- A , xz= a?* cos « -f. y' cqs a’ -f. o î a et £ étant les coordonnées da point O.
Or on a sin « = 0 , cos a = î , puisque le nouvel axé des x est parallèle à l’ancien , ...
et
* tanga' '
sin a' p= - — P , • ,
K 1 -j“ laug* «' {/'p'
à cause de tantï a' =;Ç . cos a' = ^ .
^ ixp^Tï--'
tang*
les formules, de transformation seront donc
,x y — i” ^ “4” b , Sf -f-
et, les substituant dans l’équation de la parabole; on obtiendra ^ toute réduction faite , t
et, à cause de la relation =: S^a ,
, !,'^ = lli^a+0x'. \ ... ^ '
Or, la distance du foyer au point O'—" ' ■
•’lX .
donc, le coefficient de i» dans la nouvélle équation de (a parabole est égal à quatre fois la distance du foy«* à l’extrémité da diamètre auquel la courbé est rapportée. Donc - . - , ^
THÉORÈME
Dans toute parabole* le param^tre^d'un diamètre queloonqimeat égal ft quatre fois la distance du foyer MVxtrémilè de ce diamètre.
Ce qui servira à déterminer le foyer lorsqu’on connaîtra un système d’axes conjugués de la parabole et le paramètre à ce système, et réciproquement le paramètre d’un diamètre quelconque quand on connaîtra le foyer.
Rynarque. Si l’on observe que, l’ordonnée du foyer dé la pa-. rabole étant égal à /> , la valeur de tang v devient égalé à 1 , on en conclura ce théorème : • ' ’ • ■ ‘ . t.
’ ' THÉORÈME.' . '
• Dans toute parabole, h tangente fiût liû angle de ’at)» i l'etlrémHé de l’ordonnée
qui passe par le %er, • . ' ...
âS5, D'un point donné dans le plan d’une conrl)e du î* degré on mène de* perpendiculaires à Ulules les tangentes à la courbe ; déterndner le lieu géométrique des piads des perpendiculaires, 1“ dans le cas général, 2“ lorsque le point donné est un fojer de la courbe.
Soient a , b, les cordonnées du point donné , et ' . = ipx + Cl)
l’équation générale des courbes du deuxième degré , rapportée au sommet et à leur axe principal.
L’équation de la ungeuie en un point quelconque (x, y) sera f
et la perpendiculaire abaissée du point (a, b) sur celte tangente aura pour équation
■ (et — a).
I v» Co)
^ P +ÇX J !
Il suffira donc d’éliminer a: et^ entre les équations (1), (2) et (3), et l’équation linale sera le lieu géométrique des points demandés. L’équation (2) , en vertu de l'équation (1) , donne |
= (/> + çar) St -f y*.— px — qx^ =z(p+ qx) a — px ,
d’où
et
En multipliant entre elles les équations (2) et (5) , il yieut ^ (P - ÿ) {P- A) = -«■ ( «- X) (a- a) ,
0‘—p(t)—{p+qi») X
d’où
a — xzzz—C— — (j3 — y):
et, toute réduction faite ,
— A) (P + aj^ ji
Substituant cette valeur dans celle de y, effectuant les cafculs et réduisant, on obtiendra
y pep + y«) (^ — A) -fî(a — a) (2pa+ 7a*)
• (jS — Â) (p + 7« + P (a — a)
Di ■
ÿ = x' sin *4-y' sin «' + A, x==x' cos a -f y' cqs a' -|- o j a et i étant les coordonnées du point O.
Or on a sin a = 0 , cos a= 1 , puisque le nouvel axé des a? est parailcle à l’ancien , . ■ ,/
et
sin a' =
V'i -j“ langV' i^p*+Â* A
à cause de tang a' , cos a' = ■ . . , ^ * .
• KïTtâng'a' p^p‘^h''
les formules, de transforinailion seront donc ^ '
. > y — b f X = af -J-
et, les substituant dans l’équation de la parabotèj; on obtiendra^ toute réduction faite , i
et, à cause de la relation = S;»a ,
Or, la distance du foyer au point O' '' * ' ■
donele coefficient de a?» dans la noûvellé équation de (a parabole est égal à quatre fois la distance du foyer à l’extrémité da diamètre auquél la courbe est rapportée. Donc - , - . >
THÉORÈME
Dans toate parabole, le paramMre d'un diamètre quelconque est'égal i quaUe li^ le d^nce du foyer à-l’extrémitè de ce diamètre.
Ce qui servira à déterminer le foyer lorsqu’on connaîtra un système d’axes conjugués de la parabole et le paramètre à ce sptème, et réciproquement le paramètre d’un diamètre quelconque'quand ou connaîtra le foyer:
Remarqué. Si l’on^obserye que, l’ordonnée du foyer de la pa-, robole étant égal à ^ , la valeur de tang » devient égalé à 1 , on en conclura ce théorème : • ‘ . t .
théorème. ■
‘ bans toute parabole, b «Sngèikte fait un angle de SD‘ i l’etlrèmité de l’ordonnde qui paaae par le foyer. wa
' ''problème. ( V
‘ S&3; D'uii poiot donné dsns te plan d’ane cpnrbe du 3^ degré on mène des perpendiculaWes à t^tes lés tangentes à la courbe : déterminer le lieu géométrique des pieds des perpendiculairesi 1° dans le cas général, 2° lorsque le point donné est un tbyer de la courbe. .
Soiénta , les obrdonnées du point donné , et ' . * 4*
l’équatiuii générale des courbes du deuxième degré , rapportée au sommet et à leur axe principal.
L’équation de la tangente en un point quelconque {.a>,y) sera , '
et la perpendiculaire abaissée du point (q, b) sur cette tangente aura pour équation -
V»* Wi. (o)
qw / •
Il suftira donc d’é|iminertcet^entre les équations (1), (2) et (3), cl l’équation iiuale sera le lieu géométrjique des points demandés,. L’équation (2) , en vertu de l'équation (1) , donne i
, py — {p-h qx)u+ y* — px — ;qx^ :={p+ qx) » — fx , pa+(.p+q»)x . ''
^’où
et
£n multipliant entre elles les équations (2) et (3) , il yient
(P — ir) (P — ^) = -f ( “— f »
d’où > t
P-rh
te— '» = — ■£ — : — I
et , toute réduction faite ,
\a — dj
__ o( )5 (a — a) 4- iP~b) —pa)
(J3 — 4) (P + y«) + P (et — a) 7*
Substituant cette valeur dans celle de"y> effectuant les cafçuls et réduisant, on obtiendra
y p(p + gu) \p — b) -t-* (a — a) (2pg 4~ ?«■) •
• iW (p + yiii + P (à — a)
-> 2ft2 —
On a donc les deux valeurs de « et de ^ ; U ne resterait plus qu'à subsutuer ces valeurs dans l’équation (1) ^ et réquation finale en a, P , représenterait la courbe, lieu géométrique'demandé.
224. Mais sans résoudre le problème dans le cas le plus général , , ce qui donnerait une équation finale ‘d’un degré très élevé , supposons que le point donné soit un des foyers de là courbe, condition qui donne pour a et é les relations é = 0 , P 3®* = 0 , et les valeurs de ar et y deviendront
Substituant ces valeurs dans (1), et faisant, pour abréger, P* — 2/»a — ga = At , on trouvera, après réduction faite,
* (A [(«-fl)* — 9p‘]~P*C(P+Va) + (a-o)]*)=0. (É)
Afin de ne pas compliquer les calculs ,' nous laisserons à part le facteur k , que nous reproduirons dans l’équation finale , et nous ne considérerons que l’éqnaiion ' <
Substituant au lieu de i sa valeur , on trouvera, en effectuant* les calculs et ordonnant
'Çê* + (/>2- 2ap -f 2«p-t- 27«* -2a<p,) |S* + (« -a)' (2a« + 7«*)=05 •
et à cause de />* — iap — é?q , a étant l’abscisse du foyer, ^
■?P*+[3(«-a)*-f (2pa j-ça*) =0,
équation dont le premier membre est le produit de deux facteurs,., .T
' (3P^+.2/>«^- (oc-- •
Et enfin , l’équation finale sera ' , .
L’Afuation fiçalé est donc le' produit des factèurs dont le premier, p* — ipa. ~ = 0 ,; représente la courbe elle-
même; le second , . P* + ( a — les coordonnées dii
foyer, car l’équalion nepeiU être satisfaite queparp=:0, «ia»;
et enfin le troisième + Sÿc + çjKt? s: 0. -r ’ (G)
Digitizod by Coogli
Mil la courbe donnée est une ellipse dont les axes principaux
sont À et B , on a n. •“
vp=r» ^ = ‘
l’équation devient
Le lieu géométrique est la circonférence décrite sur le grand axe comme diamètre.
Po®r l’hyperbole, comme on a
l’équation du lieu géométrique est v
équation de la circonférence décrite sur l’axe transverse comme diamètre.
EnGn, si.g=ï0,^ l’équation (C) donne a = 0 , et représente l’axe des y ou la tangente au sommet de la courbe.
Cette propriété remarqualilo servira à déterminer les foyers quand on connaîtra le centre , deux tangentes et la longueur du grand oxe de l’ellipse , ou de l’axe transvei-se de l’hyperbole.
22o. /iulre manière. Eu prenant l’équation de l’ellipse rapportée au centre et à ses axes A^ -j- BV = A^B^, dont la tangente en un point (x', y') est A^yy’ B^xx* = A^B^ , la perpendiculaire abaissée sur la tangente du foyer positif dont c est i’abscissc aura pour équation
BV
et l’on trouvera par le calcul d’élimination, pour les coordonnées du pied dé la perpendiculaire ,
av«o-i-a^bv -
ex*)
AV* “h B^x'*
Elevant au carré et ajoutant , puis remplaçant par sa valeur A* — B^ , on trouvera , toute réduction faite ,
x*-fy»=A»,
résultat indépendant à la fois de x', y', de B^ et du signe de c ,
DioiîLz^Jjy Cooglc
«qui, par consëqneni, démontrie à la fois le théorènië ponr aile tangente qnèlconqlie à l'ellipse et à. l’hyperbole , quel que soit le foyer d’où l’on a abaissé la perpendiculaire.
226. D’après la formule de la distance d’un point donné à une droite donoée (27) , la perpendiculaire abaissée du foyer positif' sur la tang^pte aura pour expression de sa longueur *
A*B2 — B’cx' ‘
k + BV* ’
et celle du foyer négatif
p, A^B« + BW
Multipliant membre à membre , on aura PP' = B*, pour l’dlipsej et pour l’hyperbole, PP' — B*.
De là le théorème suivant : ^
' . THÉORÈME
Dans toute ^pae ou hyperbole, le petit «x^u t’axe npn transrerse est moyen oportionneI%itre les distances des foyers à chacune des tangoites qu?en peut
proportionnel mener & (a courbe.
Ce dernier théorème résulte encore du problème général qdi suit :
\Po deux points donnés sur l’axe principal transvene d’une courbe du !•' degré on a mené deux perpendiculaires à une tangente quelconque î déterminer le produit de ces deux perpendiculaires, dans le cas général, J' lorsque ces deux points sont les foyers de l’ellipse ou de i’byperbole. / .
Soit y* = -f- (7 (1) l’équation générale des courbes, du
deuxième degré rapportée au sommet et à leur axe principal.
Soient encore (0, «) , (0 , a), les coordonnées des points donnés. L’équalion de la tangente en un ppint quelconque (ar' , y) sera - '
équation qui se met sous la forme ' ••
y V, St' >
On sait que, l’équation d’nne droite étant y =: oæ -{lA, la longueur de la ,perpeirdiculaire abaissée du point (a, fi) sur cette droite a pour expression •
et , par conséquent , la distance du point (0, a) à la* tangente sera , abstraotion faite du signe ,
la distance du poiht (0, a') à la même tangente sera donc de même * '
et, par conséquent , le produit de ces distances ’
Si a, f', sont les abscisses des» foyers , il faut que ces valeurs satisfassent à l’équation — ga^ = 0.
Donc « + a' = , o«’ — . — . •»
substituant, il vient', après réditétion, ■
