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et, àcaHsedep=i-j, g = 3:^, pour l’ellipse ou l’hyperbole, on a t)D'= B*, ellipse; DIV = — B*, hyperbole. *
THÉORÈSCE. f . ,
227. Si 4’un point quelconque de t'eliipse ou de l'bjperbote on mène une tangente à la courbe, le produit des distances du point de contact aux points où cette tangente rencontre deux diamètres conjugués quelconques est égal au carré du demhdiamètre conjugué de celui qui pasSe par le point de conCqel. ^
Soient l’équniion = ipx 4- , rapportée à un diamètre
quelconque et à ta tangente à la courbe à l'eittrémité de de diamètre ; • ' ' ’
deuil -droites quelconques pUsàant .pàf -le centre : ces droites reneoBtreront la tangente , axe des y, en deuji points , dont les distances à l’origine seront exprimées par -
et le proàuit de ces distances ‘ • ’ .
ddP = aa' ^ ^
et.si ces droites sont conjuguées , à cause]de la relation aa' = y , on aura , en observant que a doit être pris négativement , .
THÉORËME.
; 288. Dans tonte courbe du 2* degré ayant nn centre, une tangente quelcon-
que qui coupe deux autrei; tangentes parafa es détermine sur elles à partir du point de contact deux segments tels , que leur produit est constant et au carré du diamètre parallèle aux deux tangentes,' ou autrement dit an carré du diamètre conjugué de celui qui joint les delix points de amtacU ^
Soit J'* = 2par -}- l’équation générale de la courbe, rapportée au diamètre AA' passant par les points de contact pris pour axe des abscisses , l’une des deux tangentes , AR par exemple (fig. 80) , étant prise pour axe des ordonnées. L’éqnaûon d’une tangente quelconque , telle que RTS , sera .
Si l’on fait 0 dans cette, équation, on aura
" • y.= AR = y' — =
L’équatibn de là tangente A'S étant
la valeur du segment A'S s’obtiendra en substituant cette valeur de X dans l’équation de la tangente , ce qui donne
5/ !p±Jî!V
et par conséquent
AR.A'S=-f
ce qu’il fallait démontrer.
Corollaire. Pour une autre tangente, telle queüT’V, on aurait
de mêmeAÜ. A'V=-^ ; d’oùAR. A'S=AU.A'V,et-^ •
par conséquent les droits RV, US, concourent en un point I du diamètre AA', quyiasse par les points de contact.
De plus, si l’on divise en deux parties égales, aux points M et N, les longueurs US, RV, des côtés non parallèlles du trapèze RUSV, la droite MN étant parallèle à UR , SV divisera en deux parties égales le diamèlre’AA', etpassera par conséquent par le centre O de la courbe.
THÉORÈME
22». !• Les diagonalfs d’un parallélo0ranmie dont les quatre côtés sont tangents à l’ellipse ou à l’hyperbole se coiq>ent au centre de la courbe.
3* Les diamètres dirigés suivant ces diagonales forment un système de diamètres conjugués.
♦4® Soit A^^-^ BV = A*B^ l'équation de l’ellipse rapportée à son centre et à deux diamètres conjugués quelconques.
Si par le centre de la courbe on mène deux nouveaux diamètres quelconques' MOM' , NON' (fig. 81) , et par les points d’intersection M, M' ; N, N', des tangentes à la courbe, ces tangentes parallèles , sufGsamment prolongées , détermineront un parallélogramme circonscrit ABCD.
Soient donc yt=.ax , yzxa'x, les équations des diamètres MOAP, NON'..
En combinant chacune de ces équations avec l’équation de la courbe , on trouvera facilement pour coordonnées des points de rencontre ,
M jf— M'
AB
i^AV-f B^
ABo ‘ •
4Bo '
. l/Ao^ 4- B* '
.k.AV-j-B»
AB
KAV-f-B"
• ABo'
ABo'
l/AV^-j-Bî
et pour les équations des tangentes
