AD, BC

AB

CD

■*"av'

AB

Ensuite,' combinant entre elles les équations des droites (1) et> (2) , (5) et (a), pour avoir les coordonnées de leurs points d’in-j tersectio'n , on trouvera

, A fa KA»a« 4-~F — a' + B A

« l/' l/AV* + B*— 1/"AV'4-BA' ♦

, a' — a y ^ B ^ KA^g'^H- — KA»g» + F\ ‘ :

, Ces valeurs étant égales et de signe contraire , la droite AC passe nécessairement par l’origine,, qui est 'au centre de la courbe.

2° Enfin combinant entre elles les é<|uatibn8(l) et on obtient pour les coordonnées du point D , - • .

^ ^ A /a k A*o'» + + a' t^AW + B*]

par conséquent les équations des droites OA , OD , seront

= !!l — £! j ^ 4- — k*Pg^ -f |

^ A* j ap^AV^ + B^v- «' P^A2<i=‘4-B'* T * *

Digilized by Goo^lt

+ k^AV + B^) iK»Ï^B*-}- a'KÂV + B*'(

Multipliant entre eux le^ coefficients de » , on aura , toute réduction faite, pour produitde ces facteurs,

qui est la ftlation connue^des diamètres conjugués. ^

Le calcul serait exactementie même pour l’hyperbole , «t conduira au résultat connu

Ces deux propriétés pourront-êlre appliquées ntikaent i la résolution de quelques problèmes sur les conii)e8 du 1* degiV inscrites dans les parallélogrammes. v

“ , Application». '

' PROBLÈME. . l -t i< , v"

âso. Par an point donné snr l'eU^tse mener nne tangente S la eonrbe.

Première manière. Soit M le poinl donné (Bg. 82) sur l’einjpse. Décrive* snr le grand axe AA’ ude démî-circoûKérenCe , ét abaissez l’ordonnée MP du point M, laquelle rencontre la demi-circonférence en N. Au point é menez la tangente au cercle M , qui rencontrq l’axe en un point I : IM'sera la tangente (208).

Deuxième maniéré, lilenez Iç diamètre MOM* passant par le point donné. Par l’extréinlté A’dn grand axe on d*un diamètre quelconque mene^ nn'd cor^e A'C parallèle an diantètre MOM’, et joi^ez AC ; par Iç ppintM menez MI parallèle à AC: ce sera la tangente demandée (911); ’ •- ‘ '

. PBO»L$¥B.

■' BU. Mater à one el|lpsedotti6e une t»BgeBl»p«rsllèto à use droits donuté.

Menez une corde D£ parallèlnà la droite donnée RS (fig. 89). Par le milieu H dé qettë corde menez le diamètre MOM' , et par les deux extrémités M et M'de cO diamètre,, les deux droites MI , M'I' , parallèles à RS. Le problème a deux solutions.

tî. ■ Ui.'îlM

B3SL On résoudra facilement d’une manière analogue les problèmes suivants.

unr tancentcià l'hjjiedbole î* ptr un poiat donné sur la cmniie , 2* pa* raUèwent à nné droite dosoée. ‘ '

“•> V;Kd *'..' fc , :.\-h * PWCmÆitE. ' '•-•‘.J- \ ^

1tS3. Mener une tanff^te t la pùàlMle 1* par un point donné snr la oomlie> S* paraU^ement à une droite donnée. > '

1* Soit M le point donné (fig. 83) , menez l’axe AX de la parabole , et abaiœt l^donnée MP { preuea Al sir AB, ^ joignex i ^ '««4’1a térig^té éeinàodéô " -i ^ » ."rr ; ,r.

Si l’on avait un système d’axe conjugtm.'de la parabole , «feétà-dire un diamètre et la tangeute à^l’exirémité de oe diamètre , il faudrait mener par le point dotiné une parallèle à cette fan- ^Éiap-ei preadrèawkletnn de la«oiiri)o sur ^<à'maktn une loueur égale à fabscitsB-du' point donaé*'

2* Soit RS la droite doniasBj:i u<^ Ui»è paràtiète à

cette droite ; par le milieu . H de la çorde, MH parallèle à l’axe de la parabole; et par f extrémité M de ce diamètre, MI parallèle à RS ou à DE, ‘

.«dfiiO* »<é *h*W!reî,n*ti' ***^'

-da-tmoli ki pncffiLtlflb ’ 1| üi’ 'U- I s’V

;?? mfwm

au point de contact

(221). St donc du point F on mène Fiu peppèndicnlaire aia tangente, on aura IF^G,et^^::;eDik^l<pKDtPG==PF, et MG=MF;-

tlaso!A riutm^ectkM) de ;d«u çlrcotriiépe»o»iiÀpiiM-u»e déitrite dv^oint-P e»mi»e ceetre >«ad’.te nyoa égpiiàJl|E#'el>^tlte do ipoiM £* avec AA''-ipo«r rayout;’ rijiîro! si , -< ,ii-t

Ayt^ déterminé le poîntG, op joindra GF ; et-, par le point P, ohhièb«^ïtll'VMt>«»dlculailiem«rti<iF : fedroAufIM'seéa la tangente deinandée. ' -»<t-

Leprobièitte a deux solutions , caries ëeêxi^rcotaféraooes se coupeqt .Dëcessaireuieut cp un second point G* s ea cSet, ces deux circonférences n’’auraient qu’un point commun, si F'G — PF = PF', ce qui place les trois points F’, P, G, en ligne droite; or, F'G=F'N*^NF, et la relation précédente se réduit à NF — PF = PN ; ce qui est absurde.

I'*RerAirgue. Si l’on joint le point 0, milieu ^e FF',.aveclepo«t I, milieu de GF, la droite 01 sera parallèle à PG et égale à sa moitié : donc 01 ~ A* ainsi qu’il a été démontré généralemcut

IP Remarque. Le diamètre t)D' parallèle i la tangente lU est conjugué au diamètre Mm, qui passe par le point de contact t donc MH = 01. •

THÉORÈME

t» partie ë’un rayon recteur compriw entre ta Ungenle «tie diantUecoirfiMaS «le celui qui pane par le point de contact eut égale au demi.graDd axe.

Si l’on mène PP perpendicolaire i h tangente IM > et , par teS points F et 0, FK, OL, parallèles à IM', on aura

FJ = PK = I'L — LP,

PP= l'L + LP; ,,

d’où FI . PP = FD — Ïp5.

Joignant OF , et observant que 01 = A et OP —c=P'"a^— B» ' on trouvera , par les triangles rectangles OI'F', OLF', *

c PL» = A* - ÔL? .

rF'a=c» — UL»t FI . PP = A»— c»=rB»,