CT
d’oii
comme il a ét^ trouvé précédemment (226).
Lorsque le point donné est sur la courbe , le point M par exemple, il suffit de méner les rayons vectenrs FM, F'M, et de diviser l’angle GMF en deux parties égales : la droite MI qni opère cette division est la tangente demandée. ^
PnOBLÈBIE.
Par un point donné mener nne tangente à l’hyperbole, f le point donné «tnt extérieur, 2® le poiol donné élanl sor la courber
Conslruclion analogue à la précédente (6g. 85). Nous laisse-
itîàJ«0évrtéë(>h>'d»l^nectuer, «t di ÔH>i'#l'fappU<^on i)ej|!|»ropriâiéi'qat; fdnt IV>bi«t <d^ rcmài^]^ pr^eëdefltes. '
boints
OF''Ôii^Cf‘F,'‘et du pOiot P ''abàiâsez sdr c^s di^ifeslés perpendiculaires PJVLÏM', qui feront les deux lanjsëntca idier-
nMÎiriii^ ' ‘■■t ji\ Il ■
’-.J OIMftdlbr^IlttéHi ^ê’j’le^uîyt !^/'pîeB dé' là 'pel'^p^ulaii^ abaissée du foyer sur la taqéeutej, jétant le milieu dél'OP ,'et'le ’f'poiut A le milieu dé-DF, 'te point I se trouve sur la perpendi- Mfi^irnèHidledde Sim4^!té|üar lé S<liitdiétHlb‘taii5Qnirl^
8* Si ^■pbtef^ôftîië* eèt sut*' ià courbe'', ’ én IVI par et^ple , AISMii |q djiMllàlre'j^l et âi«»^ l’an^ est deux paë^ties égales par la droite MI« iqftii sera 1^. tangente demandée.
"PROBÎÆliE.
856. Étant donné an iykSe de diamètres conjugnés de l'ellittse, déterminer les axes et coDsUuire laxonpdj)^ ... i ! t::: 'Î' S. ’ 'l • fi> !•'
E«(fig. 87>, les.dia,“^s,c9«6.'^®^?dQP0^ r
1 ‘‘■¥arYMtfMiSj|p’^^ diâmki^'OD menez parallèle^ la droite ïTOB') qtil'^ra une tangente' à l’éÜîpse. Tar le m^e point élevez DN peppendKxdairemeittàHtL', et prénez DN =: OE ; puis, par les points 0 (^t;N:^ites paisç(|~tiQ cercle dont le centre soit sur BU', et qui rencontre cette mèmè droite aux points B'.
D’après une propHélé connue , Dfl . Dfi* = DN* = ÜE* , et de plus , l’angle HOH' é8ti6'4r(Ht«ki6 axes t^ront dirigés suivant les
iiirf.lt t«r»^ o<*
' r‘PjlWfc^yri^'7fif“'Tii*rTl*‘i^^l 4^t^ivo? une demi- P ^aissoft.lqferpendicnlaire inconstruction, entre OP et On, sera égal àii demi-grand axe (208). Enfin, menant DG parailéle à 6H, OG sera le demi -petit
■■aK*5(#4)» 5Î *> •S*.”-'" J. ’ '7' ',
q.es axes éipnt connus dé grandeur et de directiçn, on déterjnioeta les foyers ét l'ou éonstruira la courbe. ' . 1 •
Au surplus , on peut détermiuér les foyers directemeat ainsi qu’il suit : • *
Par le point T , où l’arc AM, décrit du pbint O cortime centre et d’un rayon égal a»demi-grand axeOM, coupe la tangente HH', élevez à HH' une perpendiciflaire IF ^ qui rencontrera Je gned axe Oft au foyer F ; ensuite il suffira de porter OF en OF', èt tous les éléments nécessaires pour la construction de la iCQarbe seront connus. 4. . 1 .
St57, Étant donnés un paraIIélo«^nime et one droite, trourer par une çpa stniction gra|ihique le point d’intersection de la droite et det'Unpse irrite au puellélogramme et tangente aui milieux des oAtés , sans construire la eodrlie.
Les droites menées par les milieux des côtés oppostjs fprknept un système de diamètre conjegués , et sé coupent au centre de l’ellipse inscrite. D’après le problème précédent , dét^ih(fez le grand axe et les foyers, puis la directrice, et cherchez, par le problème du n» 151 ,' le point d’intersection de la droite et do'^ l'ellipse, sans construire la courbe. • ' .t.-.. ■
■ • 1 ' ■‘‘.ntl '*i »■«
‘si . ' I .
858, Décrire une courfie du 1* degré tangente'à trois droites (Jopné^ ^ sorant ‘ pour foyer un point donné.
D, P', D", étant les trois droites données et F ie jpoint donndV abaissez du point F la perpendiculaire sur chacune de ces droites. Soient P, P', P", les pieds de cesperpendicnlaires. 'i ' ' ’
1": Si les points P, P', P", nesont.pM en liçne droite, cher^ez le ècntrc G du cercle passant par cés trois points ; le point G sera le centre de la courbe, qui pourra être use eliipM.nq nné hyperbole.
joignez CF, et prenez sitr cette droite indéfinie, départ et d’antre du point G , CA =: CB = CP : AB est le grand axe de ^ l’ellipse ou l’axe transverso de. i’byperbole. - ■ ’ » ) >/.<
2» Si les poiuts P, P*, P", sonten ligne droite, deilédrinte est la perpendiculaire au sommet de la parabole ; aloi^ abaissez,' du point F,.FS perpendiculairo sur la droite PP'P" t S sera lë dôiiimet de la paratmie ; la directrice sera une parallèle A ’FS', ùnne distance SD c= Sf , et tous les éléments de la parabole' seront côunus. 6. » " • :
-, D’après o^la.OB résoudra Eacilcmentle problème suittniirr*
- • s* . • PROBLÈME. . '
Décnre une parabole tangente, à deux droites données , et ayant pour forer un pOiMdoiuié; *' t ' '
ÎKW. Inscrire dans un triangle donné une ellipse qui touche les trois edtés en leurs milieux.
Soit MNP la courbe demandée (fig. 88). La droite MN , qui joint les points de contact, étant parallèle à la tangente BC, et la droite AP.passant par le point de contact P de cette tangente, les droites AP, MN , sont conjuguées entre elles.
Soit 0 le centre iucounu de la courbe , et les demi-diamètree conjugués OD = A, OE^B, qu’il s’agit de déterminer.
Faisons pour abréger ,
AP = m,BC = Aj d’où AII = |m, MH=^Ai etenBn OH = «, Mn = jS;
Féquaiion de la courbe sera A^y* -|- BV = AV ,
et pour le point M on aura A*^* -f- BV = AV.
^ D’après le n» 208 on a OH . bÀ=;4.»^ e|, par la subslilittinn des valeurs précédentes ,
OBa8«ssHP *!^OP z=|fn->Aÿ OA = AP-
àM ' ^ ^
OP = m A.
Les deux équatiooa de condition seront doue , r
' frf
d'où Peu H», UMrtè réducHon fiiiiei ^
■ ' • >: . '* • A;— -3» -DSC:— 4. r ».
De là cette constmettoo t JoigtfèzCM,ei liroeatre dé la Moèlle rUMMs^ioi O des droilea AP,^ CM', o-ust-èMlke au <ipntre «legi^nirité ,du trian^ ; Je demi'diiiaaètre A dirigé snvaiM 4P sera OÇ;» et le deDaâ-diaaBèire conjagaé.OË sera la moitiédu do cerqletarcoeacnt aa triangle éqaü^tëral eeastmit sur In.pase eonaaissaat ua système de diamètres- conjugtlM^e gr^eur et de posiflonsj la solution s’achèvera’sans diffienildt •t •n-tssanglaesl aquikUmi', las dfaeaètres aont periie<t4iou>
t by Gt ■’
laires , et l’on a , à cause de m = A , A = B , c’est-à-dire
que l’ellipse se change en'circonférence, résultat qu’il était facile de prévoir a priori^
PHOBLÊME.
340. inscrire dans on pv«Uilognuiuna donaé un* tfUpse dont le rapport des
axes est donné. ... t*
Soir ABCD (fig. 89) te parallélograitmie donné. Connaissailt ' le rapport des axes, on détennrnera le rapport des deux diamètres conjngnés faîsant entre eux no angle donné (216).
Or, les diagenales A€ -, BD, forment un système de dtamèlres conjugués J et se coupent an centre de la courbe (229) ) en désignant par A et B les demi-diamètres conjugués suivant ee»
diagonales, on pourra regarder le rapport ^ comme eonnu^ et
le problème est ramené à trouver la longueur de chacun de ces demi -diamètres.
Ponrcela, soit M un des points de contact de Tellipse cherchée. Faisons OP = «,MP= P; 0A=o, OB = A: on aura d’abord
la relation ' ■ .
A’^ï -t- B’«* = A^BS . (1)
et, d’après le n* (228), oa = A^; '
d’ailleurs , le point M se trouvant sur la droite AB , dont Téquar
tion est ^ ,
on aura pour troisième condition '
■ UM j;'i„ ni
et enGn , d’aj^rès l'énoncé ,
rapport donné. Les équations sont donc en nombre suffisant' pour déterminer les inconnues a, |3, A et B. -v
^jintinaut « et entr^les équations (l)j , (2) ,.(^),.Qn ttouyera ' A*A2 -f- BV — aV =9 , -ü jcir.q
OtI
aï *T ^2 — ï »
équation d’une ellipse dont les diamètres sont a et h. Les Ta> leurs de A et B sont donc les coordonnées du point d’intersection de l’eilipsê (5) et de la droite (jx).
De lè cette construction : Construisez sur OA , OB , comme demi -diamètres , l'ellipse cin»nscrite au parallclo^mme donné. Prenez, sur OA = a, 01 = n; par le point 1 menez IM parallèle à OB I et prenez IM = m ; la droite OM prolongée rencoatrêra l'ellipse cironscrite eu un point N , que l’un déterminera d’après le problème du n’ 237, et dont les ordonnées MP, OP, seront les demi-diamètres cbercliés A et£, dirigés suivant les diagonales : dès lors la construction de l’ellipse inscrite se fera sans dilUculté. ,,
. ^Remarqué. Le problème a deux solutions , chacun des diamèlm pouvant être dirigé suivant Tune ou Tantre des diagonales.
> ; 1 îd» rr- -■ i ; ... I.
Jaterire dut un parelldlogranue une eUipte atsujeUie à puter par un petnt Ou plus généralement :
' Décrire une ellipse ou une bj'pcrbole tan{;cnte aux quatre cétés d'un parallélo- > donné, et pasMnt par un point dpiwié. - -il '.'''i '
donné.
. .'Vt
r.jt /I et A les demi-diagonales du parallélogramme sutlésquell^' seront 'dirigés deux diamètres Cohjdgu'és" de l’ellipse. Soient 2 A, 2B, ces dian^èlres inconnus ; et enfin p,q, les coordonnées du point dofiné rapportées à ce système d’axes conjugués. ’
équations du i^oblème sèèont ' ‘ '''■
AY + B*pl=VB^
A? = api
d’où l’on tirera sans difficiilté ' ''
W, taleùi^ et' snHè lalconriie
demandée.
