Exemple V. — Résoudre l'équation

On a d'abord :

Mais

=ar*+a? + i, d'où a?'— i = (x— i)(aî*+a?+ i),

X — i et

îl±i =35» — a?+ 1, d'où x''+i={x+i){x^—x+ 1).

L'équation proposée peut donc s'écrire :

(a?— i)(a?^ + a?+ i) (x+ 1) (x* — a?+ i) = o. Celte équation est vérifiée par :

1* X — 1=0, d*où a? = 1 .

2*a,2-f^4-i=o> d'où 5?= , valeurs imaginaires.

3* a:+i=o, d'oùar = — i.

4 a^— a:+i=o, d ou a? = ,

valeurs imaginaires.

Les seules solutions réelles de Féqaation sont donc i et — i .

107. Exemple VI. — TroyA)er deux nombres connaissant leur différence 3 et la différence iiy de leurs cubes. Soient x, y les deux nombres demandés, on a :

a? — y = 3, x^^y^=iiy.

De la première de ces équations on tire a? =3 + 1/. Substituant dans la seconde, il vient

ou

aÉsoLUTioN d'Équations. aS

d'où

Les valeurs correspondantes de x sont donc :

Les nombres demandés sont 5 et 2. On peut remarquer qn. les quantités — 2, — 5 vérifient les équations du problème.

108. Exemple VII. — Trouver deux nombres connaissant leur somme 7 et leur produit 12.

Le système à résoudre serait ici

Mais si Ton remarque que dans une équation du deuxième degré

la somme des racines = et leur produit = — , on en con-

dura facilement que les nombres demandés sont les racines

de réquation

Résolvant, on trouve 3 et 4 pour les nombres demandés.

109. Exemple Vin. — Trouver deux nombres connaissant leur somme 11 et la somme 61 de Uwrs carrés.

On a immédiatement les deux équations

Élevant la première au carré et retranchant la seconde d a résultat, on trouve :

25^/= 60, d'où a?t/ = 3o.

Connaissant la somme et le produit des nombres demandés, on est ramené à la question précédente (108) et l'on trouve 5 ot 6 pour les nombres demandés.