Exemple VII. — Cas général. — Trouver le maxi

ax^ I bx I A mum et le minimum de V expression , nT^, T , ,

ax^-^-hx-^-c

{a — ma')^* + (6 — mb')x + c — me' = o,

— {b — m¥) ± \l[b — mb'Y -~4(a -- m a') {c — me'}

2(a — ma') *

-^[b--^mb^)±\J(b'^-^^a'c')m^+(iac'+^ca''^2bb')m+b^-^^'c^

2(a — ma')

Posant b^ — 4a V = A, 4ao' + 4ca' — 266' = B, 6^ — 4ac = C, il vient :

^{b^ mV) ± VAm^ ^ B^ -|, G

2 (a — ma')

Pour que 2; soit réel, il faut que Ton ait :

Am2 + Bi/i + C>o. (1)

Si pour décomposer le trinôme Am^ + ^^H"^ ^^ forme réquation Am^+Bw + C = o, il peut arriver que les racines de cette équation soient réelles et inégales, réelles et égales, ou imaginaires.

1* Les racines sont réelles et inégales. — Soient m', m^ ces racines {m'>m% on a alors Am*'j-Bm+G=A(w^m')(w— m'') et la condition (1) peut s'écrire

Si A est négatif, la condition n'est remplie que pour les valeurs de m comprises entre m' et m" et de plus pour les

valeurs m', m''; m\ c'est-à-dire la plus grande des racines est donc le maximum de l'expression, et m^ en est le minimum (114, Ex. III).

Si A est positif, la condition n'est remplie que pour les valeurs de m supérieures à m' ou inférieures à m"^ et de plus pour les valeurs m', m''. Ici donc im!\ c'est-à-dire la plus petite des racines est le maximum et r/i'est le minimum (1 15, Ëx. IV).

à"" Lds racines sont réelles et égales. — Soit m' la valeur de ces racines, on a A7n*-f-Bm-|-C=A(m — Tn')' et la condition (1) devient:

Avec A positif cette condition est remplie quelle que soit la valeur de m, il n'y a donc ni maximum ni minimum (116, Ex. V).

D'ailleurs, dans le cas actuel, A est toujours positif. En effet, si Ton avait A < o, la condition de réalité ne serait satisfaite que pour la valeur unique m = m', ce qui ne peut évidemment arriver lorsque l'expression proposée est réellement variable.

3* Les racines sont imaginaires, — On sait que dans ce cas (28) le trinôme est égal à A multiplié par la somme de deux carrés dont l'un est indépendant de m. Donc avec A positif, la condition (1) est toujours remplie et il n'y a ni maximum ni minimum (117, Ex. VI).

A est d'ailleurs toujours positif dans le cas actuel, car avec A négatif, la condition de réalité ne serait jamais remplie, c'est-à-dire que x ne saurait avoir que des valeurs imaginaires quel que soit m, ce qui est évidemment absurde.

Il peut arriver que Ton ait: A = o, alors la condition (1) devient :

Bm + C>o.

On en tire, si B est positif, w > — t^ ; il y a alors un mi-

nimum — - et pas de maximum (112, Ex. I).

Si B est négatif, onam<— -;ilya alors un maxi-

mum — û ^^ P^^ ^^ minimum (11 5, Ex. II).

QUESTIONS DE KAXIMUa ET Bfi HIKIMUM. S5

li9. BaLemple VIII. •^ Partager ufi nombre a en deux parties dont le produit soit maximum.

Soit â? l'une des parties, a-^x sera l'autre et Ton devra avoir :

x{a — a?) = m, 0?*— tfa? + m = ô,

Pour que x soit réel, il faut que l'on ait ;

a* — 4m>o, d*oîi m<a*.

Le maximum est donc -^ . Pour cette valeur, x =r - , il

faut, par suite, pour résoudre le problème, partager le nombre donné en deux parties égales.

120. Bitemple IX. — Partager^un nombre Sien trois parties dont le produit soit maximum.

Soient a?, y^ z les parties demandées et, par suite, xyz le produit maximum ; nous allons prouver que les trois facteurs Xj t/, z doivent être égaux. En effet, supposons x différent de y y par exemple ; comme la somme x-^-y est constante, puisqu'elle

est égale à a — %, le produit!— '--^||--^i^| serait plus grand

que xy (119), et par suite on aurait 1 "^ | { ' ^jz > xyzj

ce qui est impossible, puisque par hypothèse le produit maximum est ocyz.

Donc, pour partager un nombre en trois parties dont le produit soit maximum, il faut prendre chaque partie égale au tiers du nombre.

En général, le produit de n facteurs positifs de somme constante est maximum lorsque tous les facteurs sont égaux entre eux.

121 . Sxemple X. — Partager un nombre a en parties x, y, z telles que le produit x* y'^z*' soi^ maximum^

DUPAILLY. — PROBLÈMES. %

Le maximum demandé aura lieu en môme temps que celai de Texpression

fn np

puisque le dénominateur introduit est une quantité constante. Or,

m «V W W/ W m m m un P p

Mais la «omme des tn-{-^+p facteurs de ce produit est eonstante puisqu'elle vaut or 4~ 2/ + 2 ou a; donc le produit sera maximum lorsque tous les facteurs qui le composent seront égaux entre eux (120), c'est-à-dire lorsque Ton aura :

X y z tn n p

Il faut donc, pour résoudre la question, partager le nombre donné en parties proportionnelles aux (exposants des facteurs du produit.