Par le point do contact de deux circonférences taa
74 PHOBLÉMES DE MATHÉMATIQUES.
génies, on mène deux cordes communes : prouver que les lignes qui joignent leurs extrémités sont parallèles.
146. Les rayons de deux cercles valent o",o5 et 0*^,02 : quelle doit être la distance de leurs centres pour qu une tangente commune intérieure fasse avec la ligne des centres un angle de 5o* ?
147. Quelle fraction de la circonférence est un arc de 27'i7'32''?
148. Calculer le rapport d'un arc de 521*22' à un arc de 27* 21' i'' pris sur la même circonférence.
149. Étant donné un polygone régulier de 17 côtés, trouver l'angle formé par deux côtés successifs. Dire en outre s'il y a dans un tel polygone deux côtés parallèles et trouver le plus petit angle formé par deux côlés prolongés.
150. Les rayons de deux cercles concentriques valent 36«» et 20'n : calculer la longueur d'une èorde du grand, tan-
• gente au petit.
151. Deux observateurs placés h bord de deux navires et élevés de 5°* au-dessus du niveau de la mer, cessent de se voir à la dislance de 12600^: déduire de là une valeur approchée du rayon de la terre.
152. A quelle distance en pleine mer s'étend la vue d'un homme placé à 60 mètres au-dessus du niveau de la mer? On supposera le rayon de la surface de la mer égal à 6566198°^.
153. Calculer à o»,ooi près la longueur d'une tangente commune à deux cercles ayant pour rayons 58"^ et 13°* et dont la distance des centres vaut 126 mètres.
154. On a deux cercles dont les rayons valent 62 mètres et 48 mètres, et la distance des centres = i65": calculer à o™,ooi près la portion comprise entre les deux cercles d'une parallèle à la ligne des centres menée à 30"" de celle-ci.
155. Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l'angle droit valent 1" et 2"* : calculer à o™,oi près le rayon du cercle inscrit.
166. Dans un triangle rectangle un angle aiga.= 60* et le côté opposé vaut 1" : calculer à o",oi près la valeur de l'autre côté de Tangle droit.
157. Mener par le centré d'un cercle une oblique GDJ(/î^. 10)
sur une tangente en un point A telle que Ton
ait DE = - AD.
168. Les deux bases d'un trapèze valent 738" et 548"" ; les deux autres côtés valent chacun 203". Calculer à om^ooi près la Ion- FigTio. gueur des diagonales du trapèze.
159. Du sommet de l'angle droit d'un triangle rectangle on abaisse une perpendiculaire sur Tbypoténuse. Calculer la longueur de' cette perpendiculaire et celle de chacun des segments derhypoténuse, en fonction des côtés b et 0 de l'angle droit.
160. Dans un cercle de ^Q^ de rayon, on mène un diamètre et une corde perpendiculaires : la longueur de la corde est 24'". Calculer la longueur de chacun des segments qu'elle détermine sur le diamètre.
161. Le rayon d'un cercle vaut 5",^; on le prolonge d'une quantité égaleà s'^^î P^^ l'extrémité du prolongement on mène deux tangentes au cercle et Ton joint entre eux les points de contact. Calculer la longueur de la corde ainsi formée, ainsi que sa distance au centre.
162. Les côtés de Tangle droit d'un triangle rectangle valent 3", 128 et 4*^,275 : calculer ào",ooi près les segments que la bissectrice de Tangle droit de ce triangle détermine sur l'hypoténuse. /
163. On donne l'hypoténuse d'un triangle rectangle et la perpendiculaire abaissée du sommet de l'angle droit sur cette hypoténuse : calculer les deux côtés de l'angle droit du triangle.
164. Etant donné un cercle et un point extérieur, mener par le point une sécante telle que la partie comprise dans le cercle soit moyenne proportionnelle entre la sécante entière et sa partie extérieure.
tO problèmes de mathématiques.
165i. Sur une lîfçr»e AB dont la longueur égale' o^,^^^ on élôva aux points Âi ek B> des perpendiculaires AG, BO) dont les longueurs valent: AG, o"',i3; BD, om.oT-. On pfendensnito sur AB un point 0 tel que les angles COA, DOB soient égaux: calculer les longueurs OA, OB.
166. Od prend sur le diamètre d/un cercle deux points G, D également distants du centre 0 et Ton joint ces deux points à un point quelconque M de la circonférence. Démontrer que
ta somme BIG '-}- MD est constante.
167'.. Deux cordes d'un oercDe s» eoupanè; les deux parties de Tune valeni raspesctiveoifeiBl i'";^ ei2*^i; deplusv la diiférence entre les deux parties, de Tautre est. i"^,84. Gaiculâr la longueur de cette dernière corde..
16A. ÉMmïL donnée un* eiroonfénence dont leirajron ss i" ei UA point disAani.dir eentre de 8^', mener pair le point unesé*
caiite telle que la corde inlerceplée soit égale au rayoni du» cercle. On calculera à o^yOi près la longueur de la partie extérieure de la sécante.
i6d. Oa pmlonga le^ rayon d'un eerclo" d'miei longixâvn donnée a; mener par l'exlrémité du prolongement une- sécant» telle que le rapport de cette sécnnte à sa pnrlie extérieure soit égal à une «quantité donnée IL Dire si E peut être pris arbitrairement.
170i. Menei) par «ot pomtprifi surnna cinconféfenDâ ua»tan^ gente telle que sa longueur soit double de^ U partie eaubèriennet d'une sécante cassant par le centre et par l'extrémité de la tan» gente demandiSe.
17.1. DâtermineF'suc une tangjentô à un cescle de 5^^045' dor rayon un point tel qu'une sécante menée au cercle par ccpoinli et le centre soit partagée en deux parties égales au point où elle rencontre Te cercrc.
172; Pactager. uoia droita* en parties j^^^poctionaedles h» 2^ 3 i
173i Élmrt AMinées deisi. droite» pârdllMee sur lesqiielifes' sont pris deux systèmes de 3 points A, B, G^ -^'i ^r ^'r* ^^
«fiOUÊTRIE FLANE,
fdanm AB = *", BG = 5«, A'B' = i«,24, ©'C'*= 3»,io ; dire )Si iles droiles AA^, BB^, QCf prolongées iront se rencontrer au -wêniB poifit.
474. On joaèae une droite par les milieux des côtés parairlèles d'un Xraipèee, démontrer que cetle ligne et les côtés non jparalièles xiu trapè;se étant prolongés iront se rencontrer au inême j^uint.
l'TS. Deux triangles situés dans le même plan ont leurs <iÔlés respex5tivemenjt parallèles. Démontrer que les lignes qui joignent leurs sommets homologues étant prolongées vont se rencontrer au môme point.
176. Par un des points d'intersection de deux ciccoaijér^nees sécantes on mène trois cordes communes. Démontrer que les triangles formés en joignant entre elles les extrémités de ces cordes «ont sembloblas.
177. D'un point donné en dehors d'un cercle on mène des dw)iîtes terminée» àla-cireonféT^enee^ Ton prend sur ces droites^ à partir da point donné, des kngoeurg proportionnelles aux droites entières. Prouver que les extrémités de ces longueurs sont sur une circonférence.
VT&. La ligne BC {fî/j. 1 1) étant perpendiculaire sur rry,. on
mène par îe point A une séicatile qucSconque DE. Démontrer que le pro4uût AD x AE est constant.
tTB. On a mn gisedr^atère ABGD ^^. %2) DecUi^ 'ea B et D ; du point M miHeaL de la diagonale AG on abaisse les «perpendicfilaîres IHP, MQ sur les <sîÔté8 CD, GB. Prouver «[«e
AD ' m
