Dans le trapèze ABGD (Ôg. i6j AB = i«, AG

GD = 5": déterminer dans quel rapport ia ligne AG est partagée par la parallèle lE qui divise le trapèze en deux parties équivalentes.

Tig. 16. 206, On donne un quadrilatère et un axe

GÉOMÉTRIE PLANE. 8l

situé dans son plan : prouver que la distance à l'axe du milieu de la ligne qui joint les milieu:^ des deux côtés opposés du qua-» drilatère est moyenne arithmétique entre les distances des 4 sommets à Taxe. i

206. Démontrer que si dans deux triangles ABC, A'B'C, ' deux angles A et A' sont supplémentaires, les deux triangles sont entre eux comme les rectangles des côtés qui comprennent les angles supplémentaires.

207. Les côtés d'un triangle valent 32™, 28m, 37^ : calculer à 0^,001 près les côtés d'un triangle semblable au premier et ayant sa surface triple.

208. Deux triangles équilatéraux ont respectivement pour côtés 43^,57 et68°',55 : calculer à o™,oi près le côté d'un troisième triangle équilatéral ayant sa surface égale à la somme des surfaces des deux premiers.

209. Les côtés de deux hexagones réguliers valent 33°* et 56°* • calculer le côté d'un 3™" hexagone régulier ayant sa surface égale à la somme des surfaces des deux premiers.

210. Les côtés de trois pentagones réguliers valent 5™, 7", i3™: calculer le côlé d'un 4°"* pentagone régulier ayant sa surface égale à la somme des surfaces des trois premiers.

211. Menerparlesommet d'un triangle unedroite aboutissant au côté opposé et qui détermine deux triangles tels que: 1" leur somme; 2° leur différence soit au rectangle des segments de la base comme m est à n.

212. Étant donnés deux nombres a et b, prouver que tout triangle dont les côtés sont proportionnels aux quantités ab,

! — ^ est un triangle rectangle.

213. Partager un triangle en deux parties équivalentes par une parallèle à l'un des côtés.

214. Mener dans un triangle une parallèle à l'un des côtés telle que le petit triangle ainsi formé soit égal au tiers du triangle total.

DUFAILLY. — PROBLÈMES. ».

Sa PROBLÈMES DE MATHÉMATIQUES.

216. Partager un triangle en trois parties équivalentes par deux parallèles à Ton des c6tés.

216. Partager un triangle en moyenne et extrême raison par une parallèle à l'un des côlés.

217. Construire un triangle équîlatéral équivalent à un carré donné.

218. Construire un triangle équilatéral équivalent à un hexagone régulier donné.

219. Construire un triangle semblable à un triangle donné et dont la surface soit à celle du triangle donné comme une ligne m est à une ligne n,

220. Construire un carré qui soit équivalent aux deux tiers d'un polygone donné.

221. Mener dans un trapèze une droite parallèle aux bases et qui divise la figure dans le rapport de deux à trois. Cons* truire l'expression obtenue comme résultat.

222. Partager géométriquement une longueur de un mètre en deux parties dont les carrés soient dans le rapport de deux à trois. Calculer ensuite les parties à moins de o",ooi près.

223. Trouver sur une droite AB un point K tel que Ton ait AKxKB = — .

224. Évaluer le côté d'un carré sachant que la difiérenccr entre ce côté et la diagonale du carré est égale à 6" : calculer en outre le rayon du cercle circonscrit au capré.

225. Un terrain est limité par un polygone irrégulîer dont le contour = 432" et dont tous les côtés sont tangents à ua cercle de 54™ de rayon : calculer la surface du terrain et le côté du carré équivalent.

•226. Calculer en hectares la surface d'un hexagone régulier de 235*" de côté.

227. La surface d'un hexagone régulier = 54»*^% 19 : calculer son côté à 010,001 près.

GÉÛBfÉTRIE PLANE. 83

C23. Une salle rectangulaire a 6^,936 de longueur et 5", 10 de largeur ; on veut la carreler avec des carreaux ayant la forme d'hexagones réguliers de on»,i de côté en remplissant les vides aux angles et sur les côtés du rectangle avec des fragments de carreaux : calculer le nombre des carreaux nécessaires.

229. Calculer la surface d'un triangle équilatéral sachant que le rayon du cercle inscrit = 142", 25.

230. D'un point situé dans le plan d'un triangle équilatéral de 5oo" de côté, on voit deux côtés du triangle chacun sous un angle de 120* : trouver la distancée de ce point à Tun des sommets du triangle*

281. On donne un hexagone régulier et Ton joint ses sommets deux à deux ; on forme ainsi un second hexagone intérieur au premier : prouver qu'il est régulier et que sa surface est le tiers de celle du premia:.

232. Calculer le périmètre d'un octogone régulier inscrit dans un cercle de 3™,5o de rayon.

233. Évaluer le côté et la surface d*un octogone régulier inscrit dans un cercle de 10™ de rayon.

234. Le périmètre d'un hexagone régulier = 10" : calculer à 1 centimètre carré près la surface du cercle inscrit dans cet hexagone.

236. Calculer la surface d'un dodécagone régulier en fonction du rayon du cercle circonscrit.

236. A un cercle de 10° de rayon on mène des tangentes perpendiculaires entre elles deux à deux : prouver que le lieu de leurs rencontres est une circonférence et en calculer le rayon.

237. Calculer le rayon d'un cercle dans lequel un arc de i*' vaut o™,ooi,

238. Dans un certain cercle un arc de 97**2i'46''',2 vaut 23": calculer la graduation de l'arc de ce cercle ayant pour Ion* gueur 1 mètre.

239. Calculer à o",ooi près la longueur dune circonférence inscrite dans un triangle équilatéral de 7",35 de côté.

84 WODLÈMES DE MATHÉMATIQUES.

240. Calculer à o»,ooi près la longueur de la corde qui sous-tend un arc de 120* dans un cercle de /^S>p^,25 de rayon.

241. Calculer à o",ooi près le rayon d'un cercle sachant qu'une corde de ce cercle = ^^,2^^ et que la corde qui sous-tend un arc double = 4"», 1 20.

242. Calculer la corde, le secteur et le segment correspondants à un arc de 60" dans un cercle de 2'",35 de rayon.

243. Calculer les surraces des cercles inscrit et circonscrit ù un triangle équilatéral de 6" de côté.

244. Deux cordes menées d'un même point d'une circonférence aux extrémités d'un môme diamètre valent respectivement 4", 19 et 3«»,25 : trouver Taire du cercle.

245. Calculer à un centimètre carré près Taire d'un secteur de 5o**5o'42'' situé dans un cercle de i'",92 de diamètre.

846. Trouver à i" près la graduation de Tare d'un secteur dont la surface vaut un décimètre carré et qui appartient à un cercle de o",5 de rayon.

247. Calculer à o"*,ooi près le rayon d'un cercle dans lequel Tare d'un secteur de o"'*i,64 de surface a pour longueur o°,45.

248. Calculer à un décimètre carré près Taire d'un segment de cercle dont Tare est de 3oo' et le rayon = 1™.

249. Calculer en hectares la surface d'un segment compris entre un arc de 90* et sa corde dans un ceî'cle de 728" de rayon.

250. Evaluer le rapport des surfaces des deux segments dans lesquels est partagé un cercle par une corde égale au rayon.

251. Calculer le rapport de la surface d'un triangle équilatéral à celle du cercle circonscrit.

252. On prend sur un cercle un arc de 3o* ; on forme le secteur et le segment correspondants. Calculer le rayon du cercle sachant que la surface du triangle surpasse celle du segment de 2°''*.