Quand les côtés sont inégaux , les angles le sont aussi

On peut donc choisir indifféremment l’un des quatre couples ,1 et 2, 1 et 3 , 3 et 4, 2 et 4; ils sont exactement sur le même rang, ont la même valeur, l’un n’est pas plus à rejeter que l’autre.

Du paradoxe géométrique

C’est ici le lieu de parler d’une difficulté logique qui n’a pas encore été signalée , que nous sachions , et dont la solution rions sera plus tard d'une grande importance, entre autres dans la théorie des ligures semblables. Procédons par un exemple :

Le cercle est une figure que trois de ses points déterminent; en d’autres termes: par trois points on ne peut faire passer qu’un cercle ; ou bien encore : étant donné un triangle, le cercle circonscrit est déterminé; propriété qu’énonce le théorème suivant : Quand les triangles sont égaux , les cercles circonscrits le sont aussi. Nous savons que de cette proposition nous pouvons déduire logiquement la réciproque de l’inverse, à savoir : Si les cercles sont inégaux, les triangles inscrits le sont nécessairement aussi. Mais comment se fait-il que l’inverse et la réciproque soient fausses ; qu’il ne nous soit pas permis de dire : Quand les cercles sont égaux , les triangles inscrits le sont ; et , quand les triangles sont inégaux , les cercles circonscrits le sont aussi ? C'est que l’on a affaire ici non à un cercle simple, mais à une figure composée d’un cercle et d’un triangle inscrit , ou encore à un cercle avec des points déterminés , ressortant sur sa circonférence. À ce titre on } peut dire que les cercles \,„ A B C et abc, en tant que

; cercles , sont égaux , sans qu’on en puisse dire autant des figures formées de ces mêmes cercles et de trois points disposés sur l’un autrement que sur l’autre.

g 2. — DE LA MÉTHODE EN GÉOMÉTRIE.

La systématisation d’une science quelconque , botanique, zoologie, physique, géométrie, comprend trois opérations: la description on définition des phénomènes dont elle s’occupe ; leur classification ou la division de l’objet général ; enfin , leur enchaînement ou leur démonstration. Si l'on réfléchit au rapport intime de ces trois opérations , on voit qu’en réalité elles n’en forment qu’une, que l’une d’elles bien faite entraîne les deux autres , qu’elle est toutes les trois a la fois. La description de l’objet, plante, animal, météore, ne sera complète et exacte que lorsque sa place , daus l'ensemble des autres êtres vivants ou des autres phénomènes naturels, sera précisée; car on doit le comparer avec tous ceux-ci pour bien déterminer , bien saisir la valeur des caractères qu’on lui découvre, et même pour les découvrir; et la classification elle-même, si elle est naturelle , si elle se base sur les caractères essentiels , non-seulement complète la définition , mais n'est même que la traduction de la loi qui préside à l’enchaînement des phénomènes , c’est la démonstration établie par le fait , et devenue un objet de l'intuition.

Telle serait la science dans son idéalité. Celle science idéale, type éternel de la science humaine, on peut en dessiner les contours, en dresser le plan, et elle servira de mesure pour juger du point où la nôtre est arrivée. Ce sont les conditions de la géométrie idéale que nous allons établir dans ce qui va suivre.

Première opération Description de» objets , définition

La description prend en géométrie le nom de définition ; mais elle reste une véritable description

dans le sens étymologique. Pour nous donner une idée claire de la figure, elle doit nous la faire voir, ou nous donner les moyens de la tracer ; elle doit être génétique. Remarquons toutefois, pour compléter et préciser ce que nous avons dit plus haut, qu’il ne suffît pas de la simple vue de la figure tracée , dessinée ; car l'idée que nous nous en ferions d’après cette vue pourrait être fausse : une ellipse d’une faible excentricité ressemble très-bien à un cercle. Pour en saisir les caractères spécifiques, il faut savoir comment elle a été engendrée ; et lorsque nous sommes en présence d’une figure naturelle , notre premier et unique souci , c’est , en général , d’en rechercher l’essence , le mode de génération, ou de la ramener à l’une de ces figures idéales qui nous sont connues parfaitement.

La définition ne doit être ni négative, ni circulaire , ni surabondante.

Nous entendons par définition négative, celle qui nous permettrait de distinguer l’objet défini , de ne pas le confondre avec d’autres , mais sans donner le moyen de nous le représenter. Telle est la définition ordinaire de la droite : La ligne droite est le plus court chemin erUre deux points. En effet, si entre deux points on trace toutes les lignes imaginables, supposé même qu’il ne soit pas absolument impossible de parvenir à distinguer la plus courte, on ne saura pas davantage, deux points étant donnés , les joindre par une ligne droite.

Cette même définition est circulaire (1), mais ce défaut apparaît avec plus d’évidence dans la suivante : La ligne droite est une ligne de direction constante. Car pour distinguer , entre différentes lignes, celle de direc-

Voir le livre suivant.

tion constante, il faut avoir déjà une direction constante, c’est-à-dire une droite : la définition implique le défini.

Comme exemple de définition surabondante, nous pouvons donner celle des triangles semblables : Ce sont des triangles dont les angles sont égaux chacun à chacun et dont les côtés homologues sont en proportion. On sait que deux triangles équiangles ont leurs côtés proportionnels et réciproquement; et que cette dernière proposition fait même l’objet d’un théorème. Les définitions surabondantes exigent ainsi des théorèmes pour en relier les différentes parties (-1).

Deuxième opération. ClaMification de* figure* (2).

Classifier les figures, c’est montrer comment les figures se suivent, comment elles s’engendrent l’une

( 1 ) Nous nous trouvons ici en opposition avec la plupart des logiciens : « La définition suivante , dit M. Ueberweg (Syst. de Log. , page 1321, pourrait être abondante : Les parallèles sont des lignes droites de direction semblable et qui restent partout à égale distance l'une de r autre. Mais cette abondance n’est qu’apparente, si, dans la définition des triangles rectilignes semblables, on a compris l’égalité des angles ainsi que la proportionnalité des côtés. » Quand même cette dernière condition emporterait la justesse de la définition des parallèles , celle-ci n’en pécherait pas moins au point de vue esthétique , puisqu'elle ne devient claire que grâce à une explication antérieure ou subséquente.

Les définitions de la géométrie analytique satisfont toujours à ces règles : l'équation d’une figure fournit les moyens d'en construire tous les points.

( 2 ) Nous développerons autre part l'analogie frappante qu’il y a entre notre classification des figures géométriques et les classifications réellement naturelles des autres sciences. Nous n’avons pas insisté sur ce point pour ne pas être forcé d’cnclaver une théorie nouvelle du genre et de l'espèce, ainsi que de leurs caractères essentiels, dans un travail spécial sur la géométrie. D'ailleurs la classification que nous donnons ici est à peu près celle de la géométrie analytique.

l’autre, les ranger enlin d’après un principe, en espèces, genres, familles, etc. ( I). Quel est ce principe? La réponse est uniforme dans toutes les sciences : il faut procéder du simple au composé. Mais, pour beaucoup d’entre elles, la difficulté est de reconnaître ce qui est simple et ce qui est composé.

La tigurc est donnée par son mode de génération. Elle est doue plus ou moins composée, suivant le plus ou moins grand nombre de ses éléments générateurs (2).

Appliquons coci à la classification des lignes.

L’élément d’une ligne est l’ensemble de deux points consécutifs :

La ligne droite est déterminée par la position du premier élémeut. Le cercle ne le sera que par la position de l’élément suivant; en posant le troisième élément à l’égard du second, comme celui-ci l’est à l’égard du premier, on continuera à tracer le cercle. Mais la position de ce troisième élément étant différente, on commence le tracé de la parabole , et pour continuer à la décrire, il suffit de placer l’élément suivant par rap-

1 1 ) Ici encore la géométrie analytique , mais pour les courbes algébriques seulement , nous fournit un admirable exemple de classification , et de génération de toutes les figures possibles ; le degré de l'équation donne la famille ; le genre résulte de certaines conditions, telles que le signe de B*— 4AC dans les équations du 2 d degré ; puis la variation des paramètres donne les espèces et les individus. Dans un ordre plus élevé, la classification de Monge , fondée sur les rayons de courbure , est un modèle de classification philosophique; et, pour le dire en passant , elle est basée exclusivement sur la forme et sur la différence de trois mesure* pour apprécier les formes.

( 2 ) Voir, à la fin du chapitre suivant, cc que nous disons sur les éléments.

port au second et au troisième, comme celui-ci l’est par rapport au premier et au second (1). Après la parabole viennent les lignes déterminées par quatre éléments : l'ellipse et l’hyperbole , et ainsi de suite. Telle est la classification des courbes élémentaires qui sont proprement du domaine de la géométrie synthétique. Nous ne nous occupons pas de la classification des courbes transcendantes , qui ne sont données que par un élément fini. Les courbes dans l’espace se classent d’après des principes analogues , ainsi que les surfaces.

Nous n’avons considéré jusqu’ici que les ligures simples ou élémentaires; il nous reste à classer les figures composées. Nous entendons par là , toute figure formée de deux autres. Nous disons deux autres et non plusieurs autres, parce que du moment où l’on sait composer deux figures, on en sait composer trois, quatre, etc. (2), une ligure composée de trois figures,

i 1 ' Il n'est pas toujours facile actuellement de trouver par la géométrie synthétique la loi qui a présidé à ces positions consécutives ; la géométrie analytique et le calcul différentiel jouissent, sous ce rapport, de plus de ressources; mais qu’on n’oublie pas que nous construisons ici une géométrie idéale, que la géométrie humaine doit chercher à réaliser. La géométrie analytique elle-même n’estelle pas déjà impuissante à l’égard des courbes du 5% et même du 4* et du 3* degré , par suite de l’état imparfait de l’algèbre qui ne sait pas résoudre, en général, les équations d’un degré supérieur au 4*? le calcul différentiel n’est-il pas entravé par les difficultés, jusqu’ici insurmontèes, qu’offre le calcul intégral ?

\ 2 ) C’est ainsi que l’on doit dire : l'addition est une opération qui consisto à réunir de ux (et non plusieurs) nombres en un seul. On ne réunit jamais plusieurs nombres à la fois en un seul ; on commence par en réunir deux; puis la somme de ces deux-ci avec le troisième; puis cette nouvelle somme avec le quatrième , et ainsi do suite.

pouvant être regardée comme composée d’une ligure simple et d’une ligure composée.

Cela établi, rien ne nous empêche plus d’employer les expressions de figures composées de trois, de quatre, de cinq figures simples.

Les lignes courbes étant infiniment plus compliquées que la ligne droite — ce qui se voit par la génération d’une ligne courbe quelconque, même du cercle, que l’on est porté naturellement à regarder comme un polygone d’un nombre infini de côtés — avant d’étudier les lignes courbes , on étudiera les figures composées de lignes droites ; celles composées de deux droites , puis celles de trois, de quatre, etc. , droites; puis on passera au cercle , aux figures composées du cercle et d’une droite; du cercle et de deux droites, etc., puis de deux cercles , de deux cercles et d’une droite, etc. , puis de trois cercles , etc. Après cela viendrait l’élude de la parabole, etc. Il est inutile, pensons-nous, de continuer cette énumération.

Notre classification des figures est donc achevée, et d’après un principe clairet simple, qui a une grande analogie avec celui de la chimie inorganique dont nous avons parlé plus haut.

De ce qui précède il résulte que la place des figures est déterminée d’avance dans la géométrie idéale. Ainsi, il ne sera pas permis , à moins de s’écarter de cet idéal , d’étudier une figure avant une autre, si la classification en a décidé autrement. On le fait quelquefois par nécessité , par ignorance , mais on doit l’éviter.

Ce n’était pas l’opinion de Montucla :

« Le reproche de désordre fait à Euclide , dit-il , m’oblige à quelques réflexions sur l’ordre prétendu qu’affectent nos auteurs modernes d’éléments , et sur

les inconvénients qui en sont la suite. Peut-on regarder comme un véritable ordre , celui qui oblige à violer la condition la plus essentielle à un raisonnement géométrique , je veux dire , cette rigueur de démonstration , seule capable de forcer un esprit disposé à ne se rendre

qu’à l’évidence métaphysique ? Il y a même , à

mon avis , une sorte de puérilité dans cette affectation de ne point parler d’un genre de grandeur, des triangles, par exemple, avant que d’avoir traité au long des lignes et des angles : car pour peu que , s’astreignant à cel ordre , on veuille observer la rigueur géométrique , il faut faire les mêmes frais de démonstration, que si l’on eût commencé par ce genre d’étendue plus composé, et d’ailleurs si simple, qu’il n’exige pas qu’on s’y élève par degrés. J’ose aller plus loin , et je ne crains point de dire que cet ordre affecté va à rétrécir l’esprit , et à l’accoutumer à une marche contraire à celle du génie des découvertes. C’est déduire laborieusement plusieurs vérités particulières, tandis qu’il n’était pas plus diflieilo d’embrasser tout d’un coup le tronc dont elles n’étaient que les branehes. Que sont, en effet, la plupart de ces propositions sur les perpendiculaires et les obliques , qui remplissent plusieurs sections des ouvrages dont on parle , sinon autant de conséquences fort simples de la propriété du triangle isocèle ? Il était bien plus lumineux et même plus court, de commencer à démontrer cette propriété , et d’en déduire ensuite toutes ces autres propositions. »

Montuela aurait raison s’il était démontré que la rigueur ne peut pas marcher de front avec l’ordre; or nous croyons avoir établi cette possibilité sur des principes philosophiques. Ou pourrait même se demander si les défauts de rigueur qu’on remarque dans Euciide,

comme dans les autres géomètres, ne proviennent pas de ce qu’ils n'ont pas suivi l’ordre véritable. Quant à appeler cet ordre une puérilité, c’est, à notre avis, une exagération, et nous n’en voulons d’autre preuve que les efforts de Legendre pour le conserver. Qu’on nous permette d’ailleurs d’opposer à ce passage de Montucla quelques lignes de la Logique de Port Royal , remarquables de critique et de bon sens :

» N’avoir aucun soin du vrai ordre de la nature , c’est le plus grand défaut des géomètres. Ils se sont imaginés qu’il n’y avait presqu’aueun ordreà garder, sinon que les premières propositions pussent servir à démontrer les suivantes

» Il y a des géomètres qui croient avoir justifié ces défauts , en disant qu’ils ne se mettent pas en peine de cela; qu’il leur suffit de ne rien dire qu’ils ne prouvent d’une manière convaincante; et qu’ils sont par là assurés d’avoir trouvé la vérité, qui est leur unique but.

» Ou avoue aussi que ces défauts ne sont pas si considérables, qu’on ne soit obligé de reconnaître, que de toutes les sciences humaines il n’y en a point qui aient été mieux traitées, que celles qui sont comprises sous le nom général de mathématiques ; mais on prétend seulement qu’on y pourrait encore ajouter quelque chose qui les rendrait plus parfaites, et que quoique la principale chose qu’ils aient dù y considérer, est de ne rien avancer que de véritable , il aurait été néanmoins à souhaiter qu’ils eussent eu plus d’attention à la manière la plus naturelle de faire entrer la vérité dans l’esprit...

» J’avoue qu’il faut préférer à toutes choses l’assurance de ne se point tromper, et qu’il faut négliger le vrai ordre si on ne le peut suivre sans perdre beaucoup de la force des démonstrations , et s’exposer à

l’erreur. Mais je ne demeure pas d'aceord qu’il soit impossible d'observer l’un et l’autre, et je m’imagine qu’on pourrait faire des éléments de géométrie, où toutes choses seraient traitées dans leur ordre naturel , toutes les propositions prouvées par des voies trèssimples et très-naturelles, et où tout néanmoins serait très-clairement démontré. »

Troisième opération. Démonstration.

COMMENT ARRIVE-T-ON A L’iDÉE n’CN THÉORÈME ? QUEST-CE QU’lIN THÉORÈME?

Comment démontre-t-on un théorème ? Pourquoi Thalès s’est-il demandé quelle pouvait êlre la somme des trois angles d’un triangle? Comment surtout a-t-il obtenu cette somme, à savoir : deux droits? Car, pour le dire d’avance , obtenir cette somme, c’est déjà démontrer le théorème.

Figurons-nous Thalès devant son triangle : il se demande, quelles sont les conditions qui le déterminent, ou, ce qui revient au môme, quand deux triangles sont égaux — question naturelle et inévitable, premier pourquoi de la science. Parmi les cas d’égalité de deux triangles, se trouve celui où l’on donne un côté et les deux angles adjacents. Thalès n’eut pas de peine à s’apercevoir qu’avec ces données, ou ne peut former que le même triangle, c’est-à-dire que les deux autres côtés et le troisième angle se trouvent par là même tout déterminés. Le problème est donc posé de rechercher quel est ce troisième angle (1).

\ 1 ) Thalès aurait pu se demander aussi , et il est probable qu’il l a fait, quels sont les deux autres côtés. Seulement la réponse, qui est en effet plus difficile , lui échappa.

— iO-J —

11 est facile de le résoudre artificiellement par la construction du triangle; mais ce que la science demande, c’est un rapport, une loi générale, une relation de la chose cherchée aux quantités données. Ce problème, Thaïes l’a résolu comme ou résout tous les problèmes, un peu en tâtonnant; et on en connaît le résultat : c’est que le troisième est égal à l’excès de deux droits sur la somme des deux autres.

Prenons l’exemple du théorème de Pylhagore; un peut le ramener de même à un problème : Dans un triangle rectangle, étant donnés deux côtés, à quoi est égal le troisième? car ce troisième est tout déterminé par les deux autres. Ce troisième côté, qui vient te poser de lui-même, de sa propre autorité, quand j’ai posé arbitrairement les deux -autres, c’est un phénomène dont je recherche la loi; de même que je recherche la nature de la trajectoire d’une pierre que je lance dans l’espace, trajectoire qui se décrit fatalement eu vertu du mouvement initial déterminé librement par la force et la direction du jet.

Nous croyons donc avoir établi cette vérité : C’est qu’avant le théorème existait le problème. De là découle celte autre vérité, qui n’est qu’une définition, mais remarquable par ses conséquences : Le théorème est l'énoncé du résultat d'un problème.

Problème. A quoi est égale la somme des trois angles d’un triangle? Réponse : à deux droits (1).

Théorème. La somme des trois angles d’un triangle est égale à deux droits.

( 1 ) Nous posons ainsi te problème pour la brièveté. L’énoncé uivant serait plus exact : à quoi est égal le troisième angle d’un triangle dont les deux autres sont donnés ? Réponse : à l'excès de deux droits sur la somme de ceux-ci.

On connaît la définition ordinaire du théorème : c'est une vérité à démontrer , ou qui devient évidente au moyen d'un raisonnement appelé démonstration. Cette définition, qui rentre d’ailleurs complètement dans la nôtre, place le théorème en opposition avec l’axiome qu’on définit une vérité évidente par elle-même , et le problème se trouve n’avoir aucun lien avec le théorème. Notre définition, au contraire, lie intimement, sous le rapport psychologique, comme sous le rapport géométrique, le théorème et le problème.

De plus, la définition ordinaire ne peut conduire à aucune règle ni pour les énoncés, ni pour la démonstration des théorèmes; de la nôtre, au contraire, ces règles découleront immédiatement , et n’en seront , pour ainsi dire , que des corollaires.

Comment établit-on l’exactitude du résultat d’un problème? En faisant la preuve, selon l’expression vulgaire; en faisant l'expérience, pour parler scientifiquement. Je veux démontrer que la somme des trois angles d’un triangle est égale à deux droits. Pour faire la preuve, je dois ajouter les trois angles l’un à l’autre :

à côté de l’angle B , par exemple , je place le second C dans la position CBD, ou, si l’on veut, je tire BD de manière que l’angle CBD soit égal à l’angle ACB. — On sait, par un théorème précédent, que cela se fait en menant BD parallèle à AC. — Enfin, j’ajoute l’angle A, en faisant l’angle DBE égal à l’angle A. — Or, je vois encore , comme BD est parallèle à AC, qu’i7 suffit de prolonger AB. — J’ai maintenant mes trois angles bien placés ; je regarde plus ou moins attentivement selon le cas , et je vois que le théorème est vérifié.

On s’aperçoit, sans doute, que nous n’avons pas inventé la démonstration, ni même les phrases; nous n’avons fait que les disposer dans un autre ordre. La rédaction ordinaire serait, par exemple: Sur le côté AB prolongé, et par le point B , menons une parallèle B D à AG. Les trois angles en B font deux droits; or l’un d’eux appartient déjà au triangle, et les deux autres , etc. Combien seraient tentés de dire : Quelle heureuse idée de tirer cette parallèle! Dans la plupart des cas, l'heureuse idée, l’idée que l’on croit pouvoir attribuer au hasard, soulève chez le philosophe cette question : Comment a-t-on eu cette idée?

Nous voilà ramené, par un chemin nouveau, à la théorie que nous avons exposée dans le premier livre sur l’expérience mathématique. Seulement l’expérience, quand elle sert à la démonstration d’une vérité supposée connue , est une vérification ( \ ) , caractère qu’elle porte aussi dans les sciences dites naturelles, lorsque par elle on contrôle une loi donnée.

ue l’analyse et de la synthèse en mathématiques.

Comme on le voit, nous sommes ici sur le terrain de l’ analyse et de la s n thèse conçues dans le sens mathématique. Pour avoir une idée claire et nette des différents sens dans lesquels ces termes sont employés en mathématiques, nous ne pouvons mieux faire qued’emprunter à M. Chasles l’histoire remarquable qu’il en donne (2).

( I } Comparer un passage qui va suivre, tiré de M. Chasles.

(2) Discours d' Inaugura lion au cours de Géométrie supérieure, pages XXXIX et suiv.

Comparer aussi IIenouvier, Manuel de Philosophie ancienne, liv.VII, 2 2,11; et Annoot, De la Méthode dans les sciences , Revue trimestrielle , 1859.

« Ces deux mots , synthèse et analyse, avaient alors (dans l’antiquité) , en mathématiques , un sens parfaitement dciîni. Mais , comme aujourd’hui nous les employons communément dans une acception spéciale très-différento, qui laisse ignorer aux jeunes géomètres ce qu’étaient les méthodes anciennes et surtout la méthode analytique, il ne paraîtra peut-être pas inutile de rappeler ici le sens précis que leur donne Pappus, le même qu’on trouve aussi dans Euclide ( au treizième livre des Éléments).

» Dans la synthèse on part de vérités connues pour arriver , de conséquence en conséquence, à la proposition que l’on veut démontrer , ou à la solution du problème proposé.

» Par l'analyse , on regarde comme vraie la proposition que l’on veut démontrer , ou comme résolu le problème proposé , et l’on marche , de conséquence en conséquence , jusqu’à ce qu’on arrive à quelque vérité connue , qui autorise à conclure que la chose admise comme vraie l’est réellement, ou qui comporte la construction du problème ou son insolubilité.

» Ces deux manières de procéder en mathématiques ne répondent nullement à la signification actuelle des deux termes analyse et synthèse , dont le premier caractérise l’emploi du calcul algébrique , et le second la considération seule des propriétés des ligures , au moyen du raisonnement naturel.

» Les deux méthodes anciennes ne différaient, au fond, que dans le point de départ, les diverses opérations du raisonnement étant les mêmes dans l’une et dans l'autre, mais dans un ordre inverse. On caractérisera brièvement ces deux méthodes, en appelant, avec Kant, la synthèse, méthode progressive , et l 'analyse , méthode régressive.

» Il est essentiel de remarquer ici que l’usage de X analyse , chez les Anciens, suppose nécessairement une proposition déjà connue et dont on cherche la démonstration , ou un problème proposé. De sorte que, hors ces deux cas, il n’y a point lieu, d’après la définition précise de Pappus, d’employer la méthode analytique.

» II faut observer encore que, bien que l’esprit de la méthode soit le même dans les deux cas , néanmoins elle y a un caractère différent. Car, dans le premier, où il s'agit de démontrer une proposition , l 'analyse n’est point autre chose qu’une méthode expérimentale de vérification à posteriori (I), tandis que dans le second, oii il s’agit de résoudre un problème , elle forme une méthode d’invention à priori , puisqu’on se propose de trouver la solution ou construction du problème, ou de démontrer son impossibilité , ce qui constituera la découverte d’une vérité mathématique actuellement inconnue.

» C’est dans ce sens seulement qu’on peut dire que l'analyse des Anciens est la méthode de recherche ou d’invention .

» Hors ce cas de la solution d’un problème, X analyse n’a point de vérité nouvelle à découvrir , et pour cet objet c’est la synthèse seule qui constitue la méthode d’invention par laquelle on forme et. l’on accroît une science. »

Après quelques considérations sur les ouvrages des Anciens et leurs méthodes particulières , M. Chasles arrive aux temps modernes et à la découverte de l’algèbre :

( 1 1 Voir ce que nous disons plus haut , page 101.

« Ce fut Viète qui créa cette science des symboles et apprit à les soumettre à toutes les opérations que l’on était accoutumé d’exécuter sur des nombres. C’est cette idée féconde qui a fait de l’algèbre un instrument universel des mathématiques. Viète avait appelé cette science , qu’il créait , logistique spécieuse , ou calcul des symboles (species), par opposition à la logistique numérique , et il la regardait comme l’introduction à Yart analytique des Anciens, c’est-à-dire à l’art de résoudre les problèmes, nullum non problema solvere. En effet, elle facilitait merveilleusement la mise en pratique de la méthode analytique de Platon , puisqu’elle permettait de faire indistinctement , sur les quantités connues et inconnues , les mêmes opérations arithmétiques , et d’introduire toutes ces quantités , au même titre , dans les équations et dans le raisonnement.

» Mais , par cette raison que cette algèbre ou logistique spécieuse devenait l’instrument propre à la marche analytique , les géomètres ont fini par l’appeler ellemême analyse. Voilà comment ce terme analyse a changé de sens , et signifie aujourd’hui l’emploi du calcul algébrique.

» Par une conséquence naturelle, et sans avoir égard à la distinction des deux méthodes observées par les Grecs , on a appelé exclusivement synthèse la géométrie cultivée à la manière des Anciens, parce qu’on y raisonne directement sur les propriétés des figures , sans faire usage des notations et des transformations algébriques.

» Cependant, le terme analyse s’emploie encore, en mathématiques, dans un autre sens, qui, tout en se rattachant , comme Y Analyse de Viète , à la signification primitive de ce mot , est précisément l’opposé de cette analyse moderne ou logistique spécieuse. Je veux parler

do l’acception commune, savoir que l 'analyse est la résolution ou décomposition d’une chose en ses parties élémentaires et constitutives; opération qui implique un examen attentif de la chose considérée en elle-même et de toutes ses propriétés ( 1 ).

» Prise dans cette acception, l ’ analyse unie à lu synthèse , forme la méthode de recherche et d’invention dans toutes les branches des connaissances humaines, en mathématiques comme dans les sciences physiques et philosophiques.

» Tel est le sens que M. Poinsol, dont les pensées sont toujours d’une justesse et d’une lucidité parfaite, attache au mot analyse en mathématiques. Après avoir dit que c’est improprement qu’on appelle analyse la méthode de pur calcul , ce célèbre géomètre ajoute : « La vraie analyse est dans l’examen attentif du pro- » blême à résoudre, et dans ces premiers raisonnements » qu’on fait pour le mettre en équations. Transformer «ensuite ces équations, c’est-à-dire, les combiner » ensemble, ou en poser d’autres évidentes que l'on

t 1 ) C'est dans l'attention que l’on fait à ce qu'il y a de connu dans la question que l’on veut résoudre , que consiste principalement l'analyse , tout l’art étant de tirer de cet examen beaucoup de vérités qui nous puissent mener à la connaissance de ce que nous cherchons. ( Arnauld , Logique de Port- Royal). { Note de M. Chasles.) C’est aussi l 'analyse telle que l’entendait Condillac.

Pascal ( Réflexions sur la géométrie en général ) , après avoir dit que « on peut avoir trois principaux objets dans l’étude de la vérité : l’un de la découvrir quand on la cherche; l’autre, de la démontrer, quand on la possède ; le dernier de la discerner avec le faux quand on l’examine, - (trois opérations, qui, en définitive, n’en font qu’une) ajoute : * la géométrie , qui excelle en ces trois genres , a expliqué l'art de découvrir des vérités inconnues; et c’est ce qu’elle appelle analyse. »

» combine avec elles, n’est au fond que de la synthèse; » à moins que l’idée de chaque transformation ne nous » soit donnée par quelque vue de l'esprit, ou quelque » nouveau raisonnement, ce qui nous fait rentrer dans » la véritable analyse. Hors de cette voie lumineuse , il » n’y a donc plus d’ analyse, mais une obscure synthèse » de formules algébriques que l’on pose, pour ainsi » dire, l’une sur l'autre, et sans trop prévoir ce que » pourra donner cette combinaison. Voilà les idées » nettes qu’il faut attacher aux mots : et c’est au fond » ce que tout le monde paraît sentir, puisqu’on dit très- » bien une heureuse transformation , et qu’on ne dit » point un heureux raisonnement ni une heureuse » analyse (1). »

» Cette méthode analytique est celle que prescrit Descartes dans plusieurs passages de ses œuvres ; comme quand il dit : « Il faut ramener graduellement

(1) Voir Théorie nouvelle de la rotation des corps, page 121. On lit encore dans cet ouvrage si remarquable :

« Ce n’est donc pas dans le calcul que réside cet art qui nous fait » découvrir ; mais dans cette considération attentive des choses , où » l’esprit cherche avant tout à s’en faire une idée, en essayant, par » l’analyse proprement dite , de les décomposer en d’autres plus » simples, afin de les revoir ensuite comme si elles étaient formées

• par la réunion de ces choses simples dont il a une pleine connais- » sance Ce n’est pas que les choses soient composées de cette » manière, mais c'est notre seule manière de les voir, de nous en » faire une idée , et partant, de les connaître. Ainsi notre vraie mé- » thode n'est que cet heureux mélange de l'analyse et de la synthèse, » où le calcul n'est employé que comme un instrument. Instrument » précieux et nécessaire sans doute , parce qu’il assure et facilite

• notre marche; mais qui n’a par lui- même aucune vertu propre; » qui ne dirige point l’esprit, mais que l’esprit doit diriger comme » tout autre instrument. » (Page 78. )

(Note de M. Chasles .)

les propositions embarrassées et obscures à de plus simples , et ensuite partir de l' intuition de ces dernières pour arriver, par les mêmes degrés , à la connaissance des autres ( 1 ). »

» Dans les ouvrages des Anciens , en général , les théorèmes sont parfaitement distincts , et l’énoncé de chacun précède sa démonstration , de sorte qu’il reste peu de traces de la marche d’invention que l’auteur a suivie dans la recherche et la découverte de ses propositions; les fils qui, primitivement, ont uni ces différentes propositions , dans leur ordre naturel de déduction , sont rompus. C’est ainsi que sont composés les ouvrages d’Euclide, d’Archimède, d'Apollonius, et , chez les Modernes , le grand ouvrage des Principes de Newton. Par cette raison, on a pensé parfois que ce mode d’exposition était plus conforme à l’esprit de la méthode synthétique , qu'il la constituait même ; et l’on a conclu réciproquement, qu’un ouvrage où les propositions sont exposées suivant l’ordre des déductions rationnelles qui y ont conduit l’auteur, n’est pas synthétique, mais bien analytique.

» On peut dire que l’ouvrage est analytique, en donnant à ce mot sa signification commune; mais il est essentiellement synthétique aussi, puisque c’est par la combinaison de propositions déjà connues qu’on arrive successivement à des propositions nouvelles.

» L’équivoque qui peut résulter de ces acceptions diverses des termes synthèse et analyse, en mathématiques, cause souvent de l’embarras et de l’obscurité dans le langage. Il est à regretter que l’expression de

( 1 1 Rryies pour la direction de f esprit. Règle cinquième.

logistique , employée si convenablement par Viole , et longtemps après lui , n’ait pas été conservée.

» Il n’est nullement besoin de dire qu’il ne faut pas confondre l 'analyse géométrique des Anciens avec la Géométrie analytique des Modernes, la première est précisément ce que l’on appelle aujourd’hui synthèse, par opposition à la Géométrie analytique. »

Ces pages montrent à l’évidence le défaut de précision qui règne dans cette partie de la philosophie des mathématiques. Quand y a-t-il analyse '! quand y a-t-il synthèse? Pourquoi la géométrie des anciens est-elle appelée synthétique, et celle de Descartes analytique? L’une n’emploie-t-clle que la synthèse, l’autre quel’a?j«lyse? Est-ce par l 'analyse ou par la synthèse qu’on résout les problèmes et que l’on démontre les théorèmes? Il y a du vague et de l’indétermination dans la signification et l’emploi de ces termes, de même que dans la théorie psychologique. Nous allons essayer de les fixer, et, par notre distinction entre analyse et synthèse d’un côté , méthode analytique et méthode synthétique de l’autre, nous pourrons conserver en général les dénominations que l'on a données aux diverses méthodes en géométrie , tout en restant fidèle au sens de ces mots dans la philosophie Kantienne, et nous rapprochant, pour le fond, de la pensée de M Poinsol.

Il y a synthèse chaque fois qu’on cherche une formule, une relation, une équation; chaque fois qu’on attribue une qualité à un sujet en qui on ne voyait pas d’abord cette qualité; chaque fois qu’on augmente la somme de ses connaissances.

11 y a analyse, sitôt que, celte vérité trouvée, possédée, on la démontre, c’est-à-dire qu’on fait voir ses

rapports avec d’autres vérités déjà connues , quand on augmente la certitude de ses connaissances.

Il y a méthode synthétique quand on opère comme si l’on cherchait une relation, que cette relation soit connue ou non.

La méthode est analytique, chaque fois qu’on opère comme pour la démonstration d’une vérité, c’est-à-dire expérimentalement , que ce soit une vérité connue ou inconnue.

Au fond, il n’y a pas de différence entre l'analyse et la synthèse : on ne possède une vérité, on n’a une somme de connaissances plus grande que si l’on est certain de la vérité de ces connaissances ; l’acquisition de cette certitude môme est une synthèse. Mais nous sommes ainsi faits que nous considérons tous nos procédés sous deux faces qui nous paraissent opposées et qui , en réalité , sont identiques. En général , si l’on creuse ce qui est au fond de l’ analyse on y trouvera une synthèse, et réciproquement.

Enonçons d’abord les résultats fondamentaux de nos distinctions : La solution d'un problème, ayant pour résultat de nous faire acquérir uue vérité de plus, est toujours une synthèse ;

La démonstration d’un théorème, ne faisant qu’augmenter la certitude de ma connaissance , est une analyse.

Ainsi, il y aura synthèse quand, recherchant quelle est la somme des trois angles d’un triangle , je trouve qu’elle est de deux droits ; il y aura analyse , lorsque possédant déjà ce résultat , j’essaie de le démontrer. Mais, d'un côté, la position du problème, impliquant la connaissance de cette vérité-ci, à savoir, qu’il y a une vérité à trouver, est une synthèse, comme c’est une

synthèse aussi que de soupçonner, quand le théorème est posé, qu’il y en a une démonstration possible ; et d’un autre côté, le problème étant au fond l'énoncé d’une difficulté qu’on a ramenée à son expression la plus simple et la plus claire, est le produit d’une analyse, au même titre que l'énoncé du théorème. En d’autres termes, en tant que je considère l'énoncé du problème ou du théorème comme le résultat d'un problème antérieur, cet énoncé est une synthèse; en tant, au contraire, que je le considère comme étant la dernière expression , la transformation la plus claire dune proposition antérieure, c’est une analyse.

Jusqu’ici, comme on le voit, nous restons fidèle au sens que nous avons attribué à ces termes ; nous avons montré régressivement comment la synthèse était toujours le résultat d'une analyse antérieure, et l'analyse le résultat d’une synthèse précédente. Nous arrivons maintenant à notre distinction entre méthode analytique et méthode synthétique et c’est ici que nous allons nous rencontrer complètement avec l’illustre géomètre dont M. Chasles citait les paroles.

Quelquefois, pour la solution d’un problème ou la démonstration d’un théorème, on procède par tâtonnement, on essaie d’un moyen, puis d’un autre , jusqu’à ce qu’on en rencontre un qui conduise au but. C’est ce qui a lieu , la plupart du temps, pour les problèmes d’arithmétique, de géométrie synthétique (t). D’un côté, on combine diversement les données; de l’autre,

1 1 ) Telles sont à peu près les méthodes diverses pour déterminer les racines réelles d’une équation d’un degré supérieur, ou pour déterminer l’orbite parabolique des comètes.

ou fait différentes constructions; et dès qu’on a atteint le but, on se montre satisfait. Or, en tant que celle méthode est employée dans sa pureté (et elle ne l’est jamais), nous la nommons synthétique-, quelquefois, au contraire, pour la démonstration d’un théorème et pour la solution d’un problème, on se contente de traduire en construction ou en calcul , sur le résultat connu ou supposé connu , le problème ou le théorème. En tant que cette méthode donne immédiatement l’évidence ou la vérité inconnue, nous la nommons analytique. De là, deux conclusions générales:

Dans les géométries ordinaires (celles d’Euclide et de Legendre), on a employé principalement la méthode synthétique. En algèbre, et en géométrie analytique, on emploie plus souvent la méthode analytique.

Mais en tant que, dans la méthode synthétique, je prévois les conséquences d’une construction ou d’une certaine combinaison des données, il y a méthode analytique ; comme d’un autre côté, dans la méthode analytique, en tant que je tâtonne, que j’essaie différents moyens de mettre le problème en équations, j’emploie la méthode synthétique. En d’autres termes, si les moyens choisis l’ont été avec conscience du but à atteindre et de leur puissance pour nous conduire à à ce but, il y a méthode analytique; si, au contraire, leur choix est de pur hasard ou de pur instinct, il y a méthode synthétique.

Appliquons cette distinction toujours au même exemple :

Problème : A quoi est égale la somme des trois angles d’un triangle?

Théorème : La somme des trois angles d’un triangle est égale à deux droits.

Si , pour la solution de l’un et la démonstration de l’autre , j’emploie la méthode de vérification, la méthode qui remonte du but à atteindre, c’est-à-dire la somme des trois angles du triangle, à une vérité connue, à savoir : Que les angles autour d’un même point d'une droite et du même côté de celle-ci font deux droits; si , en un mot , je place les trois angles à côté l’un de l’autre, et que je trouve le résultat cherché (problème) ou que je voie la vérité énoncée (théorème), ma méthode aura été analytique.

Que j’essaie au contraire , différentes constructions , que je tire, par exemple , une parallèle à l’un des côtés , ou que je calcule la somme des angles extérieurs, et cela sans me rendre compte de refticaeité de ces moyens (ce qui , en réalité, n’a jamais lieu), j’use de la méthode synthétique dans la solution du problème, comme dans la démonstration du théorème.

Mais ici nous devons faire une remarque analogue à celle que nous avons faite à propos de X analyse et de la synthèse ; c’est qu’aucune de ces deux méthodes ne s’emploie à l’exclusion de l’autre, et qu’à chaque pas de nos raisonnements, elles se mêlent et s’entrecroisent.

Il est bon , croyons-nous , que nous appliquions ces distinctions à un exemple pris dans une autre branche des mathématiques.

Problème. J’ai des noix dans l’une et l’autre poche ; dans la première , j’en ai deux fois autant que dans la seconde; mais si j’en ôte une de celle-là pour la mettre dans celle-ci , il y en aura autant des deux parts. — Je veux ici obtenir une vérité, une formule, une équation, à savoir : le nombre des noix dans une poche est quatre, et dans l’autre , deux. J’augmente la somme de mes connaissances, j’opère une synthèse.

Mais je possède celte vérité, et je la vérifie : je vois qu'en effet, 4 est le double de 2, et que si joie i à 4 pour l’ajouter à 2, les deux résultats sont égaux Ma connaissance est donc certaine ; je possède une connaissance vraie; j’ai opéré une analyse ; j’ai rattaché cette vérité à d’autres vérités déjà connues, et qui sont : que 2 est la moitié de 4; que 2 + 1 =3; que 4 — 1 =3 et que 3 = 3; je l’ai envisagée comme impliquée dans ces dernières, et je l’en fais sortir.

Supposons maintenant que vous vouliez résoudre le problème. J’ai dit : si vous opérez comme si vous aviez la vérité, comme si vous vouliez la vérifier, vous employez la méthode analytique ; c’est le procédé algébrique : soit x les noix de l’une des poches ; l’autre en a le double 2x; ajoutez 1 à x et ôtez 1 de 2x , vous avez d’une part x + i , et de l’autre 2x — i , et les deux résultats sont égaux : de là l’équation x -f 1 = 2x — 1 ; d’où je tire : x — 2 ; et 2x = 4. Cette méthode m’a conduit à la connaissance de ces deux dernières vérités; elle est d’invention aussi, comme M. Chasles le soutient avec raison , si ce n’est qu’au lieu du terme de méthode analytique, il emploie celui d'analyse.

Mais essayez de résoudre le problème par l’arithmétique : dès l’abord, vous vous trouvez embarrassé , vous ne savez comment vous y prendre, vous êtes tenté d’essayer différents nombres pour voir s’ils ne satisfont pas à la question ; vous tâtonnez , en un mot; c’est le propre de la méthode synthétique. Ainsi, vous remarquez que , puisqu’il y a autant de noix après qu’on en a ôté 1 de la première poche pour la mettre dans la seconde , il y en avait 2 de plus dans celle-là que dans celle-ci ; et comme il y avait le double, il faut que ce même nombre 2 serve à com-

pléter le double; j’en avais donc 2 dans une poche et 4 dans l’autre.

Or, quelle opération de l’esprit a présidé à la découverte de ce procédé? Vous avez examiné la question ; vous vous êtes rendu compte du but que vous vouliez atteindre , et des moyens qui étaient à votre disposition , et vous n’avez pas combiné ces moyens sans une certaine conscience du point où ils devaient vous conduire; vous avez en réalité fait une analyse plus ou moins obscure, plus ou moins instinctive; d’autant plus instinctive que vous êtes moins homme, moins exercé, plus enfant. L’enfant — et c’est une remarque qu’on peut faire tous les jours — combine les nombres , les données du problème à tout hasard; il additionne, il soustrait, il multiplie, il divise, voit si le résultat obtenu est satisfaisant, et, ce dernier point obtenu, il est content; il emploie la méthode synthétique dans sa pureté presque entière. L’élève plus avancé, au contraire, la fait précéder d’une première analyse.

En algèbre, la mise en équation elle-même est précédée d’une synthèse, d’un tâtonnement, pour fixer la véritable inconnue, ou l’inconnue la plus favorable; l’exemple choisi est trop simple pour que ce phénomène psychologique s’y fasse jour ; mais nous en appelerons à la mémoire d’écolier de ceux qui nous liront , et nous leur demanderons, s’ils arrivaient d’emblée à la mise en équation du problème, s’il n’y avait pas une espèce d’hésitation qui précédât l’emploi rigoureux de la méthode analytique ( 1 ).

( 1 ) Nous pouvons dire la même chose de ce qui se fait en géométrie analytique , et retrouver dans les procédés qu’on y emploie, dont la forme générale est pourtant analytique , toutes les nuances que nous venons de signaler. Ainsi, quand je cherche l'équatiort de

RÈGLES ESTHÉTIQUES POUR u’ÉNONCÉ DES THÉORÈMES.

Les règles que nous allons déduire découlent des principes trouvés précédemment ; elles ne sont pas absolues , mais subordonnées au goût et aux convenances , ainsi qu’au but qu’on a en vue. C’est pourquoi nous les avons nommées esthétiques.

Première règle : de l'élégance. — Nous procéderons par exemples , l’esprit les saisissant mieux qu’un précepte général.

Théorème. L'angle dont le sommet est en dehors de la circonférence a pour mesure la demi-différence des ares compris entre ses côtés.

Au premier abord on ne voit pas bien le moyen de démontrer expérimentalement ce théorème. Mais qu’on l’énonce de la manière suivante :

L’angle dont le sommet est en dehors de la circonférence est égal à la différence des angles qui auraient

la tangente, ou celle, des asymptotes d’une courbe, j’opère une synthèse; je résous le problème suivant : par un point mener une tangente à une courbe donnée.

Si je pars de l’équation de la tangente ou de l’asymptote, et que jo démontre que cette équation représente une tangente ou une asymp-

. dy 1

tote; si je démontré, par exemple, que : y —tf = la: •-«'}, est

l’équation de la tangente à une courbe au point x ' , y' ; ce qui est proprement un théorème , je fais une analyse.

Mais, si je le démontre expérimentalement, par vérification, en admettant la formule comme vraie, et non en partant des propriétés de la tangente , j’emploie la méthode analytique.

Si, au contraire, je dis : l’équation cherchée de la tangente aura cette forme : y — y’ — a la? — x’ ) , et que je détermine ce coefficient

a , que je trouverai être égal à thétique.

dy<

dx>'

j'aurai employé la méthode syn-

leurs sommets sur la circonférence , et dont les côtés passeraient par les extrémités des arcs interceptés.

Alors , la preuve est facile , en tirant une diagonale entre les points d’intersection des côtés avec la circonférence.

De là eette règle : L'énoncé des théorèmes doit, autant que possible, amener la preuve expérimentale. A ce point de vue, le second énoncé est préférable au premier. Le suivant est encore plus simple :

L’angle extérieur à la circonférence est égal à l’angle qui a son sommet sur la circonférence, et qui comprend entre ses côtés la différence des arcs interceptés par les côtés du premier — énoncé qui conduit à la construction d’une parallèle à l’un des côtés.

Et quel est au fond le sens de nos corrections ? Nous avons supprimé un sallus dans les énoncés des théorèmes. En effet , dans la théorie , on passe des angles au centre , aux angles à la circonférence , puis aux angles en dehors de celle-ci , soit intérieurs , soit extérieurs ; les premiers servent de types ; on ramène les seconds aux premiers ; il faut ramener les troisièmes aux seconds, et dans le corollaire seulement les ramener aux premiers : l’angle à la circonférence est égal à la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc ; l’angle en dehors de tu circonférence est égal à la somme ou à la différence des angles à la circonférence qui interceptent les mêmes arcs ; donc, comme corollaire , les angles en dehors de la circonférence ont pour mesure la moitié de la somme ou de la différence des angles au centre mesurés par les arcs interceptés.

Mais l’emploi de cette règle n’est pas toujours possible, comme le prouve la proposition suivante :

Théorème- Dans un cercle , les cordes se coupent eu parties inversement proportionnelles.

Ici la preuve directement expérimentale ne serait applicable que si l’on mettait l’énoncé sous cette forme : Quand deux cordes se coupent dans un cercle, si l’on joint les extrémités opposées des cordes, on forme deux triangles semblables pü les côtés homologues sont les deux segments de la même corde — puis viendrait comme corollaire le théorème ordinaire.

Cet énoncé pomble le saltus ; mais il est de beaucoup inférieur au précédent en concision, en clarté, en élégance , suivant l’expression consacrée ; de plus , la proposition importante, la seule utile, est mise en corollaire, défaut que l’on doit éviter. On obvierait en partie à cet inconvénient par un corollaire tel que le suivant placé en ordre utile : Quand il est nécessaire d’établir l’existence d’une proportion entre lignes droites, il suffit d’établir la possibilité de construire des triangles semblables avec ces lignes; et inversement (1).

Deuxième règle : des lignes auxiliaires. — Comme les figures se suivent dans un ordrè déterminé , il ne peut être permis de faire usage pour la démonstration

( 1 ) Nous pourrions encore critiquer d’autres énoncés incomplets, et qui par cela même ne laissent pas deviner les moyens de démonstration. Le théorème de Pythagore est dans ce cas; et pourtant il serait bon, dans l’énoncé même, d’appeler l’attention sur toute la portée de ce théorème, dont la seconde partie est presque aussi belle que la première. Voici cet énoncé complet :

Dans tout triangle rectangle, le carré construit sur l’hypoténuse , est égal à la somme des carrés construits sur les deux autres côtés ; de plus, la perpendiculaire abaissée du sommet de l’angle droit sur l’hypoténuse, étant prolongée, divise le premier carré en deux rectangles respectivement équivalents aux carrés construits sur les côtés de l’angle droit.

d’un théorème sur une figure donnée, que des figures qui précèdent : une proposition sur la droite ne doit pas se démontrer au moyen des polygones ; pas plus qu’uue propriété des triangles au moyen du cercle; ou une proposition sur les parallèles au moyen des triangles . La plupart des géométries, ainsi que te travail de M. Ueberweg, tombent sous cette critique. Par la môme raison, on doit éviter les lignes auxiliaires; en effet, tracer des lignes auxiliaires dans une figure, c’est employer à la démonstration une figure plus compliquée, et par conséquent postérieure. Elles jne sont permises, au point de vue esthétique, que si elles servent à mettre en évidence les données comprises dans l’énoncé du problème ou du théorème, comme dans la démonstration des trois angles du triangle (i ). Nous reviendrons, du reste, sur ces points, quand nous parlerons des procédés généraux de la démonstration.

Troisième règle: de In longueur des démonstrations . — La démonstration doit être courte , et consister, autant que possible, dans la construction seule du théorème. « De grandes difficultés ou de grandes complications dans la solution d’une question , dit M. Brasseur (2), sont, presque toujours, la preuve que cette question n’est pas du domaine de la science par laquelle on a cherché à la résoudre; » et l’on pourrait ajouter : que cette preuve ne dépend pas des principes auxquels on veut la rattacher. C’est un reproche que la logique de Port-Royal fait aux géomètres d'avoir plus de soin

( 1 ) Nous en donnons, au livre III, une démonstration sans le secours de lignes auxiliaires.

(2 ) Mémoire sur une nouvelle méthode d’application de la Géométrie descriptive à la recherche des propriétés de l'éleruhie. Extrait du tome XXIX des Mémoires de l'Académie royale de Belgique,

de la certitude que de l'évidence, et de convaincre l’esprit que de l’éclairer, ainsi que de tirer leurs démonstrations par des voies trop éloignées : « Ils ne se mettent pas en peine d'où les preuves qu’ils apportent soient prises, pourvu qu’elles soient convaincantes. Et cependant ce n’est que prouver les choses très-imparfaitement , que de les prouver par des voies étrangères , d’où elles ne dépendent point selon leur nature. »

On peut dire, en général, qu’il y a toujours possibilité, sinon actuelle, du moins absolue, de donner de ces démonstrations intuitives : c’est en cela que consiste le progrès de la science. Si les méthodes ne se simplifiaient pas de manière à permettre de voir d’un seul coup-d’œil un vaste ensemble de faits, l’esprit humain ne suffirait bientôt plus à la connaissance des faits acquis, et il cesserait d’avancer. C’est, du reste, ce que prouve à l’évidence l’histoire même de la géométrie. Si l’on ne possédait que les méthodes anciennes pour établir ces théorèmes de la géométrie supérieure dont Desargues et Pascal furent les premiers inventeurs , que d’études pour en découvrir ou en démontrer un petit nombre ! Les ouvrages de MM. Steiner, Chasles , Plücker , ont singulièrement simplifié cette tâche, et en dernier lieu, M. Brasseur a rendu à la géométrie supérieure un service signalé, en montrant, par la géométrie descriptive, l’essence de ces propriétés si remarquables , essence dont le rapport anharmonique n’est que la traduction sèche et morte.

Nous rappelons encore une fois que c’est un idéal que nous construisons ici , un type qui serve à juger des géométries passées, présentes et futures. Nous ne prétendons donc pas être nous-même à l’abri de ces critiques. Linné ayant ébauché le tableau d’un

ordre naturel des plantes, avait dressé la liste des genres qu’il ne pouvait classer : Celui qui rangera ces genres d’un siège incertain à leur véritable place, écrivait-il, celui-là sera pour moi un grand Apollon. Tous les savants devraient prendre Linné pour modèle,

g 3 . — CRITÉRIUM DE LA VÉRITÉ ABSOLUE D’UN THÉORÈME.

« On voit immédiatement, dit M. Lamarle (1) en parlant de la ligne équidistante d’une droite , que cetle ligne est symétrique par rapport à toute perpendiculaire élevée sur la dernière ; quelle a, comme la droite, la propriété de glisser sur elle-même sans sortir du lieu qu’elle occupe; que deux parties quelconques égales en longueur, sont superposables, etc. » Pourquoi M. Lamarle, qui voulait arriver à établir que cetle ligne est une droite, ne tirait-il pas cette conclusion de ce qu’elle jouissait des propriétés de la droite? C’est qu’il n’avait pas été prouvé que ces propriétés appartinssent exclusivement à la droite; et, en effet, les propriétés citées lui sont communes avec la circonférence. Pour qu’une propriété caractérise une figure, il faut que l’inverse des théorèmes soit vrai.

Toute définition génétique est inversible. Aussi quand je décris une figure en donnant son mode de génération B , et que j’appelle cette figure A , j’ai aussi bien le droit de dire, B est A, que A est B; aussi bien : le cercle est me ligne dont tous les points sont à égale distance d'un point fixe , que : une ligne dont tous les points sont à égale distance d'un point fixe est un cercle — cercle n’est qu’un nom donné à une chose. Mais le

(1 ) Démonstration du postulalum d'Euctide, Bulletins de l'Académie royale deBelfrique, 185C.

cercle étant connu , étant, non plus un nota, mais une chose, je ne puis plus dire en définition : le cercle est une figure où les cordes se coupent en parties inversement proportionnelles ; le sujet de cette proposition n’est plus un nom conventionnel , c’est une notion à moi bien connue. Pour avoir ce droit, je devrai commencer par démontrer qu’il n’y a que le cercle où les cordes se coupent en parties inversement proportionnelles; ma nouvelle définition du cercle a besoin d’être démontrée.

Toute figure est donc susceptible d’une infinité de définitions, qui sont tous les énoncés des théorèmes inversibles qui portent sur cette figure. Par conséquent, tous les théorèmes que T on peut énoncer sur une figure, sont autant de modes de génération de cette figure. Si le théorème n’est pas inversible, il porte, non sur la figure qui en fait le sujet, mais sur une figure plus générale. C’est ainsi que je puis dire :

Un triangle est rectangle quand le carréd’un des côtés est égal à la somme des carrés des deux autres; quand le cercle circonscrit a pour diamètre l’un des côtés ; quand la droite qui joint l’un des sommets au milieu du côté opposé est égale à la moitié de ce côté ; quand l’une des hauteurs divise le triangle en deux triangles semblables au grand ; quand les carrés des côtés sont proportionnels aux segments adjacents , etc. , etc. Ce sont là autant de définitions du triangle rectangle. — Mais pour avoir démontré que les angles extérieurs d’un triangle font quatre droits , je n’ai pas le droit de conclure que toute figure où les angles extérieurs font quatre droits, est un triangle; car cette propriété appartient à tout polygone plan rectiligne.

De même, le cercle est une figure où la tangente est perpendiculaire au rayon qui passe par le point de

contact; où la corde est divisée en deux parties égales par le rayon perpendiculaire; où les arcs sont proportionnels aux angles au centre, etc. , etc. — Mais diraije que le cercle est une figure qu’une droite passant par un certain point peut toujours diviser en deux parties égales? Non, car cette propriété appartient aussi à tout polygone régulier d’un nombre pair de côtés.

Nous avons ainsi trouvé une réponse à ces deux questions : Quel est le but de tout problème? Que démontre un théorème? M. Comte avait déjà fait remarquer de quelle importance il était de trouver d’autres modes de génération des figures : par ce qui précède, nous établissons que la géométrie n’p pas d’autre but, d’autre résultat.

Ce paragraphe acquerra une plus grande importance quand nous montrerons que c’est pour ne pas avoir fait attention à la différence qu’il y a entre la définition , qui est toujours inversible, et le théorème, qui n’est inversible qu’après une démonstration , qu’on a eu besoin d’admettre implicitement ou explicitement comme évidents , sous le nom de postulats, un grand nombre de théorèmes.