DES HYPOTHÈSES FONDAMENTALES OU DES POSTULATS DE LA GÉOMÉTRIE

Pour raisonner, il faut des prémisses; et l’idée de la science emporte que ces prémisses soient regardées comme vraies. Pour qui poserait en principe l’immobilité des clioses , il ne peut y avoir de science du changement, à moins de se mettre, comme Parménide, en contradiction avec soi-même. Refusez à Euclide que par un point on puisse mener une parallèle à une droite, et qu’on n’en puisse mener qu’une, il est paralysé; niez les formules fondamentales de Lobatscliewsky , et sa géométrie imaginaire croule à l’instant. C’est ce que Mill semble dire quelque part : « on admet que deux lignes droites ne peuvent enfermer un espace.... qu’il y a des choses comme des angles.... comme des cercles.... comme des ellipses.... >• Pour Kant, ces prémisses — qu’il nomme axiomes — sont les conditions de l’intuition sensible à priori; pour M. Ueberweg, ce sont quelques faits de l’expérience externe, qu’il cherche à connaître dans leur essence. Mais Euclide , Mill, Kant, ni M. Ueberweg n’ont déduit rationnellement ces prémisses ; et de là , le vague qui s’attache à ces mots axiome et postulat, et la difficulté de distinguer les principes qui portent ces noms.

Nous l’avons dit en commençant ce livre, les postulais ou hypothèses de la géométrie, sont les vérités premières, regardées comme objectives, sur lesquelles s’édifie la science. Quelles sont ces vérités? Ce sont les qualités fondamentales de l’objet de cette science, les faits simples qu’il implique. L’arithmétique admet les idées et les propriétés de l’unité et de la pluralité ; la mécanique celles du mouvement, de la force, de la masse; la géométrie, celles de l’espace ,de la forme et de la grandeur.

Mais ne demandez pas à l’arithmétique d’où naissent les idées d’unité et de pluralité, ce que c’est que l’unité pure ou la pluralité pure ; si ces idées peuvent ou ne peuvent pas subsister seules ; si elles ne renferment pas une contradiction intime ; sur tous ces points , l'arithmétique n’a pas à vous répondre. Ne demandez pas à la mécanique de vous dire ce que c’est que le mouvement, et de résoudre les arguments apportés par Zenon, d’Achille et de la tortue, de la flèche, de la règle, de la division à l’infini de l’espace ; ce n’est pas là son objet : il lui est interdit de se défendre elle-même sans cesser d’être mécanique. Ne demandez pas à la géométrie d’établir que toute figure a une grandeur et une forme, que l’espace a trois dimensions; elle empiéterait sur un terrain qui ne lui appartient pas. « En tant que la géométrie, dit Hegel (1), n’est pas une science philosophique, et qu’elle accepte comme son objet l'espace avec ses déterminations générales , on ne doit pas exiger d’elle qu’elle démontre la nécessité des trois dimensions. » (2).

i 1 ) Philosophie de la Nature. Mécanique , espace.

1 2 ) i On trouvera peut-être étrange, disait Pascal ( Réflexions sur la géométrie en général ) , que la géométrie ne puisse dé-

La géométrie a pour objet les déterminations de l'espace. Nous avons donc à analyser avec soin ce qui est contenu dans la notion de détermination et dans la notion d 'espace; et les résultats de notre analyse seront les prémisses que nous cherchons. De là un premier paragraphe où nous parlons des qualités générales de la ligure, la grandeur et la forme. Puis, comme l’espace donne lieu a deux séries de propriétés , les unes , purement arithmétiques, appartenant à l’espace considéré comme grandeur , les autres purement géométriques, appartenant à l’espace, en temps qu’il est le support des figures , nous les étudierons dans les deux paragraphes suivants; enfin, un quatrième paragraphe sera consacré à la discussion des notions d'infini , de point et d'éléments en géométrie.

g 1er. la FIGURE : GRANDEUR ET FORME.

La notion scientifique de l’espace est, comme nous l’avons vu, celle d’un réceptacle homogène-, c’est-à-dire dont les parties, quelles quelles soient, jouissent des mêmes propriétés. C’est là le sens qu’on attache, en général , au mot homogénéité ; en chimie , en physique, nous disons qu’un corps est homogène, quand toutes ses parties ne different que par la quantité-.

finir aucune des choses qu'elle a pour principaux objets. Car elle ne peut définir ni le mouvement, ni les nombres, ni l’espace ; et cependant ces trois choses sont celles qu’elle considère particulièrement, et selon la recherche desquelles elle prend ces trois différents noms de mécanique, d 'arithmétique, de géométrie, ce dernier nom appartenant au genre et à l’espèce. » Et ailleurs : « Cette judicieuse science ( la géométrie ) est bien éloignée de définir ces mots primitifs , espace, temps, mouvement, égalité, majorité, diminution, tout, et les autres que le monde entend de soi-même. »

quand, si l’on peut s’exprimer ainsi, Va partie est l'image en petit du tout (bien entendu sous le point de vue tout particulier où l’on se place, le chimiste au point de vue de la qualité , le physicien , de la densité , par exemple). L’homogénéité de l’espace est une propriété double, en ce sens qu’une portion déterminée de l’espace peut être prise partout dans l’espace, et en ce que les propriétés générales de cette portion sont indépendantes de sa grandeur — tout comme les propriétés générales du fer appartiennent à chacune de ses parties. Ainsi, dans un grand comme dans un petit espace, il y a le même nombre de déterminations possibles; on peut tirer autant de lignes dans un petit cercle que dans un grand cercle ; et tracer sur un carré de papier grand comme l’ongle , autant de ligures que sur le sable d’une place publique. Dire que l’espace est homogène, revient, au fond, à dire que rien n’a une grandeur absolue.

De là suit que toute détermination de l’espace, que toute figure jouit de deux ordres de propriétés : les unes, indépendantes de sa grandeur, appartiennent en propre à sa forme, et constituent même l’essence de celle-ci ; les autres ne dépendent que de sa grandeur , et lui appartiennent en commun avec toute quantité. On peut donc changer la grandeur sans changer la forme , et la forme sans changer la grandeur. La grandeur jointe à la forme, c’est la position ou le lieu de la figure; c’est la figure même. Changez la grandeur ou changez la forme; le lieu, la position de la figure est changée; vous avez une autre figure.

U indépendance réciproque de la forme et de la grandeur, tel est le premier postulat de la géométrie. Nous avons établi philosophiquement, en nous basant sur l’homogénéité de l’espace, la nécessité pour notre esprit de

concevoir et d’admettre cette indépendance. O11 nous objectera peut-être que nous n’en avons pas donné la démonstration géométrique ; on nous demandera d’expliquer comment ou peut changer la grandeur sans changer la forme; ce qui revient à exiger de nous que nous donnions immédiatement les moyens géométriques de former des figures semblables. Nous donnerons ces moyens et même en général ; mais nous soutenons ici que nous n’y sommes pas tenus. Nous avons posé en fait la possibilité de l’existence des ligures semblables, et pas autre chose; celte possibilité, nous la plaçons en lêlc de la géométrie : on ne peut nous interdire hautement ce qu’on accorde tacitement à d’autres. Avant même de donner la définition de la similitude , M. Blanchet dit que deux ligures peuvent être équivalentes , quoique très -dissemblables ; Legendre , de sou côté, ajoute que deux figures égales sont toujours semblables , mais que deux ligures semblables peuvent être fort inégales : a-t-on demandé à ces auteurs de prouver ces propositions qui sont, à la forme près, identiques avec la nôtre? Jusqu’ici on a admis subrepticement ce postulat; pour nous, nous le plaçons en tête des propositions fondamentales de la géométrie.

O11 nous dira encore : l’expression de forme est nouvelle en géométrie ; vous ne l’avez pas définie , ou la définition que vous en donnez repose sur celle de la grandeur, et, dans tous les cas, elle n’est pas géométrique. Sans doute , ce terme a été jusqu’à présent proscrit ; mais la géométrie a eu tort de ne pas se servir du mot propre à la chose dont elle s’occupe ; car, comme le dit Czolbe , la géométrie n’étudie que la forme. Quant à la définition que nous en donnons, c’est la seule possible: la géométrie , comme géométrie , n’a pas à définir son

- tilt -

objcl ; pas plus que l'arithmétique n’a à définir la grandeur; ou la mécanique, le mouvement. Essayez de définir l’une de ces idées , et vous tomberez infailliblement dans un cercle. Vous direz , comme l’Académie : la forme, c’est la figure extérieure des corps ; et, la figure, c'est la forme extérieure des corps. Vous définirez, avec un grand nombre de mathématiciens , la quantité ou grandeur , ce qui peut être augmenté ou diminué , sans songer que augmenter , c’est rendre plus grand , et que diminuer , c'est rendre moins grand ; que , pour augmenter , il faut ajouter une grandeur, et, pour diminuer , ôter une grandeur. Ces définitions n’en sont pas. Veut-on toutefois une définition métaphysique de la grandeur et de la forme? Nous dirions que la première est la substance do la figure , que la seconde en est Y essence. Ce sont les deux manières dont nous apercevons tout phénomène. Matériellement , je ne puis pas changer la grandeur des choses , et je puis en changer la forme ; dans le domaine des faits , la grandeur , la quantité est en dehors de ma puissance , la forme dépend de moi jusqu’à un certain point; dans le domaine idéal, la forme s’impose à moi, et la grandeur est mon esclave ; je la change dès que je change d’unité, et l’unité est arbitraire. Mais ces distinctions, qui peuvent avoir une certaine valeur pour les philosophes , n’ont aucune importance en géométrie. Le géomètre est obligé d’accepter la forme, la grandeur et leurs propriétés, sans remonter à leur source, sous peine de cesser d’être géomètre et de passer dans le camp des philosophes.

Aprè3 cette digression, reprenons la suite de notre sujet.

Deux ligures qui ont même grandeur sont dites équivalentes.

Deux ligures qui ont môme forme sont dites semblables.

Deux figures qui ont à la fois même grandeur et même forme sont dites égales.

Les figures équivalentes ne diiîêrent qu’en forme ; les figures semblables ne diffèrent qu’en grandeur.

Changer la forme, c'est déformer ou transformer (1).

Changer la grandeur, c’est augmenter ou diminuer ; mais , pour exprimer qu’on change la grandeur sans changer la forme, nous emploierons les termes de majorer ou de minorer ; et en général, c’est-à-dire quand nous ne voudrons pas désigner particulièrement l’action de rendre plus petit ou de celle rendre plus grand, nous dirons toujours majorer.

La grandeur s’apprécie au moyen d’une grandeur arbitraire, regardée comme absolue, et qu’on nomme unité.

La forme s’apprécie au moyen d’une forme arbitraire mais fixe, qui prend différents noms selon les cas, et qu’on appelle tangente, cercle de courbure, parabole osculatrice d’un ordre quelconque, plan langent, etc.

Et, en général, la figure peut s’apprécier sous le rapport à la fois de la grandeur et de la forme au moyen d’une figure fixe dans l’espace, qui se nomme aoces des coordonnées , lorsque ce sont trois droites qui partent d’un même point; plans coordonnés, lorsque ce sont trois plans qui se coupent; plans de projections, en géométrie descriptive, etc. Cette figure fixe, quelle qu’elle soit , nous la nommons axe.

Proprement , la figure et son axe forment une figure composée. L’axe peut être lui-même une partie de la

( 1 ) On dit transformer, quand une forme donnée eat le but de la déformation.

figure ou la figure entière. C’est ainsi que les axes d’un triangle peuvent Être pris parmi ses côtés.

Deux grandeurs qui sont dans le même rapport avec leurs unités respectives, sont dites proportionnelles.

Dans deux figures semblables , les parties qui sont dans les mêmes rapports (1) à l’égard de leur figure totale respective prise pour terme de comparaison, sont dites homologues.

Dans deux figures égales , nous nommons similaires les parties correspondantes sous le double rapport de la grandeur et de la forme.

L’espace est homogène : il suit de là qu’une figure peut se transporter partout dans l’espace sans changer de propriétés ; deux figures égales sont donc , en général, superposables, et les parties similaires de l’une peuvent couvrir exactement les parties similaires de l’autre (2).

L’espace est homogène : il suit de là que, dans la majoration, les différentes parties de l’espace croissent en proportion ; si je double l’espace , chaque partie de l'espace est doublée. Un objet composé de barres de cuivre et de barres de zinc , au contraire , un pendule compensateur , par exemple , n’est pas dans ce cas ; si on le chauffe , certaines parties se dilateront plus que les autres ; mais dans un corps homogène , toutes les parties se dilateront en proportion de leur grandeur respective.

( 1 ) Ces rapports ne peuvent recevoir de définition précise que plus tard , quand on aura défini la direction et l’angle.

(2 ) On voit que l’expression de timilaire est plus précise que celle d 'égale. Dans deux figures égales , en effet, les parties égales ne sont pas nécessairement similaires : tels seraient deux polygones égaux réguliers en partie.

Nous allons passer maintenant à la critique de ces notions, telles que les exposent les géométries ordinaires, et montrer par là qu’il est impossible, sans avoir recours à nos principes , d’en donner des définitions qui soient à l’abri de toute objection.

De l’Égalité et de l’Équivalence.

Legendre, et, après lui, M. Blanchct, placent parmi les axiomes la définition de l’égalité , ce qui prouve que l’on n’est pas fixé sur la signification du mot axiome : « Deux grandeurs, ligne, surface, ou solide, sont égales, lorsqu’étant placées l’une sur l’autre , elles coïncident dans toute leur étendue. » (Livre I.)

Cette définition n’est pas générale et philosophique , mais simplement particulière et empirique. Comment y faire rentrer l’égalité de deux intervalles de temps, de deux forces, de deux corps, de deux expressions numériques ou algébriques , de deux membres d’une égalité, d'une équation quelconque, comme o-|-7 = 12?(1). ün prend pour une définition de l’égalité un moyen de vérification : les figures sont égales avant qu’on les place l’une sur l’autre. Reste maintenant une difficulté relative aux figures symétriques (les deux mains, ou deux figures symétriques sur une surface donnée , par exemple) ; car c’est là aussi, comme on le sent bien, et

(1)11 semble, au premier abord, que quelques-unes de ces égalités ne rentrent pas non plus dans notre définition; mais c’est que la plupart d’entre elles sont purement arithmétiques, c’est-à-dire, posées entre grandeurs, abstraction faite de la forme. Si l’on voulait absolument conserver celle-ci dans la définition de l’égalité, on ne pourrait dire 5 -|- 7 — 12 , car le premier membre n’a pas lamêmc forme que le second. N’est- ce pas là encore une raison qui renforce ce ((lie dit Kant sur ce jugement, qu’il regarde comme synthétique?

comme nous le démontrerons, un cas d’égalité , et il échappe à l’axiome de Legendre (1 ).

Passons à la définition de l’équivalence :

« J’appellerai figures équivalentes , dit Legendre , celles dont les surfaces sont égales. » (Livre III.)

Si l’on rapproche cette définition de celle de l’égalité, on ne tardera pas à remarquer la confusion des termes définis : il en résulte, en effet, que, pour être équivalentes, deux figures doivent être égales, ce qui n’est pas la pensée de Legendre. On ne nous dit pas d’ailleurs quelle distinction on établit entre surface et figure : dans la seconde définition , la surface est évidemment autre chose que la figure ; dans la première , c’est la figure même. La confusion entre l’égalité et l’équivalence se reproduit plus loin, lorsqu’il fait remarquer que deux figures semblables peuvent être fort inégales.

M. Blanchet a cherché à corriger Legendre :

« h’ aire d’une figure, dit-il, est le rapport de son étendue à l’unité de surface. — Deux figures équivalentes sont celles qui ont la même aire. »

Mais ne pourrait-on pas voir une substitution de mots dans cette définition de l’aire basée en partie sur l'étendue ? Cette définition est, en outre, inexacte et incomplète : — inexacte, car l'aire n’est pas un rapport , mais une mesure ; le rapport de l’are au mètre carré est cent et cent n’est pas l’aire d’un are — incomplète, car elle ne s’applique ni aux lignes, ni aux solides. Ces vices proviennent de ce qu’on n’a pas voulu employer le terme générique de grandeur, qui simplifie le lan-

1 ) Nous ne parlons pas de deux figures planes symétriques, parce qu'on en vérifie l’égalité en les rabattant l’une sur l’autre. Cependant l’opération du rabattement n’est pas proprement du ressort de la géométrie plane.

gage et le mécanisme de la pensée, tandis qu’on n’hésite pas à se servir des termes de longueur, aire, volume, qui servent à exprimer la grandeur des différentes classes de figures.

De la similitude.

« Deux figures (1) sont semblables, lorsqu’elles ont les angles égaux chacun à chacun , et les côtés homologues proportionnels. Par côtés homologues, on entend ceux qui ont la même position dans les deux figures , ou qui sont adjacents à des angles égaux. Ces angles eux-mêmes s’appellent angles homologues. » (Legendre, livre III).

«En général, nous appellerons polygones semblables ceux qui ont les angles égaux chacun à chacun , et les côtés homologues proportionnels (en entendant par côtés homologues ceux qui sont adjacents aux angles égaux). » (Blanchet, livre III).

« Les figures rectilignes semblables sont celles dont les angles sont égaux chacun à chacun , et dont les côtés placés autour des angles égaux sont proportionnels. » (Euclide, traduction de Peyrard).

Ces auteurs , comme on le voit , sont assez embarrassés pour définir les côtés homologues ; il est trèspossible, en effet, que, dans deux figures semblables, des côtés non homologues soient adjacents à des angles égaux chacun à chacun.

Cette définition est surabondante, c’est-à-dire, que pour être justifiée , elle demande un théorème intermédiaire , qui s’énonce ainsi dans le cas du triangle : Deux triangles qui ont les angles égaux ont leurs côtés homologues proportionnels. Elle ne correspond pas à

< ! ) Il faut sous-entendre ici l'épithète de rectilignes.

l’idée vulgaire de similitude : deux triangles sont-ils semblables en tout et partout quand ils ont les angles égaux et les côtés homologues proportionnels? Ajoutez qu’elle est différente pour les figures rectilignes, pour les polyèdres, pour les courbes, pour les surfaces courbes. Pour les courbes, en effet, on ne peut plus parler d’angles égaux et de côtés proportionnels; il faut avoir recours à d’autres caractères :

« Deux courbes sont semblables , lorsqu’on peut les placer de telle sorte, qu’en menant par un même point, des rayons vecteurs aux différents points des deux courbes, les rayons vecteurs dirigés suivant les mêmes droites, sont proportionnels » (Lefébure de Fourcy , Géométrie analytique).

Cette définition n’est qu’un moyen de vérification ; et ce moyen est même impraticable en géométrie synthétique; caron ne dit pas comment on peut trouver cette position des deux courbes. De plus , elle ne s’applique qu’aux figures planes. Pour les figures à double courbure on devrait dire :

Deux figures sont semblables, lorsqu’on peut les appliquer sur un même cône, de manière que les longueurs des génératrices interceptées entre les courbes et le sommet soient proportionnelles.

Cette définition seule serait générale pour les lignes. La difficulté augmente encore , quand il s’agit de définir deux surfaces semblables, et notamment les surfaces à double courbure. Bref, ces définitions, à l’inverse de quelques autres, permettent jusqu’à un certain point de tracer une figure semblable à uneautre, mais non de reconnaître directement, si une figure est semblable à une autre; c’est-à-dire, qu’elles manquent le but qu’elles semblent avoir en vue.

M. Noël (1 ) seul définit les figures semblables, celles qui ont la même forme; seulement il ne démontre pas— et c’est pourtant nécessaire « — que les figures semblables jouissent des propriétés renfermées dans les définitions que nous venons de critiquer. Pour lui les triangles équiangles ont les côtés homologues proportionnels, et réciproquement; tandis qu’en réalité les triangles équiangles ont plus que leurs côtés homologues proportionnels , ils sont semblables. Cette lacune nous la comblerons plus tard, grâce au principe de l’homogénéité de l’espace.

Les définitions que nous donnons de l’équivalence et de la similitude ont l’avantage d’être tirées d’un principe unique, d’être nominales, c’est-à-dire définitions de noms, et de ne rien préjuger quant aux propriétés de la similitude, en un mot, de satisfaire aux règles que nous avons données de la définition géométrique. En outre, la dernière est vulgaire, c'est-à-dire, répond au sens que l’on attache au mot ressemblance ; elle est d’accord avec ce que nous observons tous les jours dans les portraits, les gravures, les cartes de géographie, les plans, les statuettes réduites, les elfets du microscope, toutes choses qui ont pour but de laisser la forme intacte en n’altérant que la grandeur, de représenter en petit ce qui est grand, et inversement.

Nous allons maintenant démontrer deux théorèmes généraux qui complètent et résument ce qui précède :

Théorème I. Les figures semblables ont leurs lignes homologues proportionnelles.

Soient deux figures semblables; supposons qu’une ligne quelconque P Q de la première ait pour homo-

(li Traité de Géométrie élémentaire , Liège 1844; préface, p. 3.

logue la ligne p q de la seconde , et prenons ces lignes pour unités respectives des longueurs des deux figures. Puisque les figures semblables ne diffèrent qu’en grandeur, en majorant la plus petite , elle finira par devenir égale à la plus grande, et leurs lignes homologues étant devenues égales ainsi que leurs unités , les rapports de ces lignes à celles-ci sont les mêmes des deux parts; mais, par la majoration, j’ai augmenté toutes les lignes de la seconde figure proportionnellement; donc, avant comme après la majoration, les rapports de ces lignes à leur unité étaient les mêmes que dans la première figure ; et l’on peut poser en général , entre des lignes homologues A M B et P Q de l’une , et amb et p q de l’autre , la proportion : A M B : P Q = a m b : p q.

Corollaire. Pour démontrer que certaines lignes sont en proportion, il suffit de prouver qu’elles sont susceptibles de former des figures semblables en y devenant homologues.

Nous avons démontré un peu longuement peut-être une proposition évidente ; mais nous avons voulu ramener la proportionnalité des lignes homologues des figures semblables à la définition que nous avons donnée de la proportion.

Théorème II. Quand deux figures ont leurs lignes proportionnelles , elles sont semblables.

Majorant la plus petite, on la rend égale à la plus grande, puisque toutes scs lignes deviennent égales aux lignes de celle-ci (\ ); les deux figures ne diffèrent donc qu’en grandeur, et par suite sont semblables. C.Q.F.D.

(1)11 est inutile, pensons-nous , de prouver cette proposition que deux figures sont égales quand leurs lignes le sont. La réciproque de l’inverse à savoir, que deux figures sont inégales quand plusieurs de leurs lignes sont inégales , est d’ailleurs de la plus grande évidence.

Ces deux théorèmes , si importants par leurs conséquences, réduisent la géométrie à n’étre plus que la science des formes et des comparaisons de grandeurs. Dans l’étude d’une figure, on fait abstraction de sa grandeur, parce que celle-ci est toujours à la disposition du géomètre qui la change en changeant l’unité de mesure ou en majorant l’espace qui renferme la figure. Ils nous donnent enfin une définition nouvelle et plus géométrique de la forme : La forme dépend des rapports de grandeur des parties de la figure.

Des procédé» de démonstration.

Nous avons vu que, pour démontrer un théorème sur l’égalité de deux figures, il faut les superposer (I); que, pour démontrer que deux figures sont semblables, il faut démontrer la proportionnalité de leurs lignes, ou, ce qui revient au même, il faut les ramener à la même grandeur sans en changer la forme, et voir si elles sont égales. De même pour démontrer que deux figures sont équivalentes, il faut les déformer, sans en changer la grandeur, de manière à les rendre égales.

Nous allons préciser le précepte, et compléter ainsi ce que nous avons dit sur la preuve expérimentale et les lignes auxiliaires.

Prenons pour exemple le théorème de Pythagore; il s'agit de démontrer l’équivalence de deux figures dissemblables, à savoir : le carré construit sur l'hypoténuse, et la figure formée par les deux carrés construits sur les côtés de l'angle droit.

Pour établir cette équivalence, deux artifices sont à notre disposition : — l’un , éminemment intuitif et

( 1 ) Voir, dans le livre III , re que nous disons sur les figures symétriques.

procédant par voie de discontinuité , consiste à retrancher des parties égales des deux figures équivalentes et à montrer que les restes sont égaux; ou à ajouter des parties égales et à montrer que les sommes sont égales ; ou à combiner ces deux moyens, c’est-à-dire à ôter et à retrancher à la fois des parties égales — l’autre, procédant par voie de continuité , consiste dans la transformation graduelle des deux figures, jusqu’à ce qu’elles aient la même forme.

Voici des exemples de la première méthode ( l ) :

On ajoute quatre fois le triangle rectangle à chacune des figures équivalentes : les deux carrés AB et CD sont égaux , leur côté étant égal à la somme des deux côtés de l’angle droit du triangle; et l’inspection seule de la figure sufiit pour mettre le théorème en évidence.

La seconde méthode procède, avons-nous dit, par voie de déformation continue : on transforme la moitié

ABE du carré AB ED, en le triangle CB E, en faisant glisser le sommet A en C le long d’une parallèle A C à la base B E; de même on transforme la moitié PBR du parallélogramme PBRQ, en faisant glisser le sommet P du triangle P B R, en A, le long de P A parallèle à la base B R;

( 1 ) Voir deux démonstrations analogues dans ln Magasin pittoresque (1843 ); celle-ci nous appartient, croyons -nous , sans toutefois oser l'affirmer.

ies deux triangles C B E et A B R sont égaux-, donc, etc. On a ainsi déformé ou transformé deux figures équivalentes, les triangles A B E et PBR en deux figures égales, les triangles CBE et ABR.

La première méthode de démonstration est plus intuitive que la seconde ; c'est une espèce de casse-tête chinois , comme le dit l’auteur des démonstrations reproduites dans le Magasin -pittoresque ; l’autre paraît plus rationnelle, plus géométrique, car elle procède principalement par voie de raisonnement; mais, en réalité, c’est la première qui sert de base à l’autre. La preuve en est le théorème fondamental de la mesure des aires : Un parallélogramme est égal à un rectangle de même hase et de même hauteur; dont la démonstra- A B tion consiste essentiellement à

transporter le triangle A F E en B D C , à ajouter et à retrancher à

JJL

la fois deux parties égales; ou, si l’on veut, à retrancher aux deux ligures le même triangle, de manière qu’il reste la même ligure AEDB; ou encore, à ajouter aux deux figures le même triangle, de sorte qu’il en résulte la même figure ABCF.

Cette déformation ou transformation n’est pas toujours possible par les moyens ordinaires ; le cercle en est un exemple célèbre; on a démontré qu’il ne peut être transformé en carré.

Malgré la symétrie que nous avons mise dans les modes de démonstration des théorèmes sur la forme et la grandeur, il y a pourtant entre ces modes une différence essentielle qui repose d’ailleurs sur la différence métaphysique de la grandeur et de la forme. La majoration est une opération précise , dont les moyens et le but sont connus, landis que la déformation est

arbitraire : dans la majoration, on agit suivant un procédé déterminé; en déformant, au contraire, on opère au hasard , et l’on arrive au but à peu près de môme. Et il est facile de comprendre qu’il doit en être ainsi : majorer et minorer, ou changer la grandeur, c’est aller du plus au moins, ou du moins au plus; pour passer de la quantité « à la quantité b, il n’y a qu’un chemin à prendre. Mais il n’en est guère de même pour passer de la forme A à la forme B; les voies ici sont innombrables. De là cette différence profonde entre les démonstrations qui se rapportent aux formes et celles qui ont trait aux grandeurs.

Pour nous résumer sur les règles de la démonstration , nous dirons que la démonstration est une vérification , une expérience.

Toute vérification consistant à constater une égalité ou une inégalité, le moyen le plus intuitif, le plus immédiat, le plus simple, est la superposition. Il conduit directement au but, quand on a à démontrer Y égalité de deux figures; et indirectement, quand on a à établir leur équivalence ou leur similitude ; dans le premier cas, on transforme; dans le second, on majore.

g 2. l’espace : homogénéité, isogénéité , continuité;