POSTULATS ARITHMÉTIQUES

Un quantum est homogène, quand il se compose de parties semblables. ■ — L’espace , le plan et la droite sont des quantums homogènes.

Un quantum est isogène, quand il se compose de parties égales. — Outre les quantums précédents, la sphère, le cercle , les angles, l’hélice, les parallélipipèdes, les parallélogrammes, les surfaces de révolution

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sont absolument ou relativement isogènes , o’est-à-dire isogènes dans tous les sens, ou dans quelques sens.

Un quantum est continu, quand il se compose de parties équivalentes.

Ou encore :

Un quantum homogène est indéfiniment divisible en parties semblables; un quantum isogène, en parties égales; un quantum continu , en parties équivalentes.

Tout quantum homogène est à la fois isogène et continu , tout quantum isogène est continu ; ces propositions résultent immédiatement des postulats sur la grandeur et la forme. Ainsi , ce qu’on dira de la continuité, se dira de l’isogénéité et de l’homogénéité ; ce qu’on dira de l’isogénéité pourra se dire de l’homogénéité.

C’est un fait d’expérience, dit M. Ueberwcg, qu’un corps peut se mouvoir sans éprouver d’altération; cela n’est possible que si nous regardons l’espace comme homogène. Pour cet auteur donc, cette homogénéité consiste en ce que l’espace est composé de parties égales; celles-ci , il est vrai , ne sont pas juxtaposées, comme dans un polygone régulier, mais se pénètrent mutuellement. C’est une propriété qui fait que l’espace est divisible en parties égales arbitraires , les points de division étant eux-mêmes arbitraires; et qu’une partie quelconque peut occuper le lieu de toute autre partie égale. Mais cette notion de l’homogénéité est incomplète ; on ne pourrait pas dire, en ce sens, qu'une surface homogène est plane, qu’une ligne homogène est droite; car celte définition conviendrait tout aussi bien à la surface sphérique et à la circonférence qu’au plan et à la droite. La circonférence, en effet, est homogène dans le sens de M. Ueberweg; une portion quel-

conque d’une circonférence, peut glisser sur la circonférence entière sans la quitter; la circonférence est divisible arbitrairement en parties égales, elle est composée de parties égales. Ce que nous disons de la circonférence s’applique également à la surface sphérique. Mais, dans l’une comme dans l’autre, une partie n’est pas l’image du tout , et elle diffère du tout, non seulement en grandeur, mais aussi en forme. Je n’engendrerai pas une circonférence en majorant un arc de circonférence, mais en l’ ajoutant à lui-même ou en le faisant glisser sur lui-même; si je ne fais que majorer un arc de circonférence, j’ai un arc semblable d’un rayon plus grand ou plus petit, mais non une partie ou un multiple de l’arc primitif. La circonférence et la surface sphérique ne sont pas homogènes comme la droite, le plan et notre espace, mais simplement isogènes, comme l’espace de M. Ueberweg.

Nous avons maintenant à expliquer, et peut-être à justifier notre définition de la continuité ( 1 ).

M. Ueberweg dit : « Une grandeur continue est celle que l’on peut augmenter ou diminuer infiniment peu ; » et plu3 loin il ajoute : « Il existe un ensemble continu et homogène (isogène), divisible et extensible à l'infini , de lieux qu’un corps matériel peut occuper; cet ensemble, nous le nommons espace. »

Nous ne savons si l’infiniment petit peut entrer dans la définition de la continuité , si ce ne serait pas plutôt celle-ci qui devrait servir à expliquer celle-là; mais quoi qu’il en soit, la définition ne nous apprend absolument rien. Une grandeur discontinue ne peut-elle pas.

(1) Continuilé, liaison non inlen-ompue des parties d’un tout; interrompre, rompre la continuité d’une chose. — Diction, de l’Acad.

sans cesser d’être discontinue , s’augmenter inlinimenl peu , soit que l’on augmente les parties continues de celte discrétion, soit que, dans les vides, on place un infiniment petit qui se mette à croître continuellement? De plus, la continuité est une propriété absolue et non relative : une grandeur continue, qu'on puisse l’augmenter ou qu’on ne le puisse pas, (la masse d’une planète, par exemple) n’en est pas moins continue.

Quant à nous , nous croyons être resté fidèle à la notion vulgaire de continuité (1). Un corps est continu quand il ne contient pas de vide. En géométrie, comme en physique, la notion du vide, de la figure négative , comme nous le dirons bientôt (2) , n’est pas la notion du néant, du rien-, c’est la notion de quelque chose d 'autre, mais indéterminé : deux molécules séparées par un espace ville , ne sont pas séparées par rien , car, dans ce cas , elles se loucheraient. Cela posé , si je a b c il e m n considère une grandeur dis-

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clair que je ne puis pas poser ab=gc—cd=de. Mais, me dira-t-on, puisque, dans une figure continue, les parties sont de même grandeur, ne peut-on pas poser: mn = ag , en supposant que les portions de la ligne win réunies fassent agi La réponse se trouve précisément dans ce mot réunir , qu’on vient intercaler ; c’est dire au fond : si les parties de mn, au lieu d’être discontinues , étaient continues , et qu’elles eussent la même grandeur que ag , ne lui seraient-elles pas équi-

(1) « L'espace est illimité et continu, c’est-à-dire que ) a fin de l’un est le commencement de l’autre. » (Ai.deiit de Gi.oss ; Wie vicl cnldccklc bisjctzl dic neue, Wissenscluift, Braunschwcig, Wcstcrmanii 1859, 11.— La définition de M. Gloss rentre dans la nôtre.

1 2 ) Voir le paragraphe suivant.

valeutes 1 Ce qui esl supposer le contraire de l’hypothèse. Le quantum an n’est pas la réunion des parties pleines de an , c’est cet ensemble de plein et dévide, de grandeur posée et de grandeur niée; et l’une est grandeur au même titre que l’autre , quoique l’une ne puisse pas se remplacer par l’autre. L’idée de continuité est inévitable partout , dans le domaine des sciences physiques , comme dans celui de la géométrie cl de l’arithmétique : la détermination de la densité d’un corps suppose la continuité de ce corps. Bien plus, la porosité même ne se conçoit que comme continue ; et c’est pour échapper à cette contradiction éternelle , que l’on se jette dans les bras d'une autre contradiction, l'atomisme.

De nos définitions de l’homogénéité, de l’isogénéité et de la continuité, résultent les règles de la génération des quanlums.

On engendre un quantum homogène, par la majoration de l’une de ses parties; on engendre un quantum isogène, en faisant glisser 1 une de ses parties sur ellemême; on engendre un quantum continu, en faisant glisser, en même temps qu’on la déforme, une de ses parties sur elle-même.

Ces notions, qui sont les qualités fondamentales de la grandeur, les formes sous lesquelles elle nous apparaît, nous fournissent trois postulats, qui ne sont pas proprement des postulats géométriques , mais les postulats de la science de la quantité en général , des mathématiques, ou, si l’on veut, de l’arithmétique seule. On a pu voir, par notre génération des sciences, que les postulats de celle-ci sont nécessairement des postulats de la géométrie, comme ceux de la géométrie sont des postulats de la mécanique.

Nous demandons :

au point de vue de l ‘homogénéité ,

Que tout quantum puisse être considéré comme l’itnage réduite ou atjrandie d’un quantum plus grand ou plus petit ;

au point de vue de Yisogénéité ,

Que tout quantum puisse être considéré comme le multiple ou le sous-multiple d’un autre quantum ; au point de vue de la continuité.

Que tout quantum puisse être considéré comme la somme ou la différence d’autres quantums.

Ces postulats peuvent se mettre sous la forme suivante , qui est plus vulgaire peut-être :

Le tout peut être considéré comme l’image d'une de ses parties ;

Le tout peut être considéré comme le multiple d'une de ses parties;

Le tout peut être considéré comme la somme de ses parties.

Ces postulats sont aussi nécessaires et aussi inévitables l’un que l’autre. En arithmétique, la méthode connue sous le nom de réduction à l’unité ( 1 ) s’appuie sur le premier; et, comme nous l'avons vu plus haut, il constitue, en géométrie, le fondement de la théorie des ligures semblables.

La plupart des auteurs oui admis comme axiome le troisième des postulats arithmétiques, le tout est égal (2) à la somme de ses parties. C’est supposer qu’un quantum décomposé , puis recomposé , n’importe comment ,

( I ) Exemple : Si de la moitié d'un nombre on en 6te le tiers, le reste est 2. Solution : Si ce nombre était l'unité, le reste serait 1/(5 ; ce nombre est donc 12.

;2’ Il faut proprement équivalent.

n’en reste pas moins le môme quantum. Mais aucun d’eux n’a posé , ni en axiome ni en postulat , que le tout peut être considéré comme le multiple d’une de ses parties: qu’on peut, en général, établir, par exemple, c n entre une droite et l’une de ses

parties, la relation AB = m. CD.

Ils ont même cru que eette proposition n’était nullement nécessaire, et dans chaque cas particulier, ils ont essayé de la remplacer par une démonstration à l’absurde. Nous sommes ici sur le terrain des incommensurables, et nous allons montrer, sur un exemple, combien sont illusoires les moyens par lesquels on a cru les éviter.

Théorème (I). Quel que soit le rapport des deux angles ACB, ACD, ces deux angles seront toujours entre eux comme les arcs AB, AD, interceptés entre leurs côtés et décrits de leurs sommets comme centres avec des rayons égaux.

Supposons que A G B soit à A C D, comme l’arc AB est à un arc AO plus grand que \jB AD. (Le raisonnement est identique dans la supposition de AO plus petit que AD).

Divisant l’arc AB en parties égales, plus petites que DO, l’un au moins des points de division tombera entre D et O, au point I, par exemple; et l’on aura :

ACB : ACI = AB : AI ; mais par hypothèse on a la proportion :