DES ANCIENS POSTULATS DE F, A GÉOMÉTRIE

Ce chapitre comprendra doux paragraphes : dans le premier, nous rechercherons la nature précise du postulat; dans le second, nous ferons l'énumération méthodique des propositions jusqu’ici indémontrées.

g I er — ORIGINE DES ANCIENS POSTUMTS DE LA GéOMÉTBIE.

« Un principe quelconque de la géométrie pure, dit Kant, n’est pas plus analytique qu’un principe arithmétique. La proposition : entre deux points la ligne droite est la plus courte possible , est une proposition synthétique. Car mon concept de droit ne renferme rien de relatif à la quantité , mais seulement une qualité. Le concept d c plus court est donc complètement ajouté, et ne peut être dérivé par aucune analyse du concept de ligne droite. On a donc ici besoin de l’intuition comme de l’unique moyen de rendre la synthèse possible (1 ). » Hegel combat cette opinion de Kant : « On peut remarquer en passant, dit-il, l’étrange bizarrerie de Kant de soutenir que la définition de la ligne droite

( 1 ) Critique de In raison pure. Introduction ; trad, rte Tissot.

(le plus court chemin entre deux points) est une proposition synthétique, en ce que mon idée de droit ne renferme rien de relatif à la grandeur, mais seulement à la qualité. En ce sens, toute définition est une proposition synthétique. Le défini, la ligne droite, est d’abord une intuition ou représentation , et la détermination quelle est le plus court chemin entre deux points,

produit le concept Ce qui fait la différence du

concept et de l’intuition , c’est que l’un n’est pas dans l’autre, et c’est pourquoi une définition est nécessaire. Il est clair à l’évidence que cette définition est analytique : la ligue droite se laisse ramener à la simplicité de direction; or, la simplicité prise en rapport avec la quantité (Monge) donne la détermination de plus petite quantité , et ici , celle de plus court chemin. »

On pourrait renvoyer à Hegel l’expression inconvenante dont il se sert à l’égard de Kant. Qu’est-ce que cette simplicité , qui , d’abord prise par rapport à la direction, l’est ensuite par rapport à la quantité, et qui devient le plus court chemin? En admettant que cela soit vrai , et que la simplicité de direction se laisse ramener à celle de plus court chemin , comment Hegel a-t-il pu soutenir que cette transformation était analytique, dans le sens que Kant attribuait à ce mot? Trouver que la simplicité de direction est intimement liée à celle de plus court chemin , n’est-ce pas ajouter à l’idée de direction quelque chose qu’elle ne comprenait pas d’abord , faire un jugement synthétique dans le sens kantien?

Toutefois, voici comment s’exprime à ce sujet un philosophe de l’école de Hegel, M. Frantz, qui a appliqué

; 1 ' .\nhnphilosnphie . f ?56.

aux mathématiques en particulier la logique de son maître :

« En réalité, les objets de la mathématique, quoique déterminés par les catégories les plus simples , ne sont pas purement simples ; ils contiennent une pluralité de déterminations, et doivent en être considérés comme l'unité. De là vient l’incertitude de savoir quel caractère doit servir de définition. Ainsi, pour Euclide, lu ligne droite est celle qui est située semblablement entre ses points; pour Legendre, au contraire, c’est le plus court chemin entre deux points. Ces deux déterminations sont différentes, mais chacune d’elles détermine la droite.

» Fia définition donc, au contraire du concept, ne ilonne pas, en général, tout le-Lontenu de la chose. Par suite, pour pouvoir, au moyen de la définition, aller plus loin, tous les moments (de l’évolution de l’idée) sont nécessaires; et là est l’origine des axiomes. Ou ne peut donc pas rechercher ici un fondement à l’axiome, car il est clair en soi, et c'est, en quelque sorte, un fait de la conscience. «

Vient ici l’énumération des cinq axiomes ordinaires de la géométrie. Arrivé au quatrième : une ligne droite est le plus court chemin entre deux points; ou, dans le cas où cette proposition constituerait la définition de la droilej deux lignes droites ne renferment aucun espace , II • F rantz dit :

« La ligne droite est déterminée qualitativement — droite — et en même temps elle est une grandeur — une longueur. Comme l’espace même est grandeur, ses propriétés qualitatives sont simplement de grandeur. La ligne droite est donc en même temps grandeur et qualité. Cet en même temps, l’entendement ne peut le saisir, il laisse l’une en dehors de l’autre. Par la défi-

nition, la ligne droite ne peut être déterminée que suivant l’une de ses déterminations ; c’est pourquoi la seconde doitêtre posée comme proposition fondamentale. La définition contient-elle, comme chez Euclide, seulement le moment qualitatif de la ligne droite, alors l'axiome doit être quelle est le plus court chemin. — Cette proposition est indispensable; c’est là-dessus que repose la rectification du cercle , dont Euclide ne donne pas, il est vrai, la théorie. Quand il ajoute comme axiome que deux lignes droites ne peuvent renfermer d'espace, il commet tout, simplement une erreur ; car ce n’est là que le moment qualitatif, et on peut le déduire très-simplement de la définition. — La ligne droite est déterminée qualitativement quand elle l’est quantitativement, sa qualité est quantité, sa quantité est qualité. Comme grandeur en général , elle n’a ni cette grandeur-ci ni cette grandeur-là, mais la grandeur, qui la distingue de toutes les lignes, car c’est précisément sa qualité. La simplicité de sa direction n’est donc rien autre chose que l’expression de son expansion comme grandeur (a/s eine Concentration ihres Aussereinanders, ( las sie als Grosse ist)\ son expansion , sa grandeur, est en même temps réduite au minimum — la ligne droite est le plus court chemin entre deux points. Legendre, qui accepte cette proposition comme définition, pose avec raison le. moment qualitatif dans l'axiome : d'un point à un autre on ne peut tirer qu'une seule ligne droite. U est clair que celte proposition n’est que la définition d’Euclide sous forme apagogique. Si l’on pouvait tirer entre deux points plusieurs lignes droites , celles -ei inséraient pas placées semblablement entre tous leurs points ; deux points de l’une d'elles appartiendraient à une autre, pendant que celle-là serait placée en tous ses

autres points en dehors de celle seconde ligne et par conséquent , autrement. » ( 1 )

Quoi qu’il en soit de cette dernière démonstration , ce passage peut se résumer facilement en cette proposition : La ligne droite est déterminée qualitativement aussi bien que quantitativement ; et l’une des déterminations emporte l’autre. Sa détermination qualitative , c’est la constance de sa direction (si toutefois c’est là ce que signifie la définition d’Euclide); sa détermination quantitative, c’est celle de plus court chemin ; prenez pour définition l’une ou l’autre de ces propriétés, le sujet droite, défini par l’une, aura nécessairement pour attribut l'aulre; et l’on peut dire en axiome : la ligne droite (simplicité de qualité) est le plus court chemin (simplicité de quantité ); ou bien : il n’y a qu’un plus court chemin entre deux points quelconques (simplicité de qualité) d’une droite (simplicité de quantité ). Admettant même que la simplicité de qualité soit la constance de direction, que la simplicité de quantité soit la longueur minimum — ce qui ne laisse pas de supposer en nous une grande dose de foi — en sera-t-on , en réalité , plus convaincu de la nécessité de la liaison de ces deux attributs, liaison que l’entendement ne peut saisir? On cherche à prouver l’axiome par cette nécessité , et c’est celle-ci qui forme l’essence de l’axiome. C’est tellement vrai que l’on sera toujours plus disposé à admettre l’axiome géométrique : la ligne droite est le plus court chemin entre deux points, que la proposition Hégélienne: la simplicité de qualité est intimement liée à la simplicité de quantité , parce que, dans les mathématiques , la qualité c’est la quantité.

(1 ) Üii Philosophie drr Malhemalik : Leipzig. 1842, p. 95 et siiiv.

Mais Hegel a l'ait une remarque importante — qui donnait même raison à Kant , s'il y avait fait attention — c’est que la ligne droite (et nous pouvons ajouter, le plan) est d’abord une intuition ou représentation . Quand on dit : la ligne droite est le plus court chemin , il n’y a pas là une définition , une équation exacte entre deux membres, il y a une proposition sur la ligne droite : le sujet (ligne droite) est quelque chose de connu, une intuition , et le plus court chemin est une propriété que l’on affirme de cette intuition. Aussi l’idée de droit , en tant que le plus court chemin , n’est pas proprement un concept dans le sens exactdu mot, puisque/ep/«s court chemin ne forme pas toute sa compréhension. Pour que droit devienne un concept, il faut que l’on puisse en donner l 'essence ; il faut qu’il y ait identité pour l’entendement entre l’intuition primitive de ligne droite et l’attribut que l’on en affirmera. Cette identité obtenue, on pourra regarder cet attribut comme définissant l’intuition, on aura remplacé X intuition par un concept ; l’édification de la théorie sera possible. Or , quand on n’a pas saisi le caractère distinctif d’une figure, sou essence , qu’on 11e l’a aperçue que sous une certaine face, qu’on n’en a vu qu’une propriété plus ou moins saillante, comme c’est, en définitive, celte essence qui est la raison dernière de l’ensemble des propriétés, il est impossible de passer de l’une de celles-ci à l’autre par voie de raisonnement, car elles sont coordonnées et non subordonnées. Ainsi, la ligne droite est, en vertu de son essence jusqu’ici restée dans l’ombre, à la fois le plus court chemin , c’est-à-dire, une mesure pour la distance; une ligne de direction constante, ou une mesure pour la direction; une ligne déterminée par deux de ses points , ou qui ne sort pas d’elle-même dans

sa rotation autour de ses deux extrémités; une ligne dont tous les points sont semblablement placés (1 ) ; mais c’est cette essence qui est la raison de chacune de ces propriétés, et non l’une d’entre elles (2),

I ’ C'est ainsi encore qu’en géométrie analytique, la définition de C la droite y — as b, n'est que la traduction

E/\ de cette propriété, que <lem triangles recti-

lignes semblables ABC et ADE ont les angles P \ ^ égaux , et ton I en partie superposables. Deux figures triangulaires ne jouissent de cette propriété;, que si leurs côtés sont des droites.

(2) .Nous transcrivons ici une page de 11. Noël (ouvrage cité', où cette cooi dinution des propriétés frappe les yeux , bien que l’auteur ait cherché à les subordonner ies unes aux autres;

« On appelle ligne droite ou simplement droite , le plus court chemin d’un point à un autre ; un cheveu bien tendu donne l'idée d'une ligne droite.

On peut encore (Y) concevoir la ligne droite, comme engendrée par le mouvement d’un point, qui tend constamment vers un môme point fixe; car il est évident (Y) que le chemin décrit sera le plus court, depuis le point de départ jusqu’à celui d'arrivée. D'ailleurs, ce plus court chemin est unique . vu que le point générateur ne s’est détourné aucunement de sa direction ou tendance primitive (Y) vers le point tlxe, et qu’il ne peut y avoir deux tendances à la fois ( Y).

Il est évident et l’on doit admettre comme axiome fondamental , que d'un point à un autre il n'y a qu'une seule ligne droite, c’est-à-dire qu'un seul plus court chemin. De chemin le plus court est donc \ Y) ia vraie distance du premier point au second. De sorte que deux droites coïncident entièrement l’une avec l’autre, dès qu’elles ont les mêmes extrémités; et l’une d’elles ne saurait être plus droite que l'autre.

Une droite donnée de longueur n'a évidemment qu’un seul milieu , etc.

Throh. Deiur droites qui ont de ux points communs coïncident l’une avec Vautre dans toute leur étendue infinie et ne font qu'une seule et

mime droite.

, La démonstration sera citée plus bas .

Coroi.. La droite AG ne saurait avoir deux prolongements différents au-delà de chacune de ses extrémités, bien qu’elle puisse être prolongée à l’infini dans les deux sens opposée. De sorte que , par

Admettez comme définition de la ligue droite, sjjit la première, soit la dernière, force vous est d’accepter les autres, explicitement ou implicitement, sous le nom de postulats ou d 'axiomes. Mais au fond ces prétendus axiomes sont des théorèmes , des jugements synthétiques , qui réclament impérieusement une démonstration , et qui ne seront jamais démontrés tant qu’on ne sortira pas de l’ornière ancienne (1). Or, tout théorème, toute synthétisation du concept, est une décomposition, une analyse de la figure, de l’intuition; et si l’on se reporte à ce que nous avons dit des figures composées, on verra que cette analyse de la figure, est, au fond, la formation d’une ligure composée. Quand je dis, par exemple, que, dans le cercle , les arcs sont proportionnels aux angles au centre, qu’est-ce autre chose que distinguer sur le cercle des

deux points donnés on ne peut faire passer qu’une ligne droite. Par conséquent, deux points suffisent pour déterminer la position d’une droite dans l’espace. Il est clair aussi que deux droites ne peuvent se rouper qu'en un seul point ; car si elles se coupaient en deux point*, elles auraient ces deux points communs et coïncideraient l'une avec l’autre , ce qui est contre l’hypothèse. *■

1 1 Pascal (Pensées, Rêflc rions sur la Géométrie ■ est donc tombé dans une grande erreur, quand il a dit : « Un ne reconnaît, en géométrie . que les seules définitions que les logiciens appellent définitions de nom, c’est-à-dire que les seules impositions de nom aux choses que l’on a clairement désignées en termes parfaitement connus. » Le plan et la droite, ne sont pas, en ce sens, susceptibles de définitions nominales; la difficulté pour le plan et la droite n’est pas de donner un nom à la chose , c'est de désigner cette chose. « Leur utilité et leur usage des définitions de nom', continue-t-il . est d’éclaircir et d'abréger le discours, en exprimant, par le seul nom qu’on impose, ce qui ne pourrait se dire qu’en plusieurs termes. » Sans doute; mais dans le cas qui nous occupe, ce sont ces plusieurs termes qui manquent, et qu’il faut trouver.

a ,, — points arbitraires A, B, C, et établir un rapport entre les ares qui les lient?

( S Quand j’affirme que, dans un triangle,

' un côté est plus petit que la somme des c deux autres , n’est-ee pas y distinguer un côté, l’opposer aux deux autres, et le leur comparer?

De même, quand je dis : la ligne droite est le plus court chemin entre deux de ses points, n’ai-je pas analysé, c’est-à-dire composé une figure? N’ai-je pas, en réalité, pris sur la droite AB deux points Al ~ ® 5 C et D que j’y dessine, pour ainsi

dire? Et comparant la partie quelconque CD avec toute autre ligne que je pouvais tirer entre les points C et D, n’ai-je pas trouvé que la dernière surpassait la première en quantité? Pour affirmer que les parties de la droite sont superposables si elles sont de même longueur, que je puis faire glisser CD sur A B, ne dois-je pas avoir, sur cette droite, tracé des points, composé une nouvelle ligure, comme dans le cas cité où le cercle servait d'exemple? N’est-ce pas un théorème, dont j’ai à prouver l’inverse et la réciproque, si je veux faire servir en définition la propriété qu’il énonce, si, en d’autres termes, je veux être sûr qu’il exprime l 'essence de la droite, et non une essence plus générale? Mais si, par intuition, je vois qu’il exprime cette essence, dont je ne possède pas le concept, comme alors la démonstration m’eu échappe, vu que c’est ce concept qui en est le principe, j'admets sous forme de postulat V inverse du théorème ou un autre théorème d où je puisse tirer cette inverse.

Nous avons vu , dans le livre précédent, que la définition doit être génétique ; c’est en effet la seule manière possible de traduire par une intuition un concept, et réciproquement. Nous avons fait remarquer alors

que la délinitioii ordinaire de la droite, entre autres, n’est pas dans ee cas (1); elle ne nous donne, en effet, aucun moyen de tracer une droite entre deux points donnés. Nous avons donc à rechercher quelle est cette essence fondamentale de la droite et du plan. Il y a cependant une différence entre cette essence que nous cherchons, et celle des autres figures de la géométrie: e’csl que dans celles-ci, l’intuition succède au concept, tandis que la droite et le plan sont des intuitions primitives qui précèdent le concept. Ce ne sont pas des ligures arbitraires que je trace dans l’espace, et auxquelles je donne un nom, ligures qui n’existent pas avant que je les aie engendrées, mais des déterminations inhérentes à l’idée même de l’espace; ce sont des figures toutes tracées d’avance , comme les orbites des planètes, et je ne puis que rechercher comment on pourrait les engendrer. Mais quel que soit le mode de génération que j’imagine, que je fasse, par exemple, mouvoir une droite parallèlement à elle-même sur une autre droite , pour engendrer le plan ; que je suppose un point tendant constamment vers un point fixe, ou conservant la même direction, pour engendrer la droite ; les modes de génération sont plus compliques que la chose elle-même , et impliquent déjà cette chose.

Ces déterminations sont données avec l’espace luimême, disons-nous. En effet, comment engendronsnous l’espace ? Nous prenons le plus petit espace possible, ce qui ne peut pas devenir moindre, la limite

( l’ Il est remarquable qu'on n'ait jamais songé à définir le plan : la plus petite des surfaces qu'on puisse appuyer sur deux droites qui se coupent. Cette définition serait pourtant la seule en harmonie avec celle de la droite.

extrême de la contraction de l’espace; puis, par le procès inverse, nous dilatons, nous amplifions cet espace. Or, les déterminations de cet espace élémentaire, c’est-à-dire les surfaces élémentaires, les lignes élémentaires qu’il renferme, se dilatent avec lui, par la même loi que lui , homogénéiquement , et deviennent des plans et des droites. De là, les définitions suivantes :

Le plan est une surface homogène;

La droite est une ligne homogène ; c’est-à-dire qu’une portion de plan, majorée, engendre le même plan; qu’une portion de droite, majorée, reproduit la droite.

Nous pouvons donc regarder l’homogénéité comme étant le caractère génétique de l’espace, du plan, de la droite. L’espace, le plan, la droite, sont des déterminations qui s'engendrent d’une façon homogène. Qu'on prenne un solide, une surface, une ligne au moment où ils naissent , et que l’on continue leur mode de génération , le solide deviendra l’espace infini; la surface, le plan infini; la ligne, la droite infinie.

Nos définitions de la droite et du plan sont devenues, grâce à la découverte de leur essence, de leur mode de génération, des définitions nominales et inversibles. Nous appelons ligne droite , une ligne homogène; plan, une surface homogène; et nous savons ce que nous entendons par là ; nous savons comment on engendre une pareille ligne, une pareille surface. Et l’idée de cette ligne homogène, l’idée de cette surface homogène, coïncident parfaitement avec ces intuitions primitives, ces déterminations qui nous sont données avec l’intuition de l’espace; de manière que nous sommes arrivés à une véritable équation entre cette intuition et le concept ; nous avons nominalisé la définition.

Nous sommes maintenant à l’égard de la droite et du plan dans la position où nous nous trouvions à l’égard du cercle , lorsque de nom il était devenu chose ; c’est-àdire que nous n’aurons pas le droit d'intervertir les théorèmes, ou les propriétés de la droite et du plan, sans une démonstration préalable. Après avoir démontré que la droite est le plus court chemin entre deux points, nous ne pourrons pas dire sans démonstration : le plus court chemin entre deux points est nécessairement la droite; pas plus que, après avoir prouvé que la droite est composée de parties égales et peut glisser sur elle-même, il ne nous serait permis de dire par inversion : toute ligne composée de parties égales, ou qui peut glisser sur elle-même, es une droite — ce qui serait faux , puisque le cercle est dans ce cas.

Maintenant que nous possédons les définitions de la droite et du plan, celles de la ligne courbe et de la surface courbe n’offrent plus de difficultés.

Lu surface courbe est une surface non homogène ;

La ligne courbe est une ligne non homogène.

Ces définitions , négatives dans la forme, ne le sont pas en réalité. Ou n’est pas le moins du monde embarrassé pour tracer une courbe, une ligne non homogène ; la première venue remplira certainement cette condition , en vertu même de la non-homogénéité réelle de l’espace et du temps. L'instrument qui trace la ligne, et la surface sur laquelle on la trace, varient à chaque instant et à chaque place , de nature, de propriété , de direction. L’espace, le plan et la droite, au contraire, sont, en tant qu’homogènes, des déterminations tout idéales, purs produits de la pensée, et pur cela même, formes immuables, typiques, mesures par excellence.

11 est inutile que nous nous arrêtions à critiquer la définition ordinaire de la ligue courbe : une ligne gui n est ni droite ni composée de lignes droites, détinilion « qui se borne, dit M. Lamarle, à énoncer deux négations qui ne peuvent mener à rien , et qui n’ont aucun rapport avec la nature intime de la courbe. » Des deux définitions que donne M. Lamarle, la suivante est seule irréprochable au point de vue géométrique :

La courbe est la trace d’un point qui se meut sur une droite mobile, le point glissant sur la droite, et la droite tournant autour du point.

Quant à l’autre définition : La courbe est la trace d'un point qui se meut suivant une direction incessamment variable, elle comprend le terme, non encore défini convenablement, de direction-, mais elle est acceptable de tout point, si l’on admet que la droite est la ligne de direction constante.

Pour ce qui regarde la ligne brisée, c'est-à-dire la ligne composée de lignes droites, ce n’est pas une ligne simple, mais une ligne composée, une figure. D’ailleurs, la géométrie ne s’en occupe que sous le nom de polygone, ou de périmètre, et non sous celui de ligne brisée, qui est superflu en tête des éléments.