ÉNUMÉRATION DES ANCIENS POSTULATS DE LA GÉOMÉTRIE

De la droite.

On a donné un grand nombre de définitions de la ligne droite.

1. La ligne droite est une ligne indéfinie qui est le plus court chemin entre deux quelconques de ses points (Blanchet).

2. La droite esl la plus courte des lignes qui ont les mêmes extrémités (Archimède); ou bien :

La droite est le plus court chemin d’un point à un autre (Legendre) (1 ).

3. La ligne droite est celle qui ne sort pas d’ellemême quand on la fait tourner autour de deux de ses points (Peyrard, suivi par M. Ueberweg).

i. La ligne droite est celle qui esl semblablement placée entre ses points ( Euclide).

5. La ligne droite est une ligne de direction constante (adoptée par M. Ueberweg).

Dans les deux premières définitions, on fait intervenir les idées de distance et de minimum , qui n’entrent pour rien dans la représentation de la ligne droite. On fait à priori de la ligne droite une mesure pour la distance, tandis que si la ligne droite est propre à mesurer les distances, c’est en vertu de sa nature. Celle définition est en outre circulaire et négative. — Circulaire : en effet, pour donner l’idée de la droite , elle dit : entre deux points tirez toutes les lignes possibles, et la plus courte sera la ligne droite. Il y a d’abord impossibilité matérielle de tirer ce nombre infini

,, l ) La définition de Legendre et celle de M. Blanchet pèchent par leur rédaction : Qu'est-ce qu'une ligne qui est un chemin? Pourquoi faire, intervenir la notion du chemin dans celle de la ligne? Et d'ailleurs, si l’on avait à définir le chemin, on serait très-embarrassé, à moins de recourir à la notion de ligne. Legendre et Archimède ne définissent que la portion de droite , et non la droite elle-même ; et M. Blanchet, en voulant corriger ce défaut, a rencontré une phrase assez obscure dans laquelle il dit que la droite indéfinie, un chemin indéfini par conséquent, est te plus court chemin entre deux de ses points. La rédaction la plus exacte était celle-ci :

La ligne droite esl une ligne indéfinie dont chacune des portions est la ligne la plus courte r/ur l’on puisse tracer entre les dent points i/tti limitent celle portion.

de lignes cnLre deux points: on se contentera donc d’en tirer une certaine quantité. Aura-t-on le bonheur de rencontrer la droite parmi celles-là ? Admettons-le. Mais comment la distinguer de ses compagnes? C’est la plus courte , dit-on. Or, pour reconnaître qu’une ligne est plus courte qu’une autre , on doit ou les rectifier toutes deux, puis les superposer; ou bien posséder une mesure fixe, qui ne peut être qu’une droite, une ouverture de compas, par exemple, qui, appliquée successivement sur les deux lignes, servira à les comparer. — Négative : car , supposez même cette constatation possible, on a bien le moyen de reconnaître si une ligne donnée est droite ou non, mais non celui de tracer entre deux points une ligne satisfaisant à la condition d’être le plus court chemin. La définition n’est pas génétique.

De là suit — et cette remarque deviendra encore plus intelligible quand nous aurons discuté la définition du plan — que l’existence possible, entre deux points, d’un plus court chemin ou d’une droite , n’est pas établie. Aussi Euclide demandait avec raison :

Qu'on puisse conduire une droite d'un point quelconque à un point quelconque.

Comme nous l’avons dit , dans cette proposition , le sujet, la ligne droite, n’est pas un nom donné au concept exprimé dans l'attribut, mais une chose. Cette prétendue définition est donc un théorème non démontré sur la droite. Pour que ce théorème puisse servir de définition, il faut qu’il soit inversible, il faut que l’on puisse dire : tout plus court chemin entre* deux points est une droite. Or, le postulat suivant :

Entre deux points on ne peut tirer qu’une ligne droite , admis par Legendre et M. Blanchet, et placé par eux au nombre des axiomes, permet de faire cette inver-

ISS —

sion (1). Mais cette proposition n’est pas plus un axiome que celles-ci : Par un point, on ne peut faire passer qu’une brachislochrone ; par trois points, on ne peut faire passer qu’un cercle; par cinq points, on ne peut faire passer qu’une section conique, etc.

En outre, la définition et le postulat ne s'appliquent qu’à la portion de droite. Quand on a tracé le plus court chemin entre deux points, et que l’on veut prolonger la ligne, n'y a-t-il qu’une seule manière de le faire? En d’autres termes — inverse de la définition (théorème) donnée par M. Blanchet — toute ligne qui est le plus court chemin entre deux quelconques de ses points est-elle droite? Le postidat suivant, posé par cel auteur, autorise une réponse affirmative :

Quand deux portions de- droites coïncident, il faut regarder comme évident quelles coïncident dans toute leur étendue (2).

Outre ces postulats, il existe trois autres propositions indémontrées et indémontrables, qui ne sont mentionnées dans aucune géométrie; les voici:

(1 1 II ne suit pas de ce que la ligne droite est un minimum , que ce minimum soit nécessairement unique. Entre deux points d'une surface donnée (un fruità eûtes, par exemple 1 , ilpeut y avoir plusieurs plus courts chemins.

t2 ) Ce postulat est remplacé, dans la géométrie de Legendre, par la proposition 111 , dans laquelle l’auteur démontre que si, à partir du point C , la droite A C se bifurquait en Cl) et CE, les angles droits FCD et FCE ne seraient plus égaux. Mais quand il a démontré que les angles droits sont égaux , il ne s'est pas placé dans l’hypothèse que U cette même droite AC pût se bifurquer, auquel cas il y aurait eu deux perpendiculaires possibles, CF et CG A un même point C d'une droite, d'où l'inégalité des angles droits. Il y a donc cercle vicieux. Nous n’insistons pas sur ce point

Lorsque deux droites se rencontrent, elles passent chacune à l'antre, côté de C autre; en d’autres termes, elles se coupent ;

Lorsque deux droites d'un même plan ne se rencontrent pas (sont parallèles), elles restent chacune du même côté de l’autre.

Lorsque deux droites d’un même plan ont chacune deux de leurs points situés des deux côtés de F autre; elles se coupent (1).

Nous rencontrerons la première proposition en parlant de l’angle; la seconde en est la réciproque, et la troisième l’inverse.

Entin , un dernier postulat tout aussi important , et qu’il est, croyons-nous , impossible de rattacher aux précédents, peut s’énoncer comme suit :

que l’ordre logique des propositions, auquel avait visé Legendre, est ici rompu , une proposition sur la droite venant après une proposition sur les angles.

51. Noël ( Traité de Géométrie et de Trigonométrie ) a donné de ce théorème une autre démonstration meilleure que celle de Legendre, mais qui n’est pas à l’ahri de tout reproche. Si une J) droite AB prolongée se bifurquait en B sui-

^ R - — : — C vant BC et BI), en faisant tourner la droite

A BD autour du point A, on doit pouvoir amener un point de la portion BD sur un autre de la portion BC; soitl, ce point devenu commun; alors entre les deux points A et 1 , il y aurait deux lignes droites, ce qui est impossible, vu une proposition précédente. — Mais cette démonstration s'appuie sur l’imagination qui se représente la forme do la droite : pourquoi un des points de BD doit-il rencontrer BC? Si BC avait la forme d’un arc de certde de centre A, par exemple, la rencontre n’aurait pas lieu. Cela suppose, en un mot , qu’un point de BIJ ne puisse contourner BC, comme le dit le postulat que nous énoncerons tantôt.

; I ) Ainsi, quand on énonce le théorème que les diagonales d'un parallélogramme se coupent en parties égales, on admet subrepticement qu’elles se coupent.

Une portion de droite prolongée suffisamment , sort de tout espace qui la renferme.

M. Uebenveg seul a essayé une démonstration d’un cas tout particulier qui se présente dans la théorie des parallèles; et Euclide semble, de son côté, avoir aussi entrevu la difficulté, puisqu’il demande:

Qu’on puisse prolonger indéfiniment suivant sa direction une droite donnée ( 1 ).

La troisième définition donne lieu aux mêmes objections : l’existence d'une ligne qui peut tourner sur elle-même, n’est pas établie; aussi M. Ueberweg l’admet comme un fait empirique. Cette définition est négative; tout au plus permettrait-elle de reconnaître si une ligne donnée est droite ou non. Enfin, outre la plupart des postulats précités , elle suppose que la ligne droite est la plus courte de toutes celles qui ont les mêmes extrémités.

La définition d’Euclide se rapproche assez de la nôtre. M. Ueb«j*veg a dirigé contre elle quelques critiques auxquelles nous renvoyons (2), en prévenant toutefois le lecteur que, des deux interprétations qu’on en donne, nous choisissons la première. D’ailleurs, celte définition est peu précise, puisqu’elle contient le terme non défini de semblable ; elle est en outre négative et surabondante, chaque point de la droite devant se placer semblablement par rapport à tous les autres, quand deux suffisent pour en déterminer la position : il y a donc à établir l’existence d’une telle ligne. Enfin, elle laisse subsister également les postulats précités. Ainsi , Euclide pose en axiome

.1) Ainsi, quand par lfi centre d’un cercle on tire une droite comme diamètre, il n’est pas établi que cette droite coupe la circonférence.

(8’ Voir, à la fin de cet ouvrage, la dissertation de cet auteur.

que deux droites ne peuvent renfermer un espace , et il ne touche pas la question de savoir si la droite est un minimum.

La cinquième définition de la droite est la plus en vogue aujourd’hui (1 ). Elle implique une définition de la direction, que beaucoup ne donnent pas, et que M. Ueberweg (2) énonce de la manière suivante : « La direction est la relation du lieu d’où part un élément mobile ou conçu comme mobile, au lieu où il va (8). Nous entendons par relation, de deux lieux, la nature du passage d’un élément géométrique d’un lieu a' à un autre b', laquelle découle de la différence entre la situation du lieu b> à l’égard du lieu et la situation de tous les autres lieux que peut occuper b' dans son mouvement autour de a'. » (4)

Examinons d’un peu plus près cette définition de la / direction.

Un lieu, dit l’auteur, n’est pas identique avec tout autre lieu qui a la môme figure : ce par quoi il s’en

{ ! ) Citons pour mémoire seulement la définition (le Platon : La droite est la ligne dont les extrémités sont ombragées par les points intermédiaires. — Elle suppose le point lumineux placé sur la droite; elle implique que la lumière se propage en ligne droite, cercle vicieux; enfin elle appelle à son aide des notions extra-géométriques ; et elle ne supprime aucun des postulats mentionnés.

(î) Voir la dissertation de cet auteur, à la fin de cet ouvrage, et lu Logique du même , page 305.

(3) On est tenté de dire : otV il se dirige.

; 4) La rédaction première, telle qu'on la trouve dans les Archives pédagogiques , était conçue en ces termes : On nomme direction linéaire la nature du passage d’un point « vers un autre point ,3 par un chemin que ces deux points déterminent complètement , laquelle découle de la différence entre la situation du second point £ à l’égard de * , et la situation des points de son mouvement autour de « à l’égard de ce même point «.

distingue, c'est sa situation. Delà, les expressions : situation à l'égard d’un autre lieu, ou par rapport à un autre lieu. Le point b' peut être dans une infinité de situations par rapport au point a’ ; ce nombre infini de situations forme une surface sphérique autour de a'. La situation particulière de b' est déterminée par rapport aux autres situations possibles; et la nature du passage de a 1 vers b', laquelle dépend de celte situation particulière, est la direction (1).

Sons toutes ces propositions un peu obscures se cachent plusieurs défauts et même des cercles.,

1° La définition de la situation peut être philosophique, mais elle n’est pas géométrique; car toute idée géométrique demande sa mesure. Sans doute , une figure se distingue d’une autre qui lui est égale, par sa situation ; mais cette distinction est toute négative, c’est-à-dire que l’on ne dit pas en quoi consiste cette différence Si nous nous figurons dans l’espace deux points a' et b 1 , nous voyons bien que b 1 a une autre situation que a'; mais quelle est cette situation? M. Ueberweg ne nous l’apprend pas. En d’autres termes, si nous déplaçons le point b', comment retrouver sa place antérieure? Qui ne voit que cela n'est possible que par la direction a' b' et la distance a' b' , ou tout autre moyen (des coordonnées d’une nature quelconque) qui implique les notions précédentes ou même de plus compliquées?

T La situation de b' peut être différente , sans que la direction le soit. Tous les points d’une droite ont des situations différentes, quoiqu’ils soient tous dans la même direction.

(1) La première rédaction ajoutait, et, selon nous, avec raison : en iant que ce passage est déterminé par les points a' et V.

3° M. Ueberweg répond : cette situation de I» est déterminée par rapport aux autres lieux de son mouvement autour de a'. Mais cette détermination est surabondante ; on peut lui faire l’objection que, avec M. lleberweg, nous faisons à la définition du plan. (Voir plus bas ). Eu effet, cette situation étant déterminée par rapport à deux de ces lieux sur celte surface sphérique, elle est déterminée par rapporta tous les autres. De manière que, d’après cette définition , pour avoir le point b', il faut supposer donnés ses rapports avec tous les autres points, et, comme deux de ces rapports suffisent, on se trouve dans l’embarras quand il s’agit de satisfaire aux autres, à moins que cela n’ait lieu de soi-même, ce qui est à démontrer.

4" Dans la première rédaction, M. Ueberweg ajoutait : En tant que le passage est déterminé parle point de départ et celui d’arrivée. Explicite ou implicite, cette incidente est nécessaire ; car toutes les espèces de passages de a' vers b' ne sont pas propres à mesurer la direction. En tout cas , c’est là en effet une propriété de la direction. Mais il est plusieurs de ces passages qui sont déterminés en quelque façon par le point de départ et celui d’arrivée ; la cycloïde , par exemple. Cette courbe est-elle une direction ?

o° Dans la définition même de la droite , la qualification de constant suppose la variabilité possible de la direction ; or, nous ne pouvons apprécier la constance ou la variabilité de la direction , qu’au moyen d’une direction fixe , constante. Le cercle est manifeste.

fi" Cette définition est toute négative; c’est-à-dire que, si elle permet, la constance étant supposée facile à constater, de reconnaître si une ligne donnée est droite ou non, elle n'indique cependant aucun moyen

de Lraeer la droite : comment peut-on placer un troisième point d dans la direction a'b'1 la définition ne le dit pas (1 ).

La définition de la droite que nous venons d'examiner ne supprime, pas plus que les autres, aucun des postulats ordinaires sur la ligne droite. Elle n’est qu’une proposition sur la droite , un véritable théorème ; de sorte qu’il reste à établir que :

Toute ligne de direction constante est une droite.

M. Ueberweg a essayé de cette proposition une démonstration dont voici les termes :

La ligne droite ( troisième définition ) est une ligne déterminée entièrement par deux de ses points ; la direction est déterminée par deux points , celui de départ et celui d’arrivée ; donc la ligne droite est la mesure de la direction.

Ce raisonnement est rigoureux dans le cas où la prémisse est mise sous forme inverse : toute ligne déterminée par deux de ses points est une ligne droite ; ce qui est possible pour M. Ueberweg ; car, dans son expérience III, il pose en fait qu’il n’existe qu’une ligne qui ail la propriété de tourner sur elle-même.

Du plan.

Le plan, disent Legendre et M. Blanchct , est une surface sur laquelle, prenant deux points à volonté, et

1 1 1 Enfin, il y a cercle -vicieux en français dans les mots direction et droite , car droit signifie direct: et l'on définit la direction par la ligne directe. Ce défaut toutefois n’existe pas en allemand où les mots gerade et IlichUng semblent avoir des racines un peu différentes.

joignant ces deux points par une droite, cette ligne est tout entière dans la surface (1).

Voyons si nous pouvons construire celte surface. Supposons un point tixe dans l’espace et une droite lixe; puis parce point, faisons passer une infinité de droites qui s’appuient toutes sur la droite fixe : nous engendrons ainsi une certaine surface. Cette surface est-elle un plan? Pour qu’il en soit ainsi , il faut que toute droite, passant par deux de ses points, y soit contenue tout entière ; or , cela n’est pas démontré ; et l’on doit prouver que, étant donnés un point et une droite quelconques sur celte surface ainsi engendrée, si l’on fait comme précédemment mouvoir une droite par ce point et sur cette droite, on engendre identiquement la même surface ; et tous les points ot toutes les droites de celte surface doivent, si c’est un plan, satisfaire à cette condition indispensable. La définition du plan, comme on le voit, implique une infinité de conditions dont une seule suffirait. Il devrait donc exister pour le plan un théorème ainsi conçu , qui est à l’état de postulat implicite :

Toute surface engendrée par le mouvemen t d'une droite ( génératrice ), qui, passant par un point fixe, s'appuie constamment sur une droite fixe f directrice ), est un plan; et dont la démonstration consisterait à établir que si, dans cette surface, on prend une droite fixe et un point lixe quelconques, cl qu’on fasse mouvoir une droite par ce point et sur cette droite, on engendre identiquement la même surface; ou plus simplement que:

(U La définition suivante est préférable : Le plan est une surface sur laquelle une droite peut s'appliquer tout entière dans tous les sens. Ou , si l'on veut rendre l'intention précise de Legendre : Le plan est une surface dans laquelle tombe tout entière une droite quelconque qui y a deur de ses points.

Toute droite qui s'appuie sur deux génératrices s'appuie sur toutes.

La chose 11’a pas été laite, cl d’ailleurs elle ne pouvait l’être: ou tourne forcément dans un cercle vicieux, et l’on démontre des théorèmes tautologiques , par exemple :

Théorème. Une ligne droite ne peut être eu partie dans un plan, et en partie dehors.

Scholie. Pour reconnaître si une surface est plane , il faut appliquer une ligne droite en différents (il faudrait en tous) sens sur eette surface, et voir si elle louche la surface dans toute son étendue — méthode de vérification qui n’a rien de rationnel et est tout empirique.

Théorème. Par deux droites qui se coupent, on peut faire passer un plan et on n’eu peut faire passer qu’un seul.

Démonstration. Par l’une des droites on fait passer un plan (ce qui est possible), et on le fait tourner jusqu’à ce qu'il passe par un point de l’autre droite, etc. Mais la question est de savoir s’il doit nécessairement passer par un point de cette autre droite. Un cône de révolution qui aurait son sommet au point de rencontre des droites, pour axe la première, et pour génératrice une droite différente de la seconde, ne rencontrerait jamais un point de celle seconde; et puisque ce théorème est destiné à donner une idée du plan , on ne doit pas supposer cette idée préexistante.

Théorème. L’intersection de deux plans est une ligue droite.

Toutes ces propositions disent beaucoup moins que la définition du plan elle-même.

Appliquons entin à une proposition célèbre , le postulalum d’Euelide , les modes de démonstration

employés pour le plan, cl l’on verra combien ils sont illusoires.

Définition. Nommons parallèles deux droites situées dans un même plan, qui fout avee toutes les droites qu’on peut tirer dans ce plan , des angles correspondants égaux.

Celle définition admise sans démonstration, sans qu’on s’enquière de la possibilité de tirer une droite parallèle à une autre droite donnée , on arrive à des théorèmes analogues à. ceux que donne Legendre sur le plan , à savoir :

Théorème. Une droite ne peut être en partie parallèle aune autre, et en partie non parallèle; c’est-à-dire deux parallèles restent parallèles dans toute leur étendue.

Théorème. Par un point ou peut mener une parallèle à une droite donnée, et l’on n’en peut mener qu’une seule.

Démonstration. Par le point donné et un point de la droite donnée , on tire une droite ; puis au point donné on mène une droite qui fasse avec la droite auxiliaire le même angle que cette droite auxiliaire avee la droite donnée. Cela est possible, et n’est possible que d’une seule manière.

Théorème. Deux parallèles ne peuvent se rencontrer.

Démonstration. Car, si par le point de rencontre on menait une droite , celle-ci ne ferait pas le même angle avec les deux droites parallèles; ce qui est contre la définition.

La conclusion de celte critique, c’est que la définition du plan est surabondante , contient plus de conditions qu’il n’en faut pour le construire, et par suite qu’elle ne peut cire admise qu’à l’aide d’un théorème, qui eu établit la possibilité ou l'existence.

L;i possibilité de tracer des ligures rectilignes est donc une supposition toute gratuite; et l’on peut dire à ce point de vue que la géométrie manque de base.

ta définition d’Euclide aies mêmes inconvénients, et de plus pèche par le vague :

La surface plane est celle qui est semblablement placée entre ses droites.

Le mot semblablement d’ailleurs n'est pas déliai.

M. Ueberweg définit le plan : le lieu géométrique de tous les points à égale distance de deux points fixes.

Ces définitions, comme celle de Legendre, sont des théorèmes.. On ne peut pas dire : «J’appelle plan, le lieu géométrique, etc.», parce qu’on appellent», une intuition primitive, de laquelle on ne peut affirmer qu’en théorème, qu’elle est un certain lieu géométrique, ou une surface semblablement placée entre ses droites.

De l’angle.

1. La figure formée par deux droites qui se eoupent(l) s'appelle angle (Blanchet).

2. On nomme angle, la différence de deux directions (Ueberweg).

3. Lorsque deux droites se rencontrent, la quantité plus ou moins grande dont elles sont écartées l’une de l’autre, quant à leur position, s’appelle angle(Legendre).

1. lin angle plan est l’inclinaison mutuelle de deux lignes qui se touchent dans un plan , et qui ne sont pas placées dans la même direction (Euelide).

o. L'angle est l’espace plan infini compris entre deux droites qui se coupent (Bertrand de Genève, et quelques autres auteurs).

I ) Il serait préférable Ue dire : Qui parlent d'un même point.

Chacune des deux premières définitions, prise séparément, est incomplète, N. Manchet ne définissant que la forme de l’angle, et M. Ueberweg la grandeur seulement. A elles deux , elles constituent une définition qui ne laisse rien à désirer, pour autant qu’on possède celle de la direction.

Celles de Legendre et d’Euclide sont obscures : qu’est-ce que direction, position, inclinaison, écartement, ? Il est fort difficile de définir l’un de ces termes sans y faire intervenir déjà la notion de l’angle (1). Comment d’ailleurs mesurer cet écartement? Lorsque plusieurs angles se suivent de manière à avoir deux à deux un côté commun , l’angle résultant est-il toujours égal à la somme des composants (2)?

La cinquième définition de l’angle a été imaginée

\ 1) Qu'on nous permette de citer ici quelques détinitions du Dictionnaire de r Académie, qui mettent cette difficulté en évidence :

V angle , c’est l'ouverture de deux lignes qui se rencontrent en un point, l'inclinaison qu’elles ont l’une sur l’autre;

1< 'inclinaison , c’est l’obliquité d’une iigne ou d’une surface sur une autre;

L'obliquité, c’est l 'inclinaison d’une ligne ou d’une surface sur une autre.

L'ouverture , c’est l’écartement;

L' écartement , c’est l 'éloignement:

L’ éloignement, c’est la distance.

Direction se dit encore du côté vers lequel une personne ou une chose se dirige, est dirigée ou tournée, et du mouvement de quelqu’un ou de quelque chose dans un certain sens ;

Diriger signifie aussi faire aller, conduire dans un certain sens, tourner d’un certain côté ;

Tourner vers, c’est marcher, se diriger vers;

Sens signifie encore un des côtés d’une chose, d’un corps;

Côté se dit pour endroit, partie qttclconqiic d’une chose.

pi) Celau'a pas lieu, si les angles ne sont pas dans le même plan voir la dissertation de M. Ueberweg, introduction).

pour servir à la démonstration du poslulalum d’Euclidc. L’angle PBD, disent ces auteurs, est composé d’une infinité de bandes parallèles et égales, telles que P B F E ou N PBD. L’angle EFD en contient, il est vrai, une de moins; mais, comme toute quantité finie est nulle à H égard de V infini, on peut dire à la rigueur qu’il est égal à l’angle PBD.

Sans parler de ce principe auxiliaire sur l’infini, qu’il serait dangereux d’introduire dans les éléments, il

suivrait de cette explication

M- XL—f. St- TV que deux angles adjacents

A / P B D et P B C seraient égaux

comme composés du môme nombre de bandes parallèles telles que NPBD et MPBC (1). Ou bien encore, comme l’a fort bien fait remarquer M. Lamarle (2), il s’en suivrait que les angles sont entre eux comme leurs sinus. Autre conséquence absurde : si l’angle est une portion de plan, il doit jouir des propriétés d’une portion de plan en général; or, toute projection d’une surface plane sur

( 1 ) Il n’est pas vrai que l'angle soit composé de bandes parallèles égales, car si on termine l’angle par un arc de cercle — ce qui est la seule manière rationnelle de le terminer, — les bandes parallèles diminuent à mesure qu’on s’éloigne du sommet. En définitive, ces auteurs engendrent l’angle au moyen du mouvement isogénique de la bande A le long de la droite BD, il faut donc admettre la proportion : PBD : PN = PBC : PM. Or, PM est évidemment égal à P N ipar abus de langage, en attribuant l’égalité aux infiniment grands), donc les angles PBD et PBC sont égaux , ce qui est absurde. — Le mouvement générateur véritable est celui de la droite BP autour du point B (voir ce que nous disons à la page 153 sur l’isogénéité).

(2) Moniteur de l'Enseignement, année 1852, nouvelle série, t. 1, 1 ». 298. On peut lire dans ce recueil une discussion curieuse entre cet auteur et M. Noël, à propos de cette définition.

un plan, osl égale au produit do celle dernière par le cosinus de l’angle qu’elle fait avec le plan de projection. Comine de deux angles l’un peut toujours être regardé comme étant la projection de l’autre, il s’en suivrait que les angles seraient entre eux comme leurs tangentes (1 ).

Des parallèle».

Nous arrivons enlin au fameux poslulalum d’Euclide, evux (jeometrarum , qu’on a cherché à éviter en donnant des définitions plus ou moins forcées de l’angle ou des parallèles ( 2 ) , comme si une définition pouvait rem-

, 1 C’est pour la théorie de l'angle qu’il serait nécessaire de démontrer le postulat mentionné plus haut , que deux droites qui se rencontrent se coupent). Sans cela, la proposition que les angles opposés par le sommet sont égaux, par exemple, pourrait être soupçonnée de démontrer la propriété d’une ligure qui n’existe pas.

i 2 ) On connaît la définition ordinaire : Les parallèles sont des droites, situées dam un même plan, el qui ne peuvent se, rencontrer, si loin qu'on les suppose prolongées. — La première difliculté qui se présente . est colle de savoir si par un point on ne peut mener qu’une parallèle à une droite.

Autre définition : Deux parallèles sont deux droites qui sont toujours à la même distance tune de l'aulrc. — Cette définition demande immédiatement qu’on démontre ce théorème : Une ligne équidistante d’une droite est elle-même une droite.

On a dit aussi : Lne droite est parallèle à une autre droite, lorsqu elle a deux de ses points équidistants de celle-ci. — Mais on n’a pu rien tirer de cette définition.

Legendre proposait cette autre : Veux droites sont dites parallèles , lorsqu'elles font avec une même Iroisibne deux angles internes du même râlé de celle-ci, dont la somme est égale à deux droits. — Celte définition laisse de même subsister le postulat d’Euclide.

M. Martin Philosophie spiritualiste de la nature, tome I , page 272 dit : « On nomme parallèles entre elles, deux lignes droites telles que leur distance soit constante, c’est-à-dire telles que les perpendiculaires uwnécs des divers points de l une de ces lignes sur l'autre soient toutes

lîlft —

placer un théorème! que l’on a démontré par des moyens plus ou moins ingénieux, mais qui ont tous l’inconvénient ou d’impliquer des postulats plus difficiles à admettre que celui d’Euclide, ou de sc baser sur des considérations que leur seul caractère de transcendantes suffit quelquefois pour rendre suspectes, et qu’en tous cas on ne peut faire entrer dans la géométrie élémentaire.

égala entre elles. Il est évident que ces deux lignes ne peuvent être que dans un même plan , et qu’indèflniment prolongées toutes deux dans les deux sens, elles ne se rencontreront jamais. »

Mill ( Logique inductive , ehap. 24 , î 7 ) fait les réllexions suivantes :

« Les géomètres ont toujours préféré de définir les parallèles par la propriété d’être situées dans le même plan et de ne pas se couper. Ils s'y voient forcés, pour ue pas accepter comme axiome une autre propriété quelconque des parallèles ; et la manière peu satisfaisante dont Euclide et tant d'autres ont choisi cette propriété dans ce Lut, a toujours été considérée comme un opprobre pour la géométrie élémentaire. Comme définition de mots, l’équidistance est une propriété plus convenable pour caractériser les parallèles, etcet attribut est lui-môme renfermé dans le mot. Si dans le parallélisme, il n’v avait rien d’autre de compris que la situation dans le môme plan et la non-intersection , rien ne défendrait de dire d’une courbe qu'elle est parallèle à ses asymptotes. Sous le nom de parallèles, on entend des lignes qui ont exactement la même direction , et qui par là ne s'approchent ni ne s'éloignent l une de l'autre, représentation qui ressort immédiatement de l’observation de la nature. Que ces lignes ne puissent se rencontrer, cela se trouve naturellement compris dans la proposition qu’elles sont toujours à égale distance; et l'on peut démontrer de la manière la plus rigoureuse que les lignes droites situées dans le môme plan et non également distantes l’une de l’autre, doivent se couper , en partant de la propriété fondamentale de la ligne droite acceptée plus haut, c’est-à-dire que, si elles partent du môme point, elles s'éloignent de plus en plus l'une de l'autre. »

Cette propriété de la ligne droite, Mill l’admet comme un fait d'observation (voir la théorie de cet auteur, p. 15, et la fin de ce paragraphe).

M. Ueberweg, quelques autres géomètres et Mill lui-même, ainsi

âoo —

La célébrité de ce poslulatum vient de ce que, sous une simplicité apparente, se cachent des dillicultés jusqu’ici insurmontées et déclarées insurmontables; et que , d’un autre côté , nul n’a encore, que nous sachions, indiqué la cause de ces difficultés. Mais , par ce qui précède, on a pu voir que d’autres postulats tout aussi ardus se présentent au seuil même de la géométrie, et en feraient une science tout hypothétique, si l’on n’était pas certain de l’existence des propriétés que l’on admet

qu’on vient de le voir, définissent les parallèles, des droites qui ont la même direction. — Malheureusement, comme nous l’avons déjà dit, et comme nous espérons le mettre encore mieux en évidence plus tard, la vraie notion de la direction leur a échappé. Comment construire deux lignes qui aient môme direction (voir l’article de la Quaterly Review, cité p. 22 , et la dissertation de M. Ueberweg qui en donne un moyen long et difficile) ? C’est ce qui fait qu’ils n'ont pu ni l'un ni l'autre démontrer directement lepostulatum d’Euclide, qui se présente alors sous cette forme : Deux droites qui n'ont pas même direction se rencontrent quelque part. ( quand elles sont situées dans le même plan ).

M. Frantz ( Die Philosophie der Mathematik, p. 118), propose la définition tirée de l' équidistance: mais il cherche à établir la rectitude de la ligne équidistante , en se basant sur la définition qu’Euclide donne de la droite (voir le chapitre suivant). Pour lui la théorie des parallèles se résume en cinq propositions, dont les trois premières ( a. Lorsqu’une droite est équidistante d'une autre , celle-ci est équidistante de celle-là, et leur éloignement réciproque est le même; b. Toute droite qui a deux de ses points équidistants d'une autre , lui est parallèle ; c. Lorsque deux parallèles sont coupées par une sécante, la somme des angles intérieurs est de deux droits) sont encore dépourvues de preuves géométriques. Mais il ajoute quViiej sont si simples qu'on s’en passe facilement ; que leur simplicité est une recommandation pour la théorie des parallèles , et qu'elles écartent les obscurités cl les vices qui s'y rencon t rent tout en y ramenant la méthode géométrique.

Ceux qui seraient curieux de connaître l’opinion de Hegel sur ce point délicat, la trouveront dans la première partie de sa logique.

sans contrôle. C’est même par ces postulats que l’on aurait dû commencer, pour s’assurer si les lacunes précédentes ne proviennent pas d’une première lacune, mère de toutes les autres. « C’est sans doute, dit Legendre, à l’imperfection du langage vulgaire, et à la diiliculté de donner une bonne définition de la ligne droite, qu’il faut attribuer le peu de succès qu’ont obtenu les géomètres , quand ils ont voulu déduire ce théorème (la somme des angles d’un triangle est égale à deux droits) des seules notions sur l’égalité des triangles que contient le premier livre des éléments. »

Cela peut être très-juste, mais il ne semble pas que l’on ait cherché à corriger la définition de la ligne droite, pour voir si le peu de rigueur que présente la théorie des parallèles, provient de la cause qu’on lui assigne.

Enfin, a-t-il été démontré de ce théorème ce qui l’est de la quadrature du cercle ? Non ; et c’est ce qui explique la persistance qu’on a mise à le résoudre. Ampère dit bien que la notion de parallélisme implique celle de l’infini ; M. Renouvier ( I ) , que l’on a voulu démontrer les propriétés des figures sans se servir de l'imagination, et que l’on n’a pas vu que l’idée même de droites parallèles nous forçait à admettre le postulat; M. Bailly voit dans l’équidistance, un simple fait géométrique ; les sensualistes et les matérialistes modernes , une proposition empirique; bien plus, Gauss lui-même, et après lui, Lobatschewsky, ont essayé d’établir cette dernière assertion par la création d’une Géométrie imaginaire , dont nous avons déjà dit quelques mots (2);

il ) Manuel de philosophie ancienne , tome II, pape 346, (2) Voir Liv. I, page 76.

enfin, la plupart sont d’avis que la meilleure preuve que cette difficulté est insoluble, c’est qu’on n’a jamais pu la résoudre. « Les efforts infructueux tentés depuis Euclide, dit M. Lamarle, indiquent qu’il n’y a pas de solution à espérer dans la voie de mes prédécesseurs, et cette considération m’aurait détourné de toute recherche, si, etc.... »

Quoi qu’en pense ce dernier géomètre , on ne laisse pas de poursuivre, et à bon droit, suivant nous, cette solution qui échappe toujours. Ne pourrait-on pas, du reste , en retournant l’argument , soutenir que les efforts nouveaux que l’on fait encore aujourd’hui pour trouver une solution, indiquent que celles que l'on a fournies jusqu’à présent, sont peu satisfaisantes ? En effet, les moyens les plus divers et les plus ingénieux n'ont pas fait défaut; il serait même difficile de les énumérer tous; mais c’est ici le cas de dire avec Lafontaine:

N'en ayons qu'un , mais qu'il soit bon.

Ce postulatum est inévitable, il se présente immédiatement après les théorèmes sur les angles; il y a bien possibilité de démontrer, sans lui, encore quelques propositions sur les triangles et sur la circonférence , mais on ne fait par là que rompre l’ordre philosophique, esthétique des propositions, sans en tirer aucun secours.

Le postulatum d’Euclide a une signification bien plus haute que celle qu’on lui attribue généralement. Pour devenir négative de positive qu’elle était, une quantité doit passer par zéro ou par l’infini; dans les deux hypothèses , la position intermédiaire est unique ; et la seconde implique toujours le postulatum d’Euclide. Nous nous expliquons.

Soient MN et AC deux droites perpendiculaires, et convenons de regarder comme positives les quantités

comptées sur MN à droite du point C, et comme négatives les quantités comptées à gauche du même point. Une droite qui se meut autour du point A de gauche à droite, coupe la droite MN en des points tels que B , de plus en plus éloignés du point C, c’est-à-dire, en des points à une distance B C positive de plus en plus grande , qui devient infinie quand la droite a la position PQ parallèle à MN, et qui passe immédiatement au négatif par la continuation du mouvement qui amène la droite en AD; quand elle a pris la position AC, l’abscisse est nulle, pour redevenir ensuite positive. Or, les deux positions AC et PQ sont uniques; il est plus facile de le démontrer pour le cas de la perpendicularité H ); mais le cas du parallélisme est rétif. De même, pour en citer encore un exemple , quand une section conique passe de la forme elliptique à la forme hyperbolique, auquel cas un des axes passe du positif au négatif par l’infini , il y a aussi une position intermédiaire qui donne la parabole , et c’est précisément quand le plan sécant est parallèle à l’une des arêtes du cône.

Ce postulalum a été formulé par Euclide de la manière suivante :

Si une droite tombant sur deux droites fuit les angles intérieurs d’un même côté plus petits que deux droits ,

; 1 i Et pourtant encore la proposition que d’un point extérieur on ne peut abaisser qu’une perpendiculaire i une droite, n’est pas, jusqu’à présent, démontrée d'une manière bien simple et sans une duplication île la figure.

ces deux droites prolongées se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits

Ce postulat se ramène facilement à la forme adoptée par Legendre, itl. Blanchet et beaucoup d’autres, moins générale sans doute , mais plus claire encore : Une perpendiculaire et nue oblique à une même droite se rencontrent , quand on les prolonge suffisamment.

Nous allons passer en revue les principales démonstrations qu’on a données de ce postulat.

Les unes , proposées par liertrand de Genève , se basent sur la considération des infinis de différents ordres, et prétendent établir directement le postulatum ; les autres, dont la plupart ont été données par Legendre, ont pour but de démontrer, indépendamment de la théorie des parallèles, que la somme des trois angles d’un triangle est égale à deux droits, en parlant des notions généralement admises en géométrie ; enfin Legendre, M. Lamarle, M. Ueberweg et d’autres encore, ont eu recours à des principes nouveaux ou extragéométriques , pour démontrer cette même proposition sur les angles du triangle. Nous nous occuperons d’abord des principes divers de ces démonstrations en elles-mêmes, puis de la manière dont on veut déduire de la vérité démontrée, le postulatum lui-même.

Le premier genre de démonstration part de la définition de l’angle que nous avons critiquée plus haut , à savoir que l’angle est l’espace plan compris entre deux droites qui se coupent. On admet que le plan ayant deux dimensions infinies, et l’angle étant une partie déterminée du plan, sont des infinis du second ordre; que l’espace compris entre deux parallèles, n’ayant qu’une dimension infinie, est un infini du premier ordre, nul par conséquent à l’égard de l’infini de l’angle; et

que I ouïe figure fermée, finie, est nulle à l’égard de celui-ci comme de celui-là.

Sur ces principes sc base à peu près aussi la démonstration suivante tirée du journal de Crelle (1) :

Soient deux droites ACetBD faisant avec une même troisième AP deux angles intérieurs du même côté, à savoir CAB et DBA, plus petits que deux droits; ces droites se rencontreront si on les prolonge suffisamment.

Démonstration. Je tire la droite AE de manière que les angles D B P et E A P soient égaux ; l’angle E A C est un angle fini, et l’on peut poser : nE AC = E AF > E AP; maison peut aussi poser: nEABD = EAGH <EAP; pour cela il suffit de prendre AG ==nAB, et de faire les angles DBP et HGP égaux; or de ces deux inégalités on tire: nEAC>nEABD, d’où: EAC> EABD; la droite AC doit donc sortir de la bande EABD et

couper la droite BD.

Legendre, dans un mémoire qu’on peut lire dans les recueils de l’Institut de France (1833) et dont nous analyserons tantôt le contenu, donne une autre démonstration en se basant sur les mêmes principes et en ne considérant que les seuls biangles; c’est ainsi qu'il appelle l’espace compris entre deux parallèles n s’appuyant sur une même droite.

x /'jÇn r Dans le courant de cette démonstration, il pose le biangle CABD égal au biangle CMND, négligeant ainsi leur

différence finie ABM N, et, à ce propos, il fait remar-

( 1) Année 1834. — La rédaction de la démonstration a été un peu modifiée pour simplifier la figure.

quer que, pour que deux quantités soient égales , « il n'est pas absolument nécessaire que leur différence soit nulle; il sulïit que le rapport de cette différence à l’une des deux quantités comparées, soit plus petite que toute fraction donnée de l’unité. »

Enfin, on peut encore démontrer à priori que la somme des trois angles d’un triangle est égale à deux droits ; car, si l’on fait la somme des angles CAB et DAE, ABC et FBG, BCA et H CK, ou de deux fois les angles du triangle ABC, on trouve que cette somme comprend le plan entier augmenté de doux fois D/ 'fi le triangle, c’est-à-dire quatre droits

plus une quantité négligeable.

Sans vouloir attaquer ces principes, il n’est besoin, pour faire rejeter ces démonstrations, que de signaler les absurdités où conduit la définition susdite de l'angle et que nous avons énumérées précédemment.

Nous abordons maintenant la critique des démonstrations du théorème sur la somme des angles du triangle. Les quatre premières sont l’oeuvre de Legendre :

\ . La première se base sur ces deux propositions : A. La somme des trois angles d’un triangle rectiligne ne peut être plus grande que deux droits.

U. S’il existe un seul triangle dans lequel la somme des angles soit égale à deux angles droits, on doit en con • dure que, dans un triangle quelconque, la somme des angles sera pareillement égale à deux angles droits ( 1 ).

I ' Voici la démonstration de ces deux propositions :

A. La somme des trois angles d’un triangle rectiligne ne peut tMre plus grande que deux angles droits.

Soit une suite de n triangles égaux, ABC, CDE, EFG, dont les Bases sont sur une même ligne droite AG et dont les sommets

«D’après celte démonstration , continue Legendre, la question qui nous occupe est réduite à trouver un triangle, et un seulement, dans lequel la somme des angles soit égale à deux angles droits ; or , il n’est personne qui, en essayant de se servir de la règle et du compas, n’ait réussi à tonner des triangles qui jouissent de cette propriété. Car, en faisant un carré, par exemple,

sont reliés par les droites B 0,1) K, KH, etc.; si la somme des

angles de chacun d’eux est plus grande que deux droits, comme les angles en C , par exemple , sont égaux à deux droits , il suit que l’angle BCD < ABC, et que par conséquent AC > Bl), d’où AC = BD + >; i étant une quantité Unie quelconque; ou pourra donc poser AK — BDFHL \~ n 1, et prendre n assez grand pour que ;i> soit au moins égal à 2 AU; et l’on aurait ainsi entre les deux points A et G, une ligne brisée ABU 0 plus petite que la droite AG qui joint ces deux points.

Cette démonstration est rigoureuse ; malheureusement ou ne peut démontrer de la mémo manière que la somme des angles n'est pas plus petite que deux droits; Legendre reconnaît lui-mème les difficultés de ce problème et les déclare insurmontables.

B. S’il existe un seul triangle dans lequel la somme des angles suit égale à deux angles droits, on doit en conclure que, dans un A triangle quelconque, la somme des angles sera

A pareillement égale à deux angles droits.

1" Soit ABC ce triangle, le triangle AEF oii 'es côtés sont doubles , aura les mêmes angles que le premier, et jouira par conséquent de la même propriété que lui ; et il en sera de même de tous le3 triangles dont les côtés procéderont E D F en raison double.

2’ Tout triangle AMX qui aura l'angle A égal à celui du triangle AIîC , aura aussi ses angles égaux à deux droits. Soit A G 11 un triangle de la série précédente, dont les côtés soient plus grands que les côtés A M et A A du triangle proposé; la somme des angles des trois triangles AMX, G MX et G XI! se compose des angles du triangle AGH, des angles

un voit manifestement que ses quatre angles sont droits, et qu’ainsi, en tirant une diagonale, etc. » Mais d’où sait-on que les quatre angles d’un carré sont droits 1 par définition, répondra-t-on. Or, la définition du carré a besoin d’être justifiée. Un carré est un quadrilatère qui a ses quatre côtés égaux et ses quatre angles égaux ; impossible de tirer de là que dans un carré les quatre angles sont droits ; il faut pour cela avoir déterminé , au préalable, la somme des trois angles d'un triangle. Il y a donc pétition de principe. On peut faire la même objection à l’exemple du triangle équilatéral formé par deux rayons d’un cercle et la corde d’un arc de 60". Legendre ajoute, il est vrai, que « la rigueur géométrique ne se contente pas d’une vérification faite ainsi par des constructions graphiques qui , en général , sont sujettes à quelque erreur , et que c’est sur le raisonnement seul, guidé, si l’on veut, par une figure, que la théorie doit être établie. »

2. La démonstration suivante est plutôt du ressort de l’analyse que de celui de la géométrie :

Deux triangles sont égaux, quand ils ont un côté

en M et des angles en N , en tout six droits; or, aucun d’eux ne peut avoir des angles plus grands que deux droits, donc chacun d’eux a ses angles égaux à deux droits.

3° Un triangle quelconque abc , dont tous les angles sont ditféa rents de ceux du triangle ABC, doit avoir au

moins un de ses angles plus pptit que l’un de ceux de ce triangle; soit bac cet angle, et tirons «/' île manière que l’angle baf soit égal à cet angle plus grand que bac du triangie abc: tirons bf arbitrairement; par 2°, le triangle baf a ses angles égaux à deux droits; le triangle bail qui a avec ce dernier l’angle commun eu b, a aussi ses angles égaux à 'eux droits; et enfin le triangle abc ayant l'angle a commun avec le triangle a bd, a, lui aussi, ses angles égaux à deux droits, C.Q. F. D.

égal et adjacent à deux angles égaux; doue ce cùté P et les angles A et B adjacents étant donnés , le troisième angle C est complètement déterminé. On peut donc regarder G comme une fonction des quantités A, B, P et poser: C = y (A, B, P). De là, en résolvant l’équation par rapport à P, on lire : 1* =B=f' (A, B, C). Or, si l’on représente l’angle droit par l’unité, les quantités A, B et C sont des nombres, et l’on aurait P égal à un nombre, ce qui est absurde. De là suit que, si deux angles d’un triangle sont égaux à deux angles d’un autre triangle, le troisième angle du premier est égal au troisième angle du second. Cela admis, il est facile de démontrer que, dans tout triangle rectangle , la somme des angles aigus est égale à deux droits, en abaissant la hauteur, qui divise le triangle eu deux autres qui ont leurs angles égaux à ceux du grand triangle.

Cette démonstration très-profonde , a le tort de ne pas être élémentaire, et de sortir des voies ordinaires de la géométrie. Legendre a essayé de l’y faire rentrer au moyen d’une démonstration ( !) dont l’essence con-

( 1 ) Voici cette démonstration :

Soit ABC un triangle dans lequel on connaît le cùté AB avec tes deux angles adjacents A et B, et supposons que la somme des angles de ce triangle soit inférieure à deux droits. Par un point I) quelconque C pris sur le côté AB, menons I)K de manière que l’angle ADE soit cgalàl’angle ABC; l'angle en E est égal à l’angle C— auquel cas il n’y a plus rien à démontrer -ou il est plus grand ; car, s'il était plus petit, les angles du quadrilatère CB DK feraient plus do quatre droits, et alors en le divisant par une diagonale, l’un des triangles au moins aurait ses angles plus grands que deux droits, ce que nous avons vu être impossible. Faisant mouvoir la droite I) E de manière à ne lias rhanger les angles en 11, on forme ainsi une suite de triangles dont les angles

sisle on ccei : les côtés étant représentés par un certain nombre d’une unité de longueur déterminée, lorsque l’on change cette unité de longueur, ce qui revient à former un nouveau triangle où les côtés sont proportionnels, les angles n'ont pas changé de valeur; en d’autres termes, les triangles qui ont les côtés proportionnels ont les angles égaux, et par conséquent sont semblables.

Il est impossible de réfuter ces démonstrations de Legendre ainsi que celle qui suit, puisque les principes sur lesquels elles se basent sont vérifiés dans le fait, et 11e peuvent ainsi mener à aucune conséquence absurde. O11 ne peut pas non plus y trouver de cercle vicieux , puisque ces principes mêmes sont nouveaux et employés exclusivement dans la théorie des parallèles; cl, bien que nous devions bientôt établir à priori quelques-uns d’entre eux, nous 11c pouvons que les repousser ici par une lin de non-recevoir, car ils sont en eux-mêmes , tels qu’011 les expose, moins clairs que le postulatum d'Euclide.

3 . Construisons une suite de triangles égaux ABC, BCD , CBE, DEF, etc. ; dans l’hypothèse que la somme des angles de chacun de ces triangles soit plus grande que deux droits, les angles en C, D, E, F, G, etc., sont plus grands que deux droits, de sorte que les deux lignes AG et B H ont la forme de deux polygones réguliers tournant leurs convexités l’un vers l’autre.

AED sont d’autant plus grands que la droite AD est plus petite : de sorte que ce côté AD est déterminé quand on donne les trois angles A,DetE; c’est-à-dire quand on donne trois nombres; résultat évidemment absurde, car un nombre ne peut représenter la grandeur de AD, la nature de la question ne pouvant nous donner aucune lumière sur l'unité de longueur, mètre, toise, ou pied.

et occupant, par conséquent, un espace limité, tandis qu’en fait, par la nature même de leur génération, ces ‘

lignes sont indéfinies. Dans l’hypothèse que la somme des angles soit plus petite que deux droits , les lignes , toujours polygonales, tournent leurs concavités l’une vers l’autre, .et la même absurdité est mise en évidence.

Celle démonstration, comme on le voit, admet un principe d’intuition , l’impossibilité pour une ligne polygonale régulière de se prolonger à l’inlini, principe qui ne se trouve pas dans les axiomes ordinaires et qu’il serait difficile d’y introduire : elle est eu contradiction avec les paroles de Legendre citées plus haut, que « c’est sur le raisonnement seul, guidé, si l’on veut, par une figure, que doit se baser une théorie. » Dans l’espèce, c’est l’imagination seule qui sert de base.

4. La démonstration suivante a été insérée dans la 12" édition de la Géométrie et dans les éditions subséquentes. A un certain point de vue, c'est la plus ingénieuse, la plus simple et la plus rigoureuse.

Soit un triangle quelconque ABC, dont AB soit le plus grand côté, B C le plus petit, et AC le côté

moyen pouvant être égal accidentellement à l’un des deux autres. Si, par le milieu I de BC, on mène AC' = AB, qu’on prenne AK = KB' = AI, les deux triangles A IB et AKC' sont égaux, ainsi que les triangles AIC et B'KC', de sorte que la somme des angles du triangle AB'C est la même que celle des angles du triangle ABC, et que de plus on a dans ce triangle,

Comme dans l'autre : AB’ > AC' > C'B’. On peut donc répéter la môme construction indéfiniment; tous les triangles résultants jouiront des mêmes propriétés.

Étudions maintenant les angles du triangle AB'C' que nous désignerons par A t , B t , C,, tandis que nous emploierons les lettres A , B , C pour les angles du triangle ABC. On a : C, .= B + C; A = A, 4- B, ; et comme on a : AC' > B' C, on a aussi : B, >■ A, ; de Sorte que : A, < ;A; B, < A. Pour le triangle suivant on aura de même : A, < ÿ A, < } A; B, < A, < * A ; et en général, dans le triangle AB"C”, on aura :

< C 2n ^ < C Ou — , ^ *^n ~î' ~ i •

cet angle A n , pouvaut être plus petit que tout angle donné; de sorte qu'on peut regarder les angles du triangle AB"C" comme réduits au seul angle C n ; or, si l’on considère un triangle extrême, où les angles A et B,, sont à peu près nuis, les trois sommets A, C“ et B“ sont à peu près en ligne droite, et ils le seront à la limite où les angles A n et B n sont nuis; dans ce cas l’angle C n est équivalent à deux droits. Le théorème est donc démontré.

Cette démonstration conclut par un procès à l’infini; elle en appelle en outre à l'imagination (et non plus au raisonnement guidé par la figure), quand elle représente les trois points A, C”, B" comme se rapprochant de la ligne droite , car, par la construction même , le point C” reste toujours à une distance de A B" finie et facilement calculable (1).

{ 1 ) On peut lire, sur cette démonstration , l’ouvrage déjà cité : Die Philosophie, der Malhemalik , par C. Franlz, p. 1 16.

5. M. Lamarle a publié, en 1 856, une démonstration du postulatuin d’Euclide, à laquelle il a attribué toutefois une importance moins pédagogique que scientifique, et qui n’est qu’une application des principes de haute analyse de l’auteur à cette question si longtemps restée insoluble: il prétend établir, même en ce point, la supériorité de ces principes sur la méthode infinitésimale. On peut lire ce travail dans les Bulletins de l’Académie de Belgique. Il est trop long pour que nous puissions ici en donner autre chose qu’une courte analyse, suffisante tout au plus [tour en faire apprécier la marche.

Il s’agit d’établir que toute ligne équidistante d’une droite est elle-même une droite. L’auteur commence par prouver que la droite qui joint les extrémités de deux perpendiculaires élevées aux extrémités d’une portion de droite, ne peut être plus grande que cette portion. Le procédé qu’il emploie est analogue à celui dont se sert Legendre pour prouver que la somme des angles d'un triangle ne peut dépasser deux droits. De là suit que la ligne équidistante, si ce n’est pas une droite, est une ligne courbe, mais qui se trouve toujours en dessous d’une perpendiculaire élevée à l’extrémité de la droite qui mesure la distance d’un point de cette courbe à la droite donnée , de sorte que celle perpendiculaire est tangente à la courbe. M. Lamarle engendre ensuite la courbe au moyen d’une rotation de cette même perpendiculaire autour d’un point mobile sur elle, et il prouve que, dans le cas dont il s'agit, cette rotation est nulle, c’està-dire que la prétendue courbe est une droite. En même temps il établit par là que toute perpendiculaire à une droite l’est aussi à son équidistante; plus de difficulté dès lors de prouver que, dans un triangle rectangle, la

somme des angles aigus est égale à un droit, d’où suit, pour un triangle quelconque, la propriété connue.

Cette démonstration , fort remarquable du reste , est assez difficile à suivre , et l’imagination du lecteur est trop souvent mise en jeu , pour qu’il soit possible d’affirmer que les principes ou les conclusions adoptés dérivent toujours d’un raisonnement rigoureux. M. Larnarle ajoute d’ailleurs lui-même : « On objectera peutêtre que notre démonstration n’offre pas, sous la forme que nous lui avons donnée, toute la simplicité désirable. L’important est qu’elle soit exacte, et, si l’on peut la rendre plus simple et plus rapide, il suffit, pour nous, qu'elle offre par elle-même les éléments d’une solution meilleure. A d’autres plus habiles et plus exercés, nous laisserons le soin de modifier, s’il y a lieu , et d'améliorer ce premier travail. Toutefois, ce serait , pensons-nous , se faire illusion que d'espérer traiter et résoudre en quelques lignes , un problème qui a déjoué, pendant si longtemps, les efforts de tant de géomètres. » M. Lamarle laisse subsister ainsi l'une des difficultés capitales de ce problème , c’est-à-dire la nécessité de donner une solution rapide.

6. Parlons maintenant d’une démonstration nouvelle et célèbre, dans laquelle le postulat est dissimulé avec art sous une apparente simplicité. L’auteur demande qu’on lui accorde, qu’une droite qui tourne autour d’un de ses points de manière à revenir à sa position primitive , quel que soit le mode de rotation , soit censée avoir tourné de quatre angles droits (1). Cela posé, il est facile de démontrer que la somme des angles extérieurs d’un triangle est égale à quatre droits. On fait

( î ; Voir C. Frantz , Oie Philosophie der Mathemalik , p. 116.

avancer le côté AB le long de lui-même, de manière à amener le point A en B , puis on le fait tourner aui tour de ce même point d’un angle B, A c \ de manière ù ce qu’il prenne la position BC. Cela fait, ce même \ point A , qui est maintenant en B , ® % glisse en C; puis faisant tourner le

e côté, de manière à ce qu’il décrive l’angle C , on couche le côté suivant CA. Enfin, on fait glisser le point A de C en A, et décrire au côté l’angle A, de manière que le côté AB est revenu dans sa position première. Or, la somme des angles décrits est celle des angles extérieurs du triangle. Donc cette somme, en vertu de la demande, est égale à quatre droits.

Mais qui ne voit maintenant que c’est la demande elle-même, malgré son évidence apparente, qui contient le postulat? Sans doute, la somme des angles formés autour d’un même point, est égale à quatre droits, mais non celle des angles formés autour du triangle par un mouvement continu. On admet au fond que, si par le point A on mène une droite, qui fait l’angle b égal à l’angle extérieur B , le troisième angle c est égal au troisième angle extérieur C; et c’est précisément ce qu’il faut démontrer. Ou encore , comme le dit M. Lamarle, on admet implicitement que l’angle extérieur d’un triangle est égal à la somme des deux intérieurs qui lui sont opposés.

On ne peut assez s’étonner que le postulat se trouve dissimulé dans une demande aussi simple que celle qui sert de base à cette démonstration ; il y aurait à rechercher si ce n’est pas l’absence d’un principe resté dans l’ombre, qui nous force de nous arrêter un peu en

deçà du rivage. Nous démontrerons en effet toutes ces propositions auxiliaires , en nous basant sur les principes que nous avons antérieurement déduits.

Citons encore M. Ueberweg, qui, introduisant l’idée de direction dans la définition do la droite, n’a pas de peine à prouver que la somme des angles extérieurs d’un polygone quelconque, est égale à quatre droits, d'où la proposition sur les angles du triangle.

Voyons maintenant , en supposant cette dernière proposition démontrée, comment on en déduit celle qui tait 1 objet du postulatum d’Euclide. Nous suivrons la démonstration donnée par Legendre dans la quatrième édition de sa Géométrie.

Théorème. Si deux ligues droites AB, CD, font avec une troisième EF, deux angles intérieurs d’un même côté, dont la somme soit plus petite ou plus grande que deux angles droits, les lignes AB, CD, prolongées suffisamment, devront se rencontrer.

Il suffit de considérer le cas où la somme des angles est plus petite. On tire la ligne FG, de manière que

l’angle GFE soit égal G à l’angle A EF ; la z droite FD tombera

dans l’angle GFE ;

E N T B toute oblique , telle

queFN, fait avec les deux droites AB et FG, deux angles alternes-internes ENF, GFN, égaux (ce qui est facile à démontrer); si l’on prend EN = EF, il est aisé de voir que l'angle GFN est la moitié de l’angle GFE; prenant ensuite NP = FN, et tirant F P, l’angle GFN se trouve encore divisé par cette dernière droite en deux parties égales ; et continuant par le même procédé à diviser les angles en F en deux parties égales ,

on doit obtenir un angle GFZ plus petit que l’angle GFD ; or, la droite FZ, par la nature de sa construction, rencontre la ligne AB en un point Z', je suppose; la droite FD doit donc sortir du triangle EFZ', et il faut pour cela qu’elle coupe le côté EZ'.

Cette démonstration est adoptée généralement par tous ceux qui regardent le postulatum d’Euclide comme une conséquence du théorème sur les angles du triangle.

Au point de vue géométrique, elle renferme un postulat dont nous avons parlé page 187, à savoir que la droite FD doit sortir d’un espace limité tel que EFZ'. C’est même ici un cas tout particulier de ce postulat, en ce que la droite FD a déjà un point F commun avec le contour du triangle. Nous ne connaissons que M. Ueberweg qui ait cru nécessaire de prouver ce postulat: il fait remarquer que la droite FN, en se mouvant autour du point F et sur la droite AB, jusqu’à ce qu’elle coïncide avec la droite FZ, passe par tous les points de la surface du triangle NFZ', et par conséquent par un des points de la droite FD, c’est-à-dire qu’il arrive un instant où elle coïncide avec elle (1). Celte démonstration suppose qu’un point qui passe d’un côté d’une droite F D, jusqu'ici censée ne pas sortir du triangle, à l’autre côté de cette même droite, rencontre nécessairement celle-ci, ce qui est précisément le postulat à démontrer.

Mais c’est surtout dans le cas où la droite n’a aucun point commun avec le contour de la figure qui l’enferme, que ce postulat est indémontrable par les principes actuels de la géométrie. Tout au plus pourrait-on dire que, si l’on joint les points de ce contour deux à deux,

( 1) Voir System der Logik , p. 308,

ou a toujours des droites d’une longueur finie, que parmi celles-ci , il en est une qui a une longueur maximum et que la droite donnée , suffisamment prolongée, devant nécessairement dépasser cette longueur, sortira nécessairement aussi du contour. Mais cette démonstration elle-même est peu satisfaisante.

Examinons maintenant la démonstration de Legendre au point de vue logique.

D’abord, elle tombe, et à plus juste titre que les incommensurables, sous le coup de la critique que nous avons dirigée contre ceux-ci. Ici encore, l’argumentation est ad hominem. Legendre dit à son contradicteur : Tirez une droite comme vous voulez, dans l’angle GFE, je vous prouverai qu’elle coupe la droite AB. Mais ce contradicteur peut répliquer : Sans doute, je vois que la droite F D, que j’ai prise au hasard, ne répond pas à mon intention ; mais si j’en prenais une autre derrière FZ? — Legendre voudra le convaincre en divisant l’angle GFZ en deux parties égales; mais son adversaire divisera, de son côté, l’angle GFD en deux ou même en trois parties égales et davantage, car il est libre de le faire; et les voilà tous deux se poursuivant à l'infini sans jamais parvenir à se rencontrer. A qui restera la victoire? (1 ).

( 1 ) Quelques-uns voudront voir dans cette critique le sophisme renouvelé d'Achille et la Tortue. Mais la différence est grande : Zénon prétendait qu'Achille qui maichait, soit deux fois, plus vite que la tortue, ne l'atteindrait jamais , parce que. pendant qu'Achille parcourt la distance, soit vingt pieds, qui le sépare de l'animal, celui-ci en parcourra dix ; pendant qu'Achille fera ces dix pieds, la tortue en fera cinq, et ainsi de suite. Ce raisonnement était un sophisme, parce qu’il voulait prouver la fausseté d'une proposition vraie, à savoir que la tortue finirait par être atteinte. Mais Zénou

Ce n’est pas tout : la démonstration ne résout pas même la difficulté dans son essence. Elle prouve, si l’on veut, que toute droite, telle que FD, qui fait un angle fini avec FG, coupe la droite AB; mais il s’agit proprement de prouver que par le point F on ne peut mener qu’une parallèle à la droite AB ; c’est-à-dire que la droite FG ne peut osciller si peu que ce soit, autour de sa position , sans rencontrer d’un côté ou de l’autre la droite AB. Or, si loin qu’on pousse la division de l’angle G FM, la droite F Z' fait toujours un angle fini avec F G ; elle n’atteint pas le si peu que ce soit, et c’est ce qu’elle devrait faire.

II nous reste à montrer que le postulatum d’Euciide a la même origine que tous les autres postulats, c’està-dire que l’on a pris un théorème pour une définition; et, comme un théorème, pour être définition, doit être inversible , on a été obligé d’admettre , sous forme d’axiome et sous le nom de postulat, la proposition renversée, ou toute autre équivalente.

Définition : On nomme parallèles des droites situées dans le même plan , et qui ne peuvent se rencontrer si loin qu’on les suppose prolongées.

De telles parallèles existent, témoin deux perpendiculaires à une même droite. Mais toutes les droites menées par un point, dans un plan donné, de manière à n’en pas rencontrer une autre, lui sont-elles parallèles? Comme il répugne à la notion intuitive de

aurait eu raison de soutenir qu’ Achille n’atteindrait jamais la tortue, s’il concourait A la condition de ne parcourir dans un temps donné et toujours le même que la moitié de l’intervalle qui le séparait d’elle. En effet, dans ce cas, Achille et la tortue s’approchent indéfiniment d’une limite fixe, située à quarante pieds d’ Achille, et que ni l’un ni l’autre ne toucheront. — Voir pages 149 et suiv.