KO

plusieurs droites parallèles que deux quelconques d’entre elles fassent un angle, force est bien d’admettre ce postulat, qui permet de faire l’inversion nécessaire :

Par un point on ne peut mener qu’une parallèle à une même droite ; ou bien :

Deux droites qui se coupent ne peuvent être toutes deux parallèles à une même, troisième.

Quelle que soit la définition qu’on adopte, ou retombe, d’une manière ou de l’autre, sur ce postulat ou un postulat analogue.

Cependant une définition fait exception. Etantadmises l’idée de direction et la possibilité de tirer taie droite dans une direction voulue, la définition suivante satisfait à toutes les exigences :

Les parallèles sont des droites de directions semblables. La définition est génétique et nominale, et par conséquent inversible; par un point, on ne peut mener qu’une parallèle à une droite donnée; les parallèles ne peuvent se rencontrer. Mais il incombe alors à ceux qui donnent cette définition, de démontrer une proposition importante sur les angles, pressentie par Mill, qui en fait un axiome expérimental.

I .'angle étant la différence des directions de deux droites qui partent d’un même point, on a à établir l’inverse de cette définition, et ici se retrouve le postulat d’Euclide dans toute sa profondeur. Il faut prouver que :

Deux droites situées dans le même plan et qui n’ont pas la même direction, forment un angle, c’est-à-dire se rencontrent en un point qui est le sommet de T angle.

M. Ueberweg n’a pas songé à démontrer ce postulat mis sous cette forme; il n’a pas même soupçonné que

c’est là la forme essentielle du postulat d’Euclide ; et il a préféré abandonner sa définition des parallèles pour reprendre le postulat sous son énoncé ordinaire , et au milieu du cortège des propositions concernant les sécantes ( 1 ).

Mill admet comme une vérité expérimentale que les cotés d’un angle vont toujours en divergeant; et il pose comme vraie la proposition inverse que deux droites qui, situées dans le même plan, vont toujours en convergeant, se rencontrent. Libre à lui de la regarder comme une nouvelle vérité expérimentale; mais elle n’est pas impliquée dans la première. C'est un postulat expérimental ; car les deux droites peuvent être si éloignées l’une de l’autre, et si peu inclinées l’une sur l'autre, que la vérification expérimentale soit impossible.

Enfin , c’est ici proprement que doit être mentionné le postulat dont nous avons parlé page 186, à savoir que :

Deux parallèles restent chacune du même coté de Vautre.

En effet, il est loin de découler immédiatement de la définition, que des parallèles courent indéfiniment à côté l’une de l’autre; en d’autres termes, que l’une est toujours située au-delà de l’autre, par rapport aux rayons vecteurs qui partent d’un même point de leur plan. C’est là une propriété qui résulte de ce que les lignes, soit équidistantes, soit asymptotes, sont des droites , et qui n’existerait pas dans le cas où elles fussent des courbes.

; 1 1 Nous disons que c’est la véritable forme du postulat d’Euclide. Celui-ci ne dit, en définitive , rien autre choBe : deux droites qui font avec une même troisième des angles correspondants inégaux , n’ont pas la même direction.