FONDEMENTS NOUVEAUX DE LA GÉOMÉTRIE

Ce chapitre est divisé en quatre paragraphes. Dans le premier, nous définissons les notions premières de la géométrie, et nous donnons la solution des postulats que nous avons signalés. Le second est consacré à la théorie de la similitude; le troisième, à la solution d’une difficulté célèbre se rapportant à la mesure du cercle. Un quatrième entin contient quelques considérations théoriques sur les unités.

g 1 . — DÉFINITIONS PREMIÈRES. — SOLUTION DES POSTULATS.

Si l’on nous a bien eompris , on admettra avec nous que les notions du plan et de la droite nous sont données avec celle de l’espace ; que ce sont des déterminations décrites d’avance en lui , tandis que les autres déterminations, les cercles, les triangles, etc , y sont décrits arbitrairement par la pensée. Engendrer (1) l’espace, c’est y engendrer en mèmetempsetpar la même loi, des plans et des droites. Après avoir mis cette loi de génération en lumière, il nous reste à y rattacher

( t ) Toute représentation intuitive <]'un tout empirique suppose , de la part de l'imagination , la génération successive des parties de ce tout. —Voir, page 13.1a citation d'un passage de Kant sur ce point.

toutes les notions élémentaires de la géométrie , à savoir, eelles de distance, de direction, d'angles, de parallèles, de convexité, de concavité , de symétrie.

Les définitions que nous en donnerons, reproduiront, autant que possible , l'intuition , l’idée vulgaire que ces mots éveillent. Elles auront ainsi , nous l'espérons du moins, une base à la fois logique et psychologique. Nous démontrerons, en passant, tous les anciens postulats de la géométrie , et même les lemmes que l’on a imaginés pour les démontrer, sans nous astreindre cependant à la forme aride de la géométrie , forme qui ne s’allie pas avec la nature de cet ouvrage.

Si, tout en satisfaisant aux exigences de la géométrie idéale, nous résolvons les difficultés que les anciens principes ne permettaient pas de résoudre; et, bien que nos prémisses soient indépendantes de tout succès dans les résultats , si pourtant les conséquences viennent les confirmer, nous pourrons croire avoir assis la géométrie sur sa véritable base.

De la droite dans l’espace.

Définition. La droite est une ligne homogène, c’està-dire dont les parties, prises indifféremment, sont semblables entre elles ou ne diffèrent qu’en longueur.

Remarque. Les modes de démonstration des théorèmes qui concernent la ligne droite, consisteront dans la majoration ou la minoration de la figure.

Comme nous l’avons vu dans le chapitre précédent, page 180 , nous admettons qu’il y a équation exacte entre X intuition de ligne droite, et le concept de ligne homogène. Naturellement, toutes les conséquences que nous tirerons du concept , se vérifieront intuitivement ;

mais il est nécessaire que nous insistions sur ce point, que l 'intuition ne viendra jamais que confirmer, justifier ces conséquences, et ne servira pas à les démontrer. Ainsi , la géométrie ordinaire regarde comme vrai que deux lignes droites coïncident en entier quand elles le font en partie , qu’entre deux points on ne peut tirer qu'une ligne droite, etc; elle se fonde sur X intuition. Nous, au contraire, nous démontrerons ces mêmes propriétés, en partant du concept de ligne homogène.

Théorème 1 . Une droite est déterminée quand on donne l'une quelconque de ses parties.

Car la majoration de cette partie reproduit la droite.

De là , comme

Corollaire. Quand deux droites ont une portion commune, elles coïncident dans toute leur étendue.

Si l’on fait attention à la manière dont cette portion, quand on ia majore, reproduit la droite, on verra que ce sont précisément les deux points limites de celte portion qui décrivent la ligne entière, et qu'ils ne décrivent qu’elle seule, l’un de ces points au moins passant à chaque instant par une position nouvelle, de plus en plus écartée de l’autre point. De même, si l’on minore cette même portion , l’un des points limites au moins la décrira pendant cette opération, et ne peut décrire qu’elle seule. Nous pouvons donc regarder comme démontrés les deux théorèmes suivants :

Théorème II. Entre deux points on ne peut tirer qu’une ligne droite ;

Théorème III. Une droite ne se bifurque pas.

Ces deux théorèmes sont le complément l’un de l’autre. On pourrait encore les démontrer directement en engendrant la droite (ligne homogène) par la minoration ou la majoration de la figure que forment les

deux points par leur réunion. L’un des points étant pris pour centre { I ) de majoration, l’aulre, dans son mouvement, décrit une ligne unique.

Corollaire I. Deux pointu déterminent une droite.

Corollaire 2. L’élément de la droite se compose de deux points, abstraction faite de l' intervalle qui les sépare.

Corollaire 3. Deux droites ne peuvent se rencontrer en plus d’un point.

Corollaire \. Une droite, en tournant autour de deux de ses points , ne sort pas d’ elle-même.

Définition. On nomme distance de deux points, la longueur de la portion de droite qui les relie ('■2).

Remarque. La notion de distance est-elle ou non antérieure à celle de droite? Pour répondre à cette question, il faut se demander laquelle des deux notions implique l’autre, laquelle peut se concevoir saus l’autre.

Peut-on penser à la droite sans penser à la distance? peut-on penser à la distance sans penser à la droite? Il est clair pour nous qu’à la première question on doit répondre oui, et à la seconde non. C’est à un fait psychologique que nous en appelons, et le lecteur doit juger lui-môme si ce l'ait est tel que nous l’énonçons.

Pliilalèthe (3) définissait la distance : f espace considéré par rapport à la longueur qui sépare deux corps. Cette définition rentrerait, jusqu’à un certain point, dans

( I ) Nous entendons par centre de majoration le point de l’espace qui reste immobile quand on majore un quantum quelconque.

(‘M Distance, c’est l'espace, l'intervalle d‘un lieu à un autre, — se dit aussi du temps.

Intervalle , c’est la distance d’un lieu ou d’un temps ù un autre.

t Dictionnaire de l’Académie J.

(3) Leidsitz ; Nouveaux Essais sur l’entendement humain, Liv. 11, chap. 13.

la nôtre, si , au lieu du mol longueur pur et simple , elle contenait les mots longueur de la droite ; et ces derniers mots sont nécessaires : car, qu’est-ce qu 'une longueur qui sépare deux corps? Celte longueur n’est autre que la distance, et, pour ne pas faire une tautologie, on a employé un terme impropre.

Théophile corrige la définition de son adversaire : « Pour parler plus distinctement, dit-il, la distance de deux choses situées (soit points ou étendues), est la grandeur de la plus petite ligne possible qu’on puisse tirer de l’une à l’autre. Cette distance se peut considérer absolument, ou dans une certaine figure qui comprend les deux choses distantes. Par exemple, la ligne droite est absolument la dislance entre deux points. Mais ces doux points étant dans une même surface sphérique, la distance de ces deux points dans celte surface est la longueur du plus petit grand arc de cercle qu’on y peut tirer d’un point à l’autre. » La confusion que fait ici Leibnitz entre la distance et la ligne minimum , provient de l'intime connexion qu’il y a entre ces deux idées; la distance est en effet, comme on le sait et comme nous allons le démontrer, la ligne minimum par excellence; mais toute ligne minimum n’est pas une distance. La distance entre deux villes n’est pas le plus court chemin que l’on puisse suivre pour aller de l’une à l’autre, c’est la longueur du chemin fictif qui, perçant les montagnes et s’élevant au-dessus des vallées, conduirait directement de l'une à l’autre. Sans doute, par abus de langage, le mot distance est quelquefois pris dans le sens de route minimum , comme lorsqu’on dit que les deux pôles sont distants de 4500 lieues; mais , nous le demandons encore une fois , est-ce là la représentation fidèle de la notion de, distance? Nous osons répondre non.

« La grandeur d'un chemin absolument déterminé par deux points, dit M. Ueberweg, se nomme leur distance. »

La ligne droite est absolument déterminée par deux de ses points, et elle est la plus courte de toutes les lignes qui peuvent les rejoindre, elle est donc la mesure de la distance.

Au fond, la définition de Al. Ueberweg revient à la nôtre, mais nous la croyons fautive au point de vue psychologique. Il a cru pouvoir définir à priori la distance sans-recourir à la notion de droite; mais c’est une illusion : il suffît d’examiner cette même définition pour voir qu'elle a besoin d'une justification. On réfléchit d’abord ; on reconnaît que la droite est déterminée par deux points; qu’entre deux points il ne peut y avoir qu’une droite; et l'on voit ainsi, mais en corollaire seulement , que la définition convient à l'idée définie.

Théorème IV. La phis courte de toutes les lignes qui ont les mêmes extrémités est une ligne droite.

Car, dans la ligne AB , la plus courte entre A et B , chacune des parties, telle que CD, est nécessairement la plus courte entre les points C et D

• C* Jj t» i ^ i

' ' qui la limitent. Or, l’espace étant

homogène, la partie CD, en tant que le plus court chemin entre C et D , ne peut différer en forme de la ligne AB , le plus court chemin entre A et B. Les parties de cette ligne ont donc la même forme, quelle que soit leur longueur, elles sont semblables entre elles ; la ligne elle-même est, donc homogène (I ).

( I ) De la même manière , on peut démontrer que la ligne la plus courte entre deux points sur une sphère est un arc de cercle, et par conséquent un arc de grand cercle, puisque , de tous les arcs sous-tendus par la même corde , le plus petit est celui qui appartient au cercle du plus grand rayon. En effet, cette ligne la plus

Comme nous avons démontré qu’entre deux points on ne peut tirer qu’une ligne droite, nous pouvons dire :

Corollaire 1 . La ligne droite est telle que chacune de ses parties est la plus courte de toutes les lignes qu'on peut tirer entre les deux points qui limitent cette partie. (1).

Il en résulte aussi que :

Corollaire 2. La distance entre deux points est la plus courte ligne que l’on peut tirer entre ces deux points.

De là, une connexion intime entre les idées de distance, de droite et d e plus court chemin, et la définition générale suivante de la distance :

Définition. La distance entre deux objets est la droite la plus courte que l’on puisse tirer de l’un à l’autre.

Ainsi la distance d’un point à une droite est la perpendiculaire abaissée de ce point sur la droite , parce que cette perpendiculaire est plus courte que toute autre droite ; la distance entre deux droites de l’espace est leur perpendiculaire commune, parce que cette droite est plus courte que toute autre. Mais, remarquons-le encore une fois, la distance est exprimée avant tout par

courte est telle que chacune de ses parties est la plus courte entre les deux points qui la terminent. Or, comme la sphère est une surface isogène , la distance des deux points sur cette ligne restant constante, la ligne qui les relie est toujours égale à elle-même. Cette ligne est donc isogène, et, sur une sphère, une telle ligne ne peut être qu’un arc de cercle.

( 1 ) Il semble que ce soit une puérilité , après avoir démontré que le plus court chemin entre deux points est une droite , de n’oser renverser cette proposition et dire : La droite est le plus cturl chemin entre deux points. Pourtant , si entre deux points plusieurs droites étaient possibles , il pourrait se faire qu’uno seule d’entre elles fût le plus court cltemin, et l’inversion ne serait plus permise. (Voir page 184.)

une droite et non par une ligne quelconque. Ainsi, la distance entre deux points pris sur une sphère, est non l’arc de grand cercle, mais la droite qui les joint.

De la droite dans le plan.

Définition. Le plan est une surface homogène.

Théorème V. Un plan est déterminé quand on donne l’une de ses parties ( 1 ).

Corollaire. Lorsque deux plans ont une portion commune , ils coïncident dans toute leur étendue.

On a déjà vu qu’une droite peut s’appuyer sur un plan dans toute son étendue. C’est la conséquence du mode de génération du plan : dans la majoration d’une portion élémentaire de cette surface , les lignes élémentaires de cette portion deviennent des droites. Mais cette conséquence se trouve aussi dans la proposition suivante :

Théorème VI. L'intersection de deux plans est une droite.

En effet, la majoration d’une portion de cette intersection devant étendre cette portion à la fois dans les deux plans, engendre l’intersection entière (2).

( 1 ) Nous avons dit plus haut qu’une ligne n’est pas une portion de surface.

(2) Quelques mots de développement ne seront peut-être pas inutiles. Soit a b une portion de l'intersection : en tant qu'appartenant au plan P, par majoration elle reste dans le plan P ; de même, elle reste dans le plan Q ; elle se confond donc avec l’intersection des deux plans. Ou bien encore : considérant deux portions de ces plans, avec la portion de ligne où elles se coupent, et majorant cette figure , on engendre les plans entiers et l’intersection entière. — Tous ces modes de démonstration sont fort simples ; mais il faut s’être bien pénétré du principe de l’homogénéité pour en concevoir la puissance et l’application.

Corollaire. Ue là suit qu'il peut y avoir des figures rectilignes planes.

Théorème VII. Par trois points non en ligne droite , on ne peut faire passer qu'un plan.

Théorème VIII. Un plan ne se bifurque pas.

Ces théorèmes se démontrent d’une façon analogue aux théorèmes correspondants sur la droite : on joint les trois points par des droites; puis, l’un d’eux étant pris pour centre de majoration , celle des droites qui ne le contient pas, se meut, pendant qu’on majore ou minore l’espace, d'une façon continue sur les deux autres.

Corollaire I . Par deux droites qui se coupent , on ne peut faire passer qu’un plan .

Corollaire 2. Quand une droite a deux de ses points dans un plan , elle y est contenue tout entière , d'où la possibilité de tracer des figures rectilignes planes.

Théorème IX. Toute portion de droite, située dans un plan , si on la prolonge suffisamment, sort de toute figure limitée qui la renferme dans ce plan.

En effet, si l’on engendre le plan par la majoration d’une figure plane qui ne contienne qu’une partie de la portion de droite, celte figure empiétera nécessairement sur l’autre, ainsi que la portion de droite qui lui est attachée.

Définition. On nomme direction d’une droite, la position de cette droite autour d’un de ses points.

Nous ferons ici les mêmes questions que plus haut : Peut-on éveiller l’idée de direction sans éveiller celle de droite ? Ne peut-on pas parler de droite sans faire songer à la direction ? La direction n’est donc pour nous qu’une manière de considérer la droite dans le plan. C’est ainsi que, dans le langage vulgaire, quand on dit qu’wn objet B est situé dans une telle direction , le lieu A de l’observateur sert de pivot, de pôle, et la

direction est indiquée par la position du bras (position de la droite), qui tourne autour de ce pôle dans un môme plan , et de manière à indiquer l’objet B. On dit encore : J'ai suivi telle direction. La droite est alors prise pour une moyenne servant de mesure à la route que l’on a suivie réellement.

Un théorème curieux vient confirmer cet usage du terme de direction.

Si l’on nomme zéro la direction de la droite qui passe parle point de départ et le point d’arrivée, la somme des changements de direction est nulle, quelle que soit la route suivie.

Sans s’en rendre compte , on admet tous les jours cette proposition comme vraie. La démonstration en est facile. Nous prenons pour négatives les directions

en dessous de la direction qui précédait. Il faut prouver que :

Or :a — b= — n; e—d— — m; et : c == m -f- n. C. Q. F. D.

C’est, en définitive , le théorème sur les angles extérieursd’un polygone, qu’on pourrait énoncer comme suit :

La somme des changements de direction de tous les côtés, moins un, d'un polygone est égale à la direction de ce côté.

La direction est ce qui distingue une droite de toute autre droite qui la coupe; c’est elle, en un mot, qui donne le caractère individuel de la droite.

M. Ueberweg a essayé de la définir à priori. Nous croyons qu’il y a là une erreur psychologique. Nous avons précédemment critiqué cette définition ; ici, nous ferons remarquer que cet auteur a eu tort de considérer la droite comme située dans V espace, au lieu de la sup-

poser, comme nous, dans le plan. Outre des considérations d’analyse qui s’opposent à cette manière d’envisager la direction , on se trouve bientôt en face d’une difficulté insurmontable, quand , définissant l’angle la différence de deux directions , on est obligé d’expliquer comment deux droites qui font , dans l’espace , le même angle avec une même troisième , peuvent faire un angle entre elles.

Définitions. Si, par un point donné dans un plan , on fait passer toutes les droites possibles, on a ce que nous nommons la rose des directions , et le point donné en est le pôle.

Théorème X. Toutes les roses des directions sont semblables, et à chaque direction de Tune correspond une direction de Vautre.

Cette proposition est une conséquence de l’homogénéité du plan.

Toute détermination nouvelle et, par sa nature, susceptible de variation , demande une mesure , une règle, une détermination fixe prise pour unité, et que, pour le cas qui nous occupe , nous nommerons norme. Dans toute rose de directions , nous devons donc prendre une direction arbitraire pour norme et lui rapporter toutes les autres. Cette direction particulière nous la nomme-

rons la direction 0.

Théorème XI. La majoration du plan ne change pas la direction de ses droites.

En effet, si l’on majore le plan du point B situé sur „ la ligne des pôles AA', et

pris comme centre de

transporte en A', emportant la rose avec lui ; la

direction de la nonne AO n’a pas changé , et , par conséquent, les autres directions se correspondent encore (théorème X).

Remarque. A cette démonstration on objectera peutêtre que, [dans le transport de la rose A en A', la droite 1 peut avoir pris la position de la droite 2, et réciproquement. Ce saut est incompatible avec l'homogénéité du plan. Toutefois, nous pouvons offrir une seconde démonstration qui est à l’abri de ce reproche , mais où cet avantage est compensé par un peu plus de longueur. La voici :

Si nous majorons l’angle 0A4, du point A comme centre de majoration , et dans un rapport donné, cet angle ne change pas de valeur, ni ses côtés de position. Majorons-le maintenant, dans ce même rapport, du point B situé sur l’un de ses côtés, et pris comme centre de majoration, l’autre côté se transportera en A' 4', par exemple; or, les angles résultant de ces deux opérations sont égaux, puisqu’ils ont même forme et même grandeur ; donc l’angle OA'l 1 est égal à l’angle OA 4, et les directions A4 et A' 4' sont les mêmes.

De l’angle et des parallèle».

Définitions. La figure formée par deux droites qui partent d’un même point se nomme angle ; les droites sont les côtés de l’angle , et le point dont elles partent en est le sommet. La valeur (4 ) de l’angle est la différence de la direction de ses côtés.

(1) Nous évitons d’employer le terme de grandeur en parlant de l’angle pour des raisons que nous dirons bientôt.

Ainsi la valeur de l’angle B AC est la différence des ^ directions AB et AC. Cela suppose ç donc qu’on a une unité pour mesurer cette différence, une unité-dif- ’° férence, ou un angle-unité. On sait qu’on prend généralement à cet effet l’angle droit ou l’angle d’un degré.

Tout ce qui précède est conforme aux usages vulgaires que l’on fait des directions et des angles; on sait que sur le cercle on marque un 0 ou point fixe ; puis l’on désigne chacune des droites qui partent du centre, par les chiffres 2, 3 — jusque 360, et l’on apprécie par là la valeur plus ou moins grande de l’inclinaison. Nous allons voir comment l’on construit ces divisions.

Théorème XII. Deux angles sont égaux quand ils ont ta même valeur.

C’est, en effet, le seul cas où ils se superposent.

Étant donc pris un angle , on le promène à partir de la direction AO, en ayant soin qu’un même côté se place successivement dans la direction’ de l’autre. L’angle que l’on prend est de préférence une partie aliquote du plus grand écart de direction, qui est quatre angles droits , ainsi qu’il résulte de ce qui suit.

Définitions. Une droite est susceptible d’être parcourue en deux sens différents ; et la différence de ces deux

directions contraires est constante pour toutes les droites. La moitié de cette différence constitue la valeur

de l’ angle droit ; et les deux côtés d’un angle droit sont dits perpendiculaires l’un à l’autre ; dans toute autre position ils sont obliques, et l’angle est dit obtus ou aigu suivant qu’il est plus grand ou plus petit qu’un droit. Il va de soi que les angles droits sont tous égaux.

De là la proposition suivante :

Théorème XIII. Lorsqu’une droite en rencontre une autre, elle passe à l’autre côté de cette autre, et les angles opposés par le sommet sont égaux.

Soient les deux droites AB et CD ; la différence des directions EA et EB étant égale à la différence des directions EC et ED, l’angle AEC est égal à l’angle BED , et est situé de l'autre côté de la droite AB.

Théorème XIV. Quelle que soit la direction prise pour norme, la valeur de l’angle reste la même.

Cette proposition, évidente par elle-même, contient comme corollaire que l’angle extérieur d’un triangle est égal à la somme des deux intérieurs qui lui sont opposés.

Soit la droite BC prise pour norme; la direction a. de AC est mesurée par l’angle ACO;

/ \ la direction de AB par l’angle ABO;

/ \ la différence de ces deux directions ,

qui est l’angle BAC, est égale à la différence des directions ACO et ABO. On a encore: BAC-f ABC — ACO; et ajoutant l’angle ACB de part et d'autee, il vient :

BAC + ABC 4 ACB = ACO + ACB = 2 droits.

Ainsi se démontre sans difficulté ce théorème si difficile à démontrer par les principes ordinaires. Il est inutile de faire remarquer que par là est aussi validée la démonstration de cette proposition au moyen de la rotation des côtés d'un triangle autour des sommets, et de leur translation le long d’eux-mèmes. (Voir page 214.)

Passons maintenant à la démonstration des théorèmes sur la forme de l’angle, et de la proposition de Mill, que l’écart des deux côtés d’un angle va en s’agrandissant de plus en plus.

Théorème XV. Les angles semblables (1) sont égaux.

En effet, par la majoration on ne change pas la direction des droites; la valeur de l’angle reste donc la même; et, comme des angles qui ont même valeur sont égaux , les angles majorés , qui sont semblables à l’angle primitif, lui sont aussi égaux.

Cette proposition est importante , et elle laisse pressentir que, dans la théorie des ligures semblables, nous pouvons poser comme principe que celles-ci ont leurs angles homologues égaux. C’était déjà d’ailleurs un corollaire du théorème XI (2).

Tiiéorème XVI. Les côtés d'un angle vont en s'écartant de plus en plus , à mesure qu'on s’éloigne du sommet , cet écartement étant mesuré par la longueur des portions de droites interceptées et ayant même direction.

( 1 ) On ne doit pas oublier que les figures semblables s’obtiennent par la majoration de l’une d’entre elles.

(2) On comprend maintenant pourquoi nous n’avons pas voulu nous servir de l’expression usitée grandeur d'un angle. C’est que , dans l’angle , la grandeur n'est pas opposée à la forme ; mais l’une c’est l’autre ; les angles d’une forme donnée ne sont pas, les uns plus grands, les autres plus petits; ils sont égaux. Nous n’avons pas à parler non plus d’angles équivalents ; les angles équivalents sont égaux. La grandeur ne peut jamais appartenir qu’à des quantums limités ; aussi , on ne parle jamais de la grandeur des paraboles, des hyperboles, etc. Avant d’évaluer la surface de ces courbes, on les limite dans tous les sens d’après certaines conventions. D’ailleurs, rien n’empêche de se servir des expressions de grand et de petit angle , maintenant qu’on a eu soin de montrer que ce n’est pas là une grandeur de même nature que celle des figures fermées.

Soit un angle BAC, et par le point U lirons une droite DG de direction arbitraire. Majorons la figure c -/ en payant du point D .5 comme centre de majoration : le point A glisse sur s' \ la droite AB et vient, sup-

A^—- — ^ posons-nous , en A', A’D étant le double, par exemple, de AD ; AC a reculé en A'C', en conservant la même direction. (Donc, pour le dire en passant , la droite AC, dans son mouvement, n’a jamais eu de point commun avec la position précédente; sans quoi elle aurait fait un angle, c’est-à-dire une différence de direction , avec celte même position.) Le point E s’est mû le long de la droite DG et est arrivé en F , de manière que DF soit le double de DE. Quant à l’angle C'A' B, il est resté le même (théorème XV). Si donc on le fait maintenant coïncider avec son égal CAB, le point D viendra tomber en D’, le point F en F'; les deux droites DE et D'F' ont la même direction , et l’une est la moitié de l’autre.

Si nous avons supposé que AD était doublé en AD, c’était pour aider l’imagination. Quelle que soit la proportion, on voit que l’on a toujours: AD': AD=D'F': DE; ce qui était à démontrer.

Définitions. Les droites qui ont même direction sont dites parallèles. Toute droite qui rencontre des parallèles se nomme sécante.

Théorème XVII. Deux parallèles font avec une même sécante des angles correspondants égaux.

Celte proposition est évidente , et elle sert de base à la solution du problème qui consiste à mener par un point une parallèle à une droite.

Dans le courant de la démonstration du théorème XVI.

nous avons fait remarquer que la droite AC, dans son mouvement , ne coupe jamais sa position précédente ; nous pouvons donc regarder comme démontrée la pro position suivante que nous avons signalée parmi les postulats :

Théorème XVIII. Quand une droite est parallèle à une autre, elle est tout entière du même côté de cette autre.

Théorème XIX. Deux parallèles ne peuvent se rencontrer si loin qu'on les suppose prolongées.

Car sans cela elles formeraient un angle.

Théorème XX. Deux droites qui n’ont pas même direction se rencontrent.

Cette proposition est le postulalum d’Euclide sous une forme un peu différente. Soient BA et C'K deux

droites de directions différentes. Par le point A quelconque de la droite AB tirons une droite AC, qui — ail la même direction que RC; et par un point F pris arbitrairement sur KC' et le point D pris arbitrairement sur AB, tirons une droite indéfinie DG. Si nous majorons la figure en partant du point D comme centre, le point A se mouvra le long de B A; la droite AC s’avancera d’un mouvement continu vers la droite KC', jusqu’à ce qu’elle se confonde avec elle; et à ce moment le point A est en A' sur la droite BA; la droite C'K prolongée vient donc tomber en A’. Quant à la droite AC , elle rencontre toujours KC'; car il suffit pour cela de majorer la figure dans le rapport de DE à DF.

Remarque. Les démonstrations des propositions XVI et XX sont un peu longues ; mais il est facile de voir

qu’elles sont immédiates, et que leur longueur provient de la nécessité où nous nous trouvons d’insister sur tous ces principes nouveaux auxquels on n’est pas habitué en géométrie. Nous pouvons, en effet , nous contenter de dire : Eu majorant la tigure de manière que À glisse le long de B A, on voit que AC finira par coïncider avec KC', sans cesser de couper le côté AB.

Corollaire 1 . Deux droites qui , situées dans le même plan, ne peuvent se rencontrer si loin qu’on les suppose prolongées , sont parallèles.

C’est une conséquence des deux propositions précédentes. (Voir, dans le livre précédent, la théorie des inverses et des réciproques.)

Corollaire 2. Lorsqu’une droite a de ses points des deux côtés d'une autre droite, elle coupe celle-ci.

Car si elle ne la coupe pas, elle ne la rencontre pas (théorème XIII) , et reste toute du même côté de cette droite (théorème XV11I), ce qui est contraire à l’hypothèse.

Théorème XXI. Deux parallèles sont équidistantes.

■ On sait combien il est facile de démontrer cette proposition. Mais nous allons en démontrer l’inverse qui sert de base à la théorie de M. Lamarle sur les parallèles, et qui lui a coûté des efforts si laborieux.

Théorème XXII. Toute ligne équidistante d’une droite est une droite , la distance étant marquée par la longueur fixe d’une portion de droite d’une direction constante.

En effet , soit CD une ligne équidistante de la droite AB , et soient mp ,nq, etc., des portions de

B parallèles servant à mesurer les distances. Majorons une ç portion mnpq de la figure dans le sens de A B , de

manière que mil s’étende sur AB , on voit que pq s’étend le long de CD ; la ligne CD est donc une ligne homogène, c’est-à-dire une droite.

Remarque. Le mode de démonstration est, comme on le voit, toujours le même; et, à la rigueur, il eût suffi de faire remarquer que la majoration d’une portion de la ligne équidistante engendre la ligne entière.

Théorème XXIII. D'un point pris sur une droite ou en dehors d’une droite, on ne peut mener à celle-ci qu’une oblique faisant avec elle un angle donné.

(L’angle est naturellement pris dans le même sens.)

Cela est évident : la direction B0 étant prise pour norme, les droites AB et AC qui ont x des directions différentes ne peuvent faire

„ 0 le même angle avec B 0.

Corollaire. D'un point on ne peut mener qu'une perpendiculaire à une droite.

De la convexité et de la concavité (1).

La définition ordinaire du terme convexe est celle qu’en donnent Legendre et M. Blanchet :

Un polygone convexe est un polygone situé entièrement d'un même côté de la direction de chacun de ses côtés. 1° Cette définition ne répond pas immédiatement à

( l ) Convexe se dit, par opposition à Concave, d’une surface bombée sphériquement (pourquoi surface ? pourquoi sphériquement ? ) ; Bomber, rendre convexe.

Concave so dit, par opposition à Convexe, d’une surface creusée sphériquement ;

Creuser , c’est faire un creux;

Creux, c’est une cavité;

Cavité, c'est un creux.

( tHclionnaii'e de ï Académie. )

l’idée qu’on se fait de la convexité. En ett'et, avant de l’admettre, on se figure une ligne convexe en général , et l’on vérifie expérimentalement sur elle la vérité de la proposition qui apparaît ainsi comme un théorème.

2° De là suit que la définition est aussi en quelque * sorte négative : elle permet, étant donné un polygone, de reconnaître s’il est convexe ou non ; mais il faut un raisonnement pour construire d’après elle un polygone convexe.

3° Elle définit un polygone et non une ligne fermée ou non fermée; de plus , elle entend la convexité d’une figure rectiligne, et non d’une ligne courbe, en général, dont la convexité ne peut se définir ensuite qu’au moyen de la tangente.

4° On est forcé de passer sous silence la notion de concavité, dont la place serait tout aussi bien ici. En effet, qui nous dit que la figure ABC est plutôt convexe que concave? Pourtant, d'après la définition, elle ne serait que convexe.

5° Elle est donc fausse, puisque cette ligne ABC est aussi bien concave que convexe.

C’est ainsi encore qu’en analyse la figure toute convexe A MB N se compose de deux parties , l’une concave AMB, l’autre convexe ANB par rapport à l’axe OX.

6° De là suit que Legendre et M. Blanchet ne peuvent donner la définition du point d'inflexion, définition fautive aussi en analyse où on le signale comme le point où une ligne change sa courbure, de concave devient convexe, ou inversement; d’où il résulterait, à la ri-

gueur, que les points A et B seraient des points d’inflexion.

La concavité et la convexité sont relatives au lieu de l’observateur : quand on regarde une sphère à l’intérieur, on la voit concave-, quand on la regarde à k l’extérieur, on la voit convexe. Pour un observateur placé entre les deux cercles A et B, le cercle A paraîtrait concave et le cercle B convexe. Ainsi l’on peut dire, en général, que,

La négative d'une figure est toujours d’une courbure différente.

Le changement de direction peut avoir lieu dans deux sens ; c’est une conséquence de ce qu’une même droite sert pour deux directions opposées, différant de 180°. 11 y a le sens de droite à gauche et celui de gauche à droite.

Béfixitions. Une ligne est dite concave ou convexe quand le changement de direction de ses éléments a toujours lieu dans le même sens ; l’un des sens étant pris pour marque de la convexité, l'autre l’est pour marque de la concavité. Le point d’inflexion est celui où la ligne de concave devient convexe, ou inversement.

Ainsi la ligne polygonale a b c d M e N f g h change toujours sa direction dans le même sens de a jusqu’en M , c’est-à-dire qu’une personne qui marcherait le long de cette ligne tournerait depuis a jusqu’en M , toujours delà droite vers la gauche; en M, point d’inflexion, le changement de direction ayant lieu désormais de la gauche vers la droite. Si l’on a appelé convexe la première partie de la ligne , celle-ci passe

en M de la convexité à la concavité ; en N est un nouveau point d’inflexion , la ligne repasse de la concavité à la convexité. Nous avons vu plus haut que la somme des changements de direction par rapport à la droite ah prise pour norme est nulle, ce qui est conforme au langage ordinaire, qui dit qu’une ligne telle que ab...gh va dans la direction ah.

Abusivement, on n’emploie que le terme de convexe pour désigner la courbure d’une ligne fermée qui change constamment de direction dans le même sens. De. là les propositions suivantes :

Théorème I. Si sur le périmètre d'une ligne fermée convexe on prend deux points et qu’on les joigne par une ligne droite , cette portion de droite est tout entière située à l’intérieur de la figure positive (et à l’extérieur de la figure négative, pour laquelle d’ailleurs le périmètre serait concave ).

Cette proposition facile à démontrer, définit complètement la convexité des figures fermées; il en est de même de la suivante qui n’est autre que la définition de Legendre : /

Théorème H. Toute figure fermée convexe est tout entière située du même côté de la droite qui passe par l’un des éléments de son périmètre.

Nous nous abstenons de parler de la convexité et de la concavité des surfaces , notions qui sont soumises à des règles un peu différentes , mais faciles à établir ( I ).

( t ) Pour ôtre complet, donnons encore la définition , si utile en analyse, de la convexité et de la concavité relatives.

Une courbe est dite tourner sa concavité ou sa convexité vers une droite Ox, suivant que la direction de ses éléments se rapproct », ou s’éloigne d’une autre direction fixe Oy, inclinée sur Ux.

La convexité et la concavité peuvent aussi ôtre relatives à un point:

De la Symétrie (1).

Définition. Deux figures sont dites symétriques, quand elles sont composées des mêmes éléments , et que ceux-ci sont disposés en sens inverse chez l’une et chez l'autre.

Soit m n un élément d’une figure ; l’élément suivant mq , déterminé par sa longueur et sa direction (son angle) par rapport à mn, peut se placer suivant mq ou suivant mq' , d’après le sens de cette direction : mq est dit symétrique de mq'-, et les deux figures nmq et nmq ' sont dites symétriques. — Il est facile d’étendre ce qui précède aux surfaces , en remplaçant les éléments linéaires par des éléments de surface.

Voici la définition ordinaire de la symétrie :

Deux figures -planes sont symétriques lorsque tous leurs points sont à égale distance dune droite fixe prise pour axe de symétrie.

Deux solides sont symétriques par rapport à un plan, lorsque chaque point de l’un a son symétrique dans l’autre. Deux points sont dits symétriques par rapport à un plan, quand celui-ci est perpendiculaire au milieu de la ligne qui les joint.

la courbe est convexe, quand la direction de ses éléments se rapproche continuellement de celle des rayons vecteurs ( rayons visuels ) passant par le pôle P; concave, quand cette direction s’en éloigne.

(1 ) Symétrie, proportion et rapport de grandeur et de ligure que les parties d’un corps naturel ou artiilciel ont entre elles et avec le tout. ( Vict. de l'Académie.

Nous avouons ne pas connaître de corps naturel ou artificiel qui ne soit pas symétrique en ce sens.

1° C'est une définition par une propriété, c’est-àdire peu intuitive : on a l’idée de la symétrie avant celle de sa propriété. Tout le monde sait que les deux mains sont symétriques , et cependant on en reconnaîtrait difficilement la symétrie par cette définition, qui tout au plus pourrait s'appliquer aux deux moitiés du corps.

2° Cette définition confond la disposition symétrique avec la symétrie elle-même : deux mains sont symétriques quand bien même leurs points ne seraient pas à égale distance d’un plan fixe pris pour axe de symétrie. De sorte que la définition n’est inversible que par l'addition d’un peut.

Notre définition permet, en outre, de démontrer facilement ces deux propositions , qui sont du domaine vulgaire :

Théorème I. Deux figures planes symétriques sont superposables par rabattement;

Théorème II. Deux surfaces symétriques le sont par retournement.

Retourner une figure , c’est faire de sa face interne sa face externe , et inversement.

Dans la géométrie élémentaire , on se sert toujours de la première proposition sans l’avoir démontrée ni même énoncée. Dans la géométrie des solides, on ne parle pas de la seconde, laissant ainsi sans explication comment il se fait que le gant de la main droite peut, après retournement , s’appliquer sur la main gauche.

Le rabattement peut se remplacer de même par le retournement. Si je retourne la figure BAC comme un gant, c’est-à-dire en tirant le sommet A et l’amenant en A! , j’obtiens la symétrique de BAC.

La démonstration de ces deux théorèmes repose sur les propositions suivantes, qui ne sont que des corollaires de la définition de la symétrie :

Lemme 1 . La symétrique de la symétrique d'une figure reproduit cette figure.

Lemme II. Dans toute figure les deux faces sont symétriques.

Ainsi , pour nous servir d’une image , si l’on trace sur une vitre une figure, suivant qu’on regarde celleci d’un côté ou de l’autre de la vitre , ses parties prennent pour l’œil une disposition inverse.

Le rabattement des figures planes est justifié par la même considération. La symétrique de la figure BAC est tout aussi bien sa face de dessous que la figure BA'C. Cette face de dessous est donc égale à la figure BAC ; car deux symétriques d’une même figure sont égales. C’est là l’essence du rabattement : quand je fais tourner la figure BAC autour de B C comme charnière, de manière à ce qu’elle vienne tomber sur la figure BA'C, la face supérieure de B A' C coïncide avec la face inférieure de BAC, et sa face inférieure coïncide avec la face supérieure de celle-ci.

Il est inutile, pensons-nous, de chercher à justifier la définition ordinaire de la symétrie; il résulte immédiatement de la nôtre, que deux figures placées symétriquement sont symétriques.

De plus, grâce à notre définition , il n’est plus besoin d’un si grand nombre de propositions (Blanchet, livre VI; XX à XXV), pour établir cette autre , pour ainsi dire, évidente par elle-même : que deux figures symétriques sont équivalentes. Toute démonstration qui démontre une chose évidente par des raisonnements laborieux , trahit un vice dans les principes , et doit,

autant que possible, être remplacée. C’est ici le cas. Notre définition de deux figures symétriques, indiquant qu’elles ne diffèrent que par la disposition des parties, il s’en suit immédiatement que des figures symétriques sont équivalentes, et même égales , car elles ont même grandeur et même forme. Il est vrai que l’une est à gauche ce que l’autre est à droite ; mais ce n’est qu’une relation tout extérieure, une relation à l’observateur, que cet observateur soit personnifié à l’intérieur ou à l’extérieur de la figure, ou qu’il soit la figure elle-même , ou l’une de ses parties personnifiées ( t ).