DES FIGURES SEMBLABLES

Nous avons vu que la définition de la figure doit être génétique, et ne contenir ni trop , ni trop peu d’éléments de description. Mais ce que nous eu avons dit a trait ^seulement à la figure genre, et non à la figure individu. Nous nous expliquons. La définition du triangle , par exemple, dit que c’est une figure fermée à trois côtés rectilignes. Cette définition comprend tous les triangles possibles. Il s’agit maintenant de savoir comment je puis décrire, définir un triangle particulier, ce triangle-cf à l’exclusion de ce triangle-/à. Il ne faudrait pas répondre que le triangle est déterminé comme individu, quand, au lieu de laisser les côtés quelconques, on en donne la longueur. C’est vrai pour le triangle, mais ce ne serait plus vrai pour un quadrilatère ou un

11 11 est remarquable que les polygones réguliers pairs jouissent, au point de vue de la symétrie, de propriétés différentes des polygones réguliers impairs: les premiers pouvant se diviser en deux parties égales , les seconds ne le pouvant qu'en parties symétriques.

polygone en général, en un mot, pour toute figure fermée de plus de trois côtés rectilignes. 11 ne suffit donc pas de déterminer, d’individualiser les éléments contenus dans la définition du genre, pour déterminer l’individu. Or, comme le géomètre étudie le genre dans l’individu , il faut qu’il sache distinguer ce qui appartient au genre de ce qui appartient à l'individu. La question à résoudre est donc la suivante :

Supposé connue la description du genre, comment décrire l'individu ?

La restriction, supposé connue la description du genre, est nécessaire, et l’on doit y faire attention.

Or, la description doit être telle que par son moyen on puisse obtenir l’individu et n’obtenir que lui seul. En d’autres termes , il faut que tous les individus que l’on pourrait décrire sur la même définition individuelle, soient égaux entre eux.

Les conditions d'égalité de la figure sont donc les éléments individuels de la description.

Donnons des exemples :

1 ) Deux triangles sont égaux, quand ils ont les trois côtés égaux chacun à chacun. — Donc la longueur des trois côtés détermine l’individualité du triangle.

2) Deux triangles sont égaux, lorsqu’ils ont un angle égal compris entre côtés égaux chacun à chacun. — Donc un angle et la longueur des côtés adjacents déterminent un triangle.

3) Deux triangles sont égaux quand ils ont un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun. — Donc un côté et les angles adjacents déterminent un triangle.

4) Deux cercles sont égaux, si leurs rayons sont égaux. — Donc le rayon détermine le cercle.

5) Deux ellipses sont égales, si leurs axes sont égaux chacun à chacun ;

6) Si deux diamètres conjugués, égaux chacun à chacun, comprennent le même angle;

7) Si la distance focale et la somme des rayons vecteurs sont égales chacune à chacune.

8) Deux ellipsoïdes sont égaux, si leurs axes sont égaux chacun à chacun.

Donc les axes, deux diamètres conjugués et leur angle , l’excentricité et le grand axe , déterminent une ellipse; les trois axes déterminent un ellipsoïde.

En résumé, les éléments individuels d’une figure forment en elle une figure particulière, qui est , si nous pouvons employer cette expression , le squelette sur lequel viennent s’appliquer les chairs d'après la loi qui préside au genre (t ).

Pour le triangle, cette loi est: 1) que les côtés se touchent deux à deux; 2) que la figure soit fermée par le troisième côté; 3) que les deux autres côtés se placent dans la direction des côtés des angles.

Pour le cercle 4) que l’une des extrémités du rayon mobile passe toujours par le centre.

Pour l’ellipse , la loi est représentée par l’équation 5) a , y , -^-b i x i == a* b*; 6) a'*tf -f -b'*x* — a!* b’ 1 ; 7) parla condition que la somme des rayons vecteurs partant des foyers, soit constante.

Pour l’ellipsoïde 8) par l’équation :

( 1 ) On doit bien faire attention que le squelette ne contienne pas plus qu’il n’est nécessaire. Ainsi , dans la génération des sections coniques au moyen de deux cercles fixes , sur lesquels roule un troisième cercle variable de rayon, il ne faut pas regarder le s quelette comme composé des rayons et de la distance des centres ,

Cela établi , voici deux théorèmes généraux de la plus grande importance.

Définition. Nous entendons par figures de même espèce, les figures semblables dans le même genre.

Théorème I. Les figures de même espèce ont leurs squelettes semblables ( de même espèce).

C’est un corollaire qui découle du théorème fondamental sur la forme, et de la génération des figures de même espèce. Pour engendrer celles-ci, en effet, il suffît de majorer ou de minorer un individu quelconque; or cette majoration portant proportionnellement sur toutes les parties, le squelette est majoré aussi dans le même rapport.

Théorème II. tes figures de même genre qui ont leurs squelettes de même espèce , sont semblables (de même espèce). •

En effet, en majorant convenablement ces ligures, on rend leurs squelettes égaux, ce qui les fait devenir elles-mêmes égales. Or, les figures qui deviennent égales par majoration sont des figures semblables. De là, comme corollaires, les deux théorèmes suivants : Théorème III. Les figures dissemblables ont leurs squelettes dissemblables.

Théorème IV. Les figures qui ont leurs squelettes dissemblables sont dissemblables Mais à l’occasion de ce dernier théorème, nous devons rappeler ce que nous avons dit du paradoxe

mais comme formé de la somme ou de la différence de ces rayons, pour l’ellipse et l’hyperbole; du rayon augmenté de la moitié de l’excès de la distance du centre à la droite fixe sur le rayon, pour la parabole. — Voir d'ailleurs ce que nous allons dire du paradoxe géométrique.

géométrique à propos du cercle circonscrit à un triangle, ou du cercle en tant que déterminé par trois points. Bien que la figure déterminée par ces trois points soit toujours semblable , quelle que soit 1$

position de ceux-ci, les deux figures ci-jointes ne le sont pas, en tant qu’on laisse sur la circonférence les points qui l’ont déterminée.

C’est que le squelette fait corps avec la figure ellemême. Ainsi encore les deux figures ci-jointes formées par les traits forts et correspondant aux cas 2 et 3 , ne sont pas semblables (pas plus qu’égales) , quoiqu’elles puissent appartenir à des figures semblables (ou égales); mais, en tant qu’on considère le squelette comme faisant partie de la figure, on ne pourrait pas dire que ces deux figures sont égales.

L’exemple suivant, pris dans une partie plus élevée de la science, est parfaitement concluant.

Deux hyperboloïdes semblables ont leurs axes semblables ; et ils ont aussi leurs directrices semblables.

Deux hyperboloïdes sont semblables , s’ils ont leurs trois axes semblables, et encore s’ils ont trois de leurs directrices semblablement placées.

Deux hyperboloïdes sont dissemblables si leurs trois axes sont dissemblables.

Et pourtant on ne peut pas dire :

Deux hyperboloïdes sont dissemblables si leurs trois directrices sont dissemblables.

Mais, si au lieu de considérer l’hyperboloïde pur et simple, on le considère en tant que renfermant en lui

les axes et les directrices , ces deux dernières propositions sont vraies au même titre. Seulement la première est toujours vraie , parce que les axes forment une figure déterminée dans l’hyperboloïde, tandis qu’il n’en est pas de même des directrices qui sont prises arbitrairement sur la surface , comme les trois points sur la circonférence du cercle.

Le quatrième théorème donne toujours lieu à un paradoxe ; mais comme ce théorème est de sa nature tout négatif et que son emploi est par là même peu fréquent, pour ne pas dire nul, on ne doit pas s’y arrêter. Toutefois, c’est ce même paradoxe qui explique la nature toute particulière de la similitude en géométrie analytique , où les axes forment une figure qu’on ne peut abstraire de la figure totale qu’au moyen du changement de certaines quantités dans l’équation de la figure. Deux courbes, en effet, ne sont pas égales quand leurs équations sont identiques , car il faut en outre qu’on prenne le même système d’axes. Ce point étant facile à développer , nous ne nous en occuperons pas davantage.

Théorème V. Le squelette peut toujours se ramener à des lignes droites faisant entre elles de certains angles.

Corollaire \ . Comme les angles semblables sont égaux, et que les lignes de deux figures semblables sont proportionnelles, les conditions de similitude seront ramenées à l'égalité des angles et à la proportionnalité des côtés de ces angles.

Le théorème est évident à priori. Si l’on considère une courbe quelconque , elle est donnée par son squelette et sa loi de génération ; le squelette est nécessairement plus simple que la courbe; comme la similitude de deux courbes de ce genre a été ramenée à celle de

leurs squelettes , on a supprimé , dans l’élude de cette similitude, une loi de génération. Maintenant, le squelette peut être lui-même une courbe; mais celle-ci, se ramenant à son squelette, et la loi de sa génération étant mise de côté , le squelette de la figure primitive va se simplifiant de plus en plus ; et comme, en définitive, une courbe, si compliquée qu’elle soit, est donnée par un nombre fini de lois de génération, on ramène son squelette à une figure composée de longueurs en ligne droite , et des dispositions de celles-ci , c’est-àdire des angles que ces droites font entre elles.

Considérons la courbe pointillée ci-contre, dont voici la loi de génération :

On décrit un cercle de rayon C R ; on prend un point A dans le plan de ce cercle , puis l'on fait mouvoir une droite AM, qui coupe le cercle en différents points R , R', R", R'", etc. , et l’on prend toujours les droites RM, R'M', R"M''; R"' M"' égales

à une longueur donnée.

Deux de ces courbes seront égales évidemment quand le cercle et les quantités AC et RM seront les mêmes. Mais le cercle lui-même est donné par son rayon ; le squelette se réduit donc à ces trois longueurs ; et nous pourrons poser comme conditions de similitude la proportionnalité de ces trois longueurs. Quant à la disposition , elle est donnée en ce que le centre C doit se trouver à l’extrémité de AC, et que la longueur RM doit être prise sur le prolongement du rayon; mais cette disposition même est déjà une loi ; et nous pouvons dire

que l’angle lui-même esl une loi de disposition.de génération, d’où, en analyse, l’emploi des termes d 'angle de contingence, angle de torsion , qui indiquent la disposition des éléments d’une courbe.

De là :

Corollaire 2. Toute figure dont le squelette se compose d’une seule longueur ( i ) appartient à un genre espèce , c'est-à-dire que toutes les figures de ce genre sont semblables.

Ainsi se trouvent démontrées les propositions suivantes, indémontrables par la méthode synthétique à moins qu’on n’emploie les infiniment petits ou les limites :

Deux cercles sont toujours semblables, car le squelette du cercle se réduit à son rayon.

Deux sphères sont toujours semblables.

Deux paraboles sont toujours semblables, car une parabole est déterminée par la distance de son foyer à la directrice.

Deux cycloides sont toujours semblables , car la cycloïde est déterminée par son cercle générateur, et celui-ci l’est par son rayon.

( 1 ) Nous avions d'abord voulu employer l’expression de paramètre, mais nous nous serions exposés à des confusions en géométrie analytique. En effet, toute courbe de la forme : Fia, y, a t = o n’est pas nécessairement une courbe d’un genre espèce, parce que cette équation comprend, entre autres, celles de la forme : F [x ,y, fa)--o. Le cas suivant est très-simple : l’équation \ a' y" -\- a x' — a = o qui ne dépend que du seul paramètre a, peut cependant représenter une ellipse ou une hyperbole , suivant que a est positif ou négatif. C’est que a 1 est lui-même fonction de a et comprend un nouveau paramètre , à savoir : 2.

Quel que soit d’ailleurs le nom qu’on donne aux parties du squelette d’une figure, notre théorie ne peut donner lieu à aucune confusion.

Tous les polygones réguliers du môme nombre de côtés sont semblables car ils sont déterminés par la longueur seule de ce côté.

Il est inutile de multiplier ces exemples.

Si nous passons aux cas plus compliqués , nous pouvons dire à priori :

1 ) Deux triangles sont semblables , quand ils ont les trois côtés proportionnels ;

2) Quand ils ont un angle égal compris euLro côtés proportionnels ;

3) Quand ils ont deux angles égaux.

5) Deux ellipses sont semblables, quand elles ont leurs axes proportionnels ;

6) Quand deux diamètres coujugués comprenant le même angle sont proportionnels ;

7) Quand l'excentricité et le grand axe sont proportionnels.

8) Deux ellipsoïdes sont semblables quand leurs axes sont proportionnels.

Telle est notre théorie de la similitude à priori. Elle ramène toutes les questions sur la similitude à celle de l’égalité de deux figures; et l’on peut à priori aussi donner immédiatement les conditions de similitude de deux figures , quand on eu donne la génération. Par là aussi on pourrait démontrer tous les théorèmes qui ont été l'objet de postulats , telles sont les propositions sur les angles des triangles et les parallèles.

En effet, de 3) il suit que les trois angles des triangles semblables sont égaux; que la somme des angles des triangles semblables est constante; et que deux angles étant donnés , le troisième est déterminé. Or, cela étant, il est facile de démontrer qu’un triangle

quelconque a ses angles égaux à deux droits. Soit DBC ce triangle quelconque; tirons CA de manière que l’angle BC A soit égal à l'angle A DC; les deux triangles ACD et ABC auront deux angles égaux chacun à chacun ; donc l’angle ACD sera égal à l’angle B. Or, les angles du triangle DBC sont égaux à ceux du triangle ABC, augmentés des angles en D qui font deux droits, et diminués de ceux du triangle ACD, égaux à ceux du triangle ABC; il reste donc exactement deux droits pour les angles du triangle DBC; ce qu’il fallait démontrer.

Par les théorèmes qui précèdent , toute la théorie de3 ligures semblables, qui occupe une place si considérable dans les éléments de géométrie, se trouve ramenée au simple énoncé des propositions , et encore on peut se contenter de citer les énoncés au moment même où l'dn en a besoin. Tels sont les deux suivants :

Une parallèle menée à la base d’un triangle divise les deux autres côtés en parties proportionnelles.

Toute droite qui divise deux côtés d’un triangle en parties proportionnelles, est parallèle au troisième, etc.

g 3. — DE LA MESURE DU CERCLE.

Nous avons vu que la ligne droite jouit d’une propriété commune au cercle, de la propriété de pouvoir glisser sur elle-même, ou d’être composée de parties égales. Ces deux ligures appartiennent donc à un genre de ligures plus général , ou elles rentrent l’une dans l’autre. Dans le paragraphe sur le postulalum d’Euolide (page 203), nous avons déjà fait remarquer que, quand une ligure varie d’une manière continue , il arrive sou-

vent qu’une de ses propriétés saillantes se présente en sens iuverse et que la position intermédiaire unique conduit à un cas de parallélisme ou de perpendicularité, selon qu’on passe par l’infini ou parzéro. Chacune deces positions est la position limite , et cette limite jouit des propriétés de la figure variable, et, en outre, d’autres propriétés qui lui sont propres en vertu de son caractère de limite. Si donc l’on considère une suite de circonférences dont les centres sont situés tous sur une même droite , et passent tous par un même point A de cette droite, on voit que la courbure diminue à mesure que le rayon augmente; puis, tout d’un eoup, la courbure se trouve avoir lieu en sens contraire, et les centres apparaissent à l’autre côté du point A et s’avancent vers lui. La position intermédiaire, celle où la courbure n’est ni dans un sens ni dans l’autre, est une droite passant par A et perpendiculaire à la ligne des centres.

Nous pouvons donc considérer la droite comme la limite des circonférences dont le rayon va toujours en croissant, et cette qualité de la droite d’être la limite des circonférences, est accusée par la propriété commune qu’elle a avec la circonférence, propriété caractéristique et définissant la circonférence même.

Cette observation nous met en mesure de résoudre une difficulté célèbre. Peut-on considérer la circonférence comme un polygone régulier d’un nombre infini de côtés? Quand on admet celte définition, les théorèmes sur la mesure de la circonférence et celle du cercle sont d’une simplicité extrême, avantage incontestable. Si, au contraire, on a recours à la théorie des limites, et que l’on considère la circonférence entre deux polygones réguliers , l’un inscrit , l’autre circons-

crit , qui tendent de plus en plus à 8e confondre , ou dont la différence décroît en raison de la multiplication des côtés, on obtient, à la vérité, une grande rigueur dans le raisonnement, et surtout une certaine uniformité dans la méthode ; mais combien ces avantages sont compensés par la longueur et l’enchaînement laborieux des propositions !

D’un autre côté , on est toujours ramené à la théorie des limites quand on veut justifier la première définition de la circonférence. Qu’est-ce qu’un polygone régulier? C’est, d’après la définition la plus exacte, un polygone dont tous les côtés, ainsi que les angles, sont égaux. — Pourquoi dès lors une ellipse ne peut-elle pas être considérée comme un polygone régulier? Car les côtés, étant infiniment petits, sont tous égaux ; et l’angle de deux tangentes consécutives , étant égal à deux droits, moins un angle infiniment petit, les angles sont aussi égaux. Pour obvier à cette dilliculté, on se voit obligé de montrer que la circonférence peut toujours être circonscrite à un polygone régulier, et que ce polygone sc rapproche de plus eu plus de la circonférence à mesure que le nombre des côtés croît ; ce qui est au fond la théorie des limites, moins la franchise. N’y a-t-il à choisir qu’entre la rigueur et la longueur d’une part, la brièveté et le saltus de l’autre? Heureusement non. On peut combler ce saltus. Et c’est la théorie sur l’inversibilité des théorèmes et des définitions qui en fournit le moyen.

Définition. Un polygone régulier est celui dont tous les côtés sont égaux, et tous les angles égaux.

Théorème. Un polygone régulier peut tourner sur lui-même . sans changer de position , c'est-à-dire , que chaque côté peut prendre successivement la place de

celui qui le suit , sans qu'il y ait aucun changement dans la figure.

Inverse. Tout polygone qui jouit de la propriété de tourner sur lui-même, est un polygone régulier.

Corollaire. Le cercle jouit de cette propriété; il peut donc être assimilé aux polygones réguliers.

Veut-on une proposition sur le nombre des côtés?

Théorème. Le nombre de positions differentes que peut prendre le polygone régulier, sans qu’il change de lieu, est égal au nombre de scs côtés.

L 'inverse est également vraie. Le nombre des côtés d’un polygone est égal au nombre de positions différentes qu’il peut prendre sans changer de lieu.

Et comme le cercle se meut d’une manière continue sans changer de lieu, le nombre de ses côtés est infiniment grand.

g 4. — CONSIDERATIONS THÉORIQUES SUR LES UNITÉS ET LES NORMES.

De» coordonnée».

Quand un quantum — comme la grandeur — peut varier d’une façon continue et illimitée , il est nécessaire de prendre celle chose à un moment donné, de supposer qu’à ce moment sa détermination est absolue , et d’y rapporter toutes ses autres déterminations. Celte détermination fixe est un point de repère, un centre, à partir duquel on compte la distance des dillérentes baltes. Nous nommons donc unité ou norme (suivant le cas) toute détermination regardée comme fixe et absolue , au moyen de laquelle on apprécie le différent, le variable.

— iitil) -

C’est du soin que l'un mettra à User l'imité ou la norme des diverses déterminations de la géométrie, que dépendra la résolution de plusieurs difficultés qu’on y rencontre. Nous en avons vu un exemple remarquable à l’occasion de la direction, où, par l’emploi d’une norme, jusqu'ici non encore dégagée, nous avons été mis à même de résoudre immédiatement beaucoup de problèmes restés sans démonstration.

Nous allons procéder systématiquement à la recherche de ces unités ou de ces normes.

Les problèmes de la géométrie se ramènent, en général, à celui de placer un point A dans un lieu de l’espace, d’après certaines conditions.

Pour cela, prenons un premier point arbitraire et supposé fixe, que nous nommons origine, et auquel nous allons rapporter tous les autres. L’origine est la première norme.

Supposons que par l'origine et le lieu où doit être placé le point A, passe une droite — nous verrons tantôt le moyen de déterminer cette droite. — Le point A sera connu si nous connaissons sa distance de l’origine (et le sens dans lequel on compte cette distance). La distance est une quantité variable, qui peut devenir plus grande et plus petite. Pour la mesurer, nous avons besoin d’une distance fixe regardée comme absolue ; c'est V unité de distance.

Les distances peuvent se compter en deux sens , la distance de A vers B étant la même que celle de B vers A. C’est, du reste, une conséquence de la symétrie de la droite; la droite B A étant égale (par superposition) à la droite AB.

Il s’agit maintenant de déterminer la position de cette droite. Or , celle position ne peut s’apprécier

— 2dt —

qu’au moyeu de celle d'une droite arbitraire regardée comme fixe, que, pour plus de simplicité, on fait passer par l’origine , et qui est la seconde norme. Si, par cette droite fixe et le point A, on fait passer un plan , la position de la droite mobile , qui partant de la droite fixe, tourne autour de l’origine pour s’arrêter au point A, s’appréciera au moyen de la valeur de Y angle plan qu’elle fait avec la droite fixe. Cet angle étant susceptible de devenir plus ou moins grand , on a besoin d’une nouvelle unité , Y unité d'angle. En outre , on doit savoir dans quel sens il faut compter l’angle ; car tout angle peut se compter en deux sens ; l’angle est symétrique, c’est-à-dire que l’angle Iî AG est égal à l’angle CAB.

Comment le plan sera-t-il à son tour déterminé de position dans l’espace ? Au moyen d’un plan arbitraire supposé fixe, que, pour plus de simplicité, on fait passer par la droite fixe : c’est la troisième norme. L’inclinaison du plan variable sur ce plan fixe , ou Yangle dièdre de ces deux plans, déterminera à chaque instant la position du premier. L’angle dièdre aura aussi son unité , l’unité d'angle dièdre. Enfin les angles dièdres sont susceptibles de se compter en deux sens ; ils sont symétriques; l’angle dièdrepABr/ est égal à l’angle dièdre qBAp (1).

Telles sont les déterminations élémentaires de l’espace: les normes, point fixe, droite fixe, plan fixe, d’un côté ; les unités de distance , d’angle plan , d’angle

1 ) il était peut-être tout aussi avantageux de commencer par supposer un plan fixe dans l’espace, une droite fixe dans ce plan, et un point fixe sur cette droite , puis de procéder à la recherche des coordonnées du point A. La marche analytique nous a cependant paru préférable.

dièdre, de l'autre. Les premières ne sont pas susceptibles d’augmentation ni de diminution , elles sont seulement susceptibles de changement ; on change le point lixe, la droite fixe, le plan fixe ; c'est-à-dire qu’on en prend d’autres, mais qui, au fond, n’en diffèrent pas. L’unité de longueur , celle d’angle plan , celle d’angle dièdre , au contraire , peuvent être plus ou moins grandes.

En général , les déterminations fixes dans l'espace prennent le nom d’ares, quand ce sont des droites ; les quantités, variables de grandeur , au moyeu desquelles on détermine un point par rapport à ces normes ou axes, portent le nom de coordonnées. Les coordonnées que nous avons trouvées sout celles d’Euler. Il y a une infinité de systèmes de coordonnées, à ne parler même que de celles que l'on obtient en remplaçant les droites et les plans par des courbes et des surfaces courbes ( 1 ).

Des unitéi proprement dites.

Nous nous proposons de prouver que l’unité de longueur doit être nécessairement une droite , l’unité

1 1 On peut dire , en général , que tout système de coordonnées revient à celui d’Euler ( avec la modification de lignes courbes et de surfaces courbes au lieu de droites et de plans ). Ainsi, si nous considérons ce que l’on nomme les équations du point , dans le système ordinaire, x—a , y~b, z=c, quoi de plus naturel que de voir dans s—e l'équation d'un plan parallèle au plan des xy. et à une distance r de celui-ci ; dans y — b une droite située dans le plan z—c, parallèle à l’axe des x , et passant par la projection de l'origine sur ce même plan; enfin, dans x — n, la distance du point à partir de la projection de l’origine sur la droite y — ht En réalité donc les trois équations du point sont, l’une l’équation d’un plan, l’autre l’équation d’une droite, et la dernière cette fois est l’équation du point.

de surface, une surface plane , de même que l’unité de volume est un espace. Personne, que nous sachions, n’a tenté cette démonstration, et, l’eût-on fait, nous pensons qu’on n’aurait pas réussi , faute d’avoir dégagé les propriétés des quantités homogènes et isogènes.

L’unité est une grandeur arbitraire supposée connue, définie, absolue en un mot, à laquelle nous rapportons les autres grandeurs. Une grandeur quelconque n’est déterminée que par son rapport avec l’unité. Si l’on suppose cette unité connue, c’est par fiction et parce que l’on est forcé de s’arrêter dans le procès indéfini des grandeurs. Nous ne pouvons rien affirmer de la grandeur absolue des choses ; il n’y a pour nous que des grandeurs relatives. Mais le relatif ne peut subsister seul, nous le sentons; et par suite nous imaginons une grandeur absolue, nous absolu/ions une grandeur quelconque qui nous sert de point de départ vers l’infiniment grand et l’infiniment petit. C’est sur ce caractère de l’unité de grandeur que repose la vérité des deux propositions suivantes :

Théorème I. L'unité est nécessairement une portion d'un quantum isogène.

Car l’unité est arbitraire, et elle doit pouvoir mesurer le quantum ; celui-ci doit donc être ramené à un quanlum isogène , et l’unité à l’une de ses portions.

Et en effet, si parmi les quantums autres que la droite et le plan, il en est quelques-uns qui servent de mesure, ce n'est guère que la circonférence pour les angles, les angles pour eux-mêmes, et la sphère pour les angles trièdres.

Théorème II. L'unité générale , qui peut servir dans tous les cas donnés , appartient nécessairement à un quantum homogène.

Car l’unité isogène ne peut servir que pour le quantum auquel elle appartient et non pour les autres quantums isogènes , fussent-ils de même nature.

Ainsi un arc de circonférence ne peut servir à mesurer les arcs d’une autre circonférence.

Le quantum homogène, quel qu’il soit, est mesurable par sa portion , et tous les quantums homogènes sont identiques.

L’unité de longueur est donc une portion de droite ; l’unité de surface , une portion de plan ; l’unité de volume, une portion d’espace. Et en passant, remarquons que cette dernière unité prise d’un quantum homogène, n’aurait pu être prise ailleurs. On peut doue dire que mesurer une ligne courbe , c’est la rectifier; mesurer une surface courbe, c’est la planifier.

Nous sommes au bout de notre tâche. Nous avons résolu , croyons-nous , d’une manière satisfaisante , les questions que nous nous sommes proposées. Ce qui suit n’est en quelque sorte qu’une table des matières d’une géométrie , où l'on mettrait en pratique les principes que nous avons développés dans cet ouvrage.