DES SCIENCES ET DES CARACTÈRES DE LEUR OBJET

Qu’est-ce que la science? quel est son but? comment le réalise-t-elle? Ce sont là toutes questions préliminaires qu’il faut résoudre, avant de songer à établir les principes d’une science quelconque. La nature de cc travail ne nous permet pas d’y répondre en détail ; nous nous contenterons de poser quelques prémisses que leur évidence fera , pensons-nous , adopter.

La science idéale ou absolue est la reconnaissance de l’accord entre l’univers et l’intelligence ; la science humaine ou actuelle est la tendance vers la connaissance complète de cet accord; c’est un ensemble déplus en plus complet de vérités reconnues.

On voit par là , que nous ne croyons pas qu’il puisse exister des sciences complètes, incapables désormais de tout progrès. C’est même cette inaccessibilité du but, qui est la condition de notre activité incessante ici bas. C’est un fait reconnu de tout temps : l’homme veut savoir ; l’immensité de la tâche ne le rebute pas. Pourquoi veut-il savoir? Cette question est en dehors de notre objet. Mais que veut-il savoir? Nous le répétons : la science absolue.

Dans cette science, les faits sont groupés de telle sorte, que l’on voit immédiatement les lois auxquelles

ils sont soumis et la manière dont ils s’enchaînent. Celui qui a créé l’univers en voit l’ensemble de celte façon. Pour lui , le fait , sa place , son explication sont une seule et même chose. Si l’astronome connaissait le lieu précis de tous les corps célestes à un moment donné, leur masse exacte, et que ses moyens de calcul fussent plus intuitifs, il pourrait dire immédiatement quelle serait leur position au moment suivant; et c’cst vers ce résultat qu’ont jusqu’ici tendu tous les progrès de l’astronomie mathématique. Qu’on réussisse à l’atteindre, et cette science est constituée dans son idéalité. C’est là qu’arrivait en quelque sorte Cuvier, quand il reconstruisait le squelette entier, dont il ne possédait qu’un os ; c’est un but semblable qu’on poursuit, quand on cherche à trouver, dans la configuration et le climat d’un pays , la raison des modifications de sa flore et de sa faune, et des mœurs de ses habitants.

La méthode de la science consiste donc, en général, à définir les faits , à les grouper de manière que chacun apparaisse comme le produit de ceux qui le précèdent ; en d’autres termes , à les ranger dans l’ordre du simple au composé. Pour cela, il faut rechercher d’abord en quoi consiste la simplicité d'un fait , et comment un fait plus particulier se compose ou se complique.

La chimie inorganique offre un bel exemple de définition de corps simples et de corps composés, ainsi que d’une classification idéale. Elle commence par dresser la liste de ses éléments, puis elle les combine deux à deux : ce sont les composés du premier ordre; puis ceux-ci deux à deux , à leur tour : ce sont les composés du second ordre, cl ainsi de suite.

Deux objets étant supposés connus , si un troisième en découle par une loi connue, l’énoncé de cette loi

est la définition de ce troisième. Telle est la définition génétique , la seule absolument valable. Tous les faits ne peuvent donc se définir. Nous verrons plus loin quel est le caractère scientifique des faits non définissables qui sont en tète de nos sciences.

Une remarque sur le classement : il suit de ce qui précède que le classement idéal est déterminé , quoiqu’il puisse se faire que le classement actuel soit imparfait par suite de notre ignorance. Supposons que le cercle soit, par sa nature, une figure plus compliquée que le triangle ; dans la science idéale , l’étude du triangle doit précéder celle du cercle, quoique, dans la science actuelle dont les moyens de démonstration sont imparfaits, l'étude, soit complète, soit partielle du cercle puisse précéder celle du triangle.

Ce chapitre sera divisé en trois paragraphes :

1° De la science universelle.

2° De la science des corps inertes.

3° Déduction de l'objet de la Géométrie.

g 1. — DE LA SCIENCE UNIVERSELLE.

La science universelle se subdivise en sciences particulières suivant la nature diverse des faits qui en sont l’objet. Les lois de l’esprit humain étant immuables, les sciences se classent d’après leur objet.

Le mot objet revêt ici un sens tout particulier. L’objet de la science n’est pas l’objet tel qu’il est donné par l’intuition ou l’observation externe, mais tel qu’il est saisi par l’intelligence. Je tiens en main un minéral : cet objet, bien qu’unique, se subdivise en plusieurs objets scientifiques , si l’on peut ainsi s’exprimer. Le cristallographc , le géomètre en étudieront la forme ;

le chimiste, la composition et les réactions ; le physicien, les propriétés optiques; ce minéral peut être, en un mot t> l’objet d’une foule de sciences , qui se nomment cristallographie, minéralogie, physique, chimie, etc.

Résoudre le problème de la classification des sciences, ce serait donc faire l’énumération, suivant un principe rationnel , de toutes les manières possibles de considérer l’objet de la science en général.

Notre but n’est pas ici de tenter cette solution dans tous ses détails; ainsi que nous le dirons tantôt, nous doutons môme qu’elle soit possible, dans le sens où on l’entend communément; nous voulons seulement déduire l’objet de la géométrie,

La science humaine a un objet : l’élude de l’univers. De là , une première division de cette science , suivant que j’étudie l’univers en lui-même , ou les conditions de son intelligibilité; les choses d’un côté, l’intelligence de l’autre ; le monde ou la pensée, les êtres ou les idées, le non-moi ou le moi. L’intelligible et l’intelligent sont corrélatifs; ils existent l’un pour l’autre et l’un par l’autre; l’inintelligible n’existe pas , pas plus que l’intelligence pure (1). Ce sont deux mondes juxtaposés et opposés, dont la conscience cherche la synthèse. Ils sont opposés, disons-nous; en effet, dans le monde de la pensée, tout s’enchaîne, se coordonne; tandis que les faits sont

( 1 ) Dans l’ensemble de l’univers ou des objets de l’intelligence est comprise la pensée de l’homme. Nous ajoutons cette note pour corriger oe qui pourrait paraître trop exclusif dans cette division , et pour expliquer en même temps ce terme d 'intelligence pure. Nous entendons par là l'intelligence abstraction faite de tout contenu et de toute pensée , même de la pensée d’ elle-même.

divers , épars , sans lien apparent. De cette génération de la science résulte sa bifurcation postérieure , qui se propagera jusqu’à ses extrêmes embranchements. L’esprit humain , en face de la nature et des faits qu’il y voit , les généralise de plus en plus , c’est-à-dire les ramène à des lois plus ou moins générales , toujours concrètes et phénoménales , qui n’ont jamais, en tant qu’objectives, un caractère de généralité absolue, d’évidence, de nécessité ; ces lois, auxquelles il soumet les faits, ne sont, au fond, que d’autres faits moins nombreux et tout aussi incompréhensibles que les premiers. D’un autre côté , quand , parlant de ces faits généraux , et leur accordant un caractère idéal et subjectif, il leur applique ses propres lois, il construit un univers tout subjectif aussi , où les faits sont placés et classés de manière à s’expliquer d’eux-mêmes; et il y a science, les faits idéaux sont vrais, quand ils coïncident avec les faits réels; ce qui a lieu, quand les principes subjectifs de la science sont à la fois objectifs. Ces principes, dont nous trouverons tantôt le véritable caractère, sont ce que l’on nomme des hypothèses. L’hypothèse, quoique fournie par l’observation et terme de la science expérimentale, est donc, comme point de départ de la seience idéale , tout idéale , et elle tend , à mesure que les faits la confirment , à prendre elle-même la valeur d’un fait. Quand l’hypothèse est fausse , le système n’en subsiste pas moins comme enchaînement, mais nous devient inutile. Ainsi, je puis bâtir tout un système solaire en supposant que les planètes se meuvent en cercle , je puis même me poser le problème de le faire coïncider avec la réalité, et c’est ce qu’a résolu, jusqu’à un certain point, Ptolémée; mais j’appelle ce système faux, parce qu’il ne correspond pas à la réalité. Je puis, partant

d’une idée à nriori de la matière, (idée qui ne me viendra d’ailleurs que par mon contact avec la matière) construire un système chimique et physique; je puis me donner, par exemple, la liste des corps simples avec leurs affinités électriques, leurs équivalents vrais ou supposés, leurs lois de combinaisons, puis faisant de mon cerveau mon laboratoire, produire à l’infini des réactions et des corps composés, sauf à ne pas me rencontrer avec la nature; il m’est loisible, étant donnée la loi de Mariotte, que le volume des gaz est inversement proportionnel à la pression — loi que nous savons maintenant être fausse — de la regarder comme propre aux gaz, comme les définissant, et de fonder là-dessus une théorie de ceux-ci; je puis définir les corps matériels par la propriété de s’attirer en raison directe des distances, et fonder une mécanique spéciale de la matière; en un mot, je suis libre de me faire un univers à ma façon. Mais un besoin irrésistible me pousse à créer, à refaire l’univers réel, et à cette condition seule que j'y parvienne, je regarde ma création comme vraie. Chaque science aura donc une double marche : ou elle partira du fait pour arriver aux lois, elle sera d’observation ou expérimentale; ou bien elle partira d’hypothèses et de définitions, elle sera théorique; et ces parties se soutiennent l’une l’autre, et ne sont vraies que quand elles marchent parallèlement, toujours d'accord entre elles.

Laissons maintenant de côté les sciences qui s’occupent des manifestations de la pensée, et occuponsnous de la science des êtres sans rechercher la raison de leur intelligibilité. Le savant croit qu’il peut savoir, et laisse au philosophe le soin de répondre à ces questions : que sait-on? comment sait-on? Pour lui , la chose en soi est la chose telle qu’il la perçoit, ou plutôt,

il étudie les choses telles qu’il les perçoit, sans s’inquiéter de ce qu’elles peuvent être en soi. La chose en soi nous échappe; la chose perçue , le phénomène existe dans l,e temps et l’espace.

En tant que je regarde l’espace comme l’ensemble des êtres, le temps comme l’ensemble des événements ; en tant , en un mot , que je les considère comme réels , ils sont hétérogènes, c’est-à-dire composés de parties dissemblables. Un être quelconque ne reste pas le même quand d'ici on le transporte là; aujourd'hui il est différent de ce qu’il était hier et de ce qu’il sera demain. L’être actuel n’est ce qu’il est que par les êtres qui l'entourent , et par ceux qui le précèdent ; la place qu’il occupe n’est pas égale et semblable aux autres places qu’il pourrait occuper, elle en est une résultante; le moment actuel n’est pas égal et semblable à celui qui est venu avant lui, il en est le produit. C’est ce vaste ensemble dont l’intelligence doit chercher les lois; c’est cette infinie variété de faits qu’elle doit ramener à quelques faits généraux. Pour cela, elle a recours à une première abstraction ; elle suppose le temps et l’espace parfaitement homogènes , c’est-à-dire, comme nous l’expliquerons plus tard, indéfiniment et arbitrairement divisibles en parties qui ne diffèrent que par leur grandeur.

Avant de rechercher les conséquences de cette abstraction, faisons remarquer qu’elle ne diffère pas des autres abstractions scientifiques. Étudions-nous la trajectoire d’un corps pesant , nous le supposons se mouvant dans le vide et attiré par un point infiniment éloigné , supposition en désaccord avec les faits , mais qui , simplifiant nos calculs , nous permet de représenter ces faits avec une approximation suffisante.

— Kl —

Quand nous voulons nous approcher davantage de la réalité , nous exprimons la résistance de l’air dans une formule toute théorique qui n’est jamais exacte , et qui n’aurait même son emploi que dans le cas où l’air serait immobile, ce qui n’a jamais lieu. Recherchons-nous les lois de l’équilibre ou du mouvement des liquides, nous les supposons parfaitement fluides et incompressibles. Tantôt on fait abstraction des qualités diverses , du volume , de la forme des corps , pour ne considérer que leur pesanteur, on opère avec des corps indifférents à toute autre loi que celle de l’attraction ; tantôt , comme en cristallographie , on n’a égard qu’à leur forme , laissant de côté toute autre propriété ; ou bien encore on étudie, comme en géométrie, des lignes sans largeur ni épaisseur, des surfaces sans épaisseur, parce que l’on fait abstraction d’une ou de deux dimensions. Cette abstraction , cette homocjénéification idéale de l’espace et du temps a pour premier résultat de nous faire apparaître l’univers comme brut ou inerte ; désormais les lois que nous découvrirons seront celles de la matière divisible à l infini; car une partie, si petite qu’elle soit , d’un quantum homogène étant l’image fidèle du tout, si elle était moins divisible qu’une autre partie, différerait de celle-ci, non-seulement en quantité mais encore en qualité ; les atomes étendus et indivisibles sont d'une autre nature que les corps qu’ils composent , et c’est une contradiction (1 ).

( t ) Toutefois l'atomisme chimique ou physique , eu tant qu’il ne porte pas de jugement sur la grandeur de l’atome, peut être admis comme hypothèse satisfaisant l'imagination. — On peut lire sur ce point : La métaphysique et la science , par Et. Vachebot; Paris, Chamerot, 1858; Quatrième entretien (le matérialisme).

Au contraire, l’être est regardé comme vivant, quand nous faisons une condition essentielle de son existence de varier à tous les instants de celle-ci et de ne pas repasser par le même état ; il est individuel , quand nous le regardons dans l’espace comme composé de parties essentiellement différentes du centre à la périphérie. Si l’être vivant repassait périodiquement par une même suite d’états , nous dirions que l’individu renaît , ou qu’il naît un nouvel individu à chaque période ; s’il était composé de parties se reproduisant identiquement dans un ordre déterminé, nous le regarderions comme un aggrégat d’individus.

Il est ici nécessaire d’insister sur une remarque importante. Par notre contact avec la nature , nous avons acquis les idées de vie et d'inertie ; nous nous sommes habitués à accorder à certains êtres l’épithète de vivants , à d’autres l’épithète d’inertes ; peu nous importe en ce moment , si la distinction que nous faisons est objective ou non , s’il y a une différence de nature ou seulement de degré entre les uns et les autres ; nous constatons seulement en nous le fait des idées de vie et d'inertie. Or , tantôt nous avons voulu définir non l’être vivant et l’être brut , mais l’être considéré comme vivant, et l’être considéré comme brut, non la vie ou P inertie , mais l'idée de vie et l’idée d'inertie. Notre définition donc , quoique subjective peut-être, n’est pas pour cela arbitraire; et il en est une épreuve facile à faire , c’est , quand on croira trouver une différence objective entre la vie et l’inertie, qu’on fasse consister cette différence dans une force ou dans une combinaison , de chercher à préciser cette différence; on retombera infailliblement, croyons-nous, sur notre définition. Désormais donc, quand nous par-

lerons d’êtfe vivant et d’être inerte, nous entendrons par là l’être considéré comme vivant, et l’être considéré comme inerte.

L’être vivant, disons-nous, existe dans le temps et l’espace hétérogènes ; il est une succession de phénomènes, succession parfaitement déterminée, qui fait de son existehce une suite d’instants dissemblables. Chez lui, le temps est un facteur essentiel, inéliminable; l’être vivant ne peut être pris indifféremment hier, aujourd’hui ou demain, il doit être pris entre deux limites dans le temps; et encore, ces limites que notre esprit est astreint à poser pour ne pas se lancer dans l’infini, sont elles-mêmes des abstractions qui ne nous permettent de saisir qu’imparfaitement l’être luimême. C’est un besoin pour moi d’étudier la vie de ce grain de blé depuis le moment où je le mets en terre jusqu'à la mort de la plante qu’il a produite; mais pour la connaissance de ce qu’il est réellement , il me faudrait remonter au premier grain que sema la main du Créateur, et poursuivre dans l’avenir le sort de sa postérité. L’être vivant, dans l’espace, n’est pas un composé homogène, divisible à l’infini, mais il est essentiellement composé de parties diverses, réunies dans l’unité; il est l’unité de sa diversité, unité plus ou moins concrète , comme cela se voit par la comparaison entre l’individualité des animaux et celle des plantes, mais qui existe nécessairement, ne fût-ce que dans la cellule primitive où il a commencé de vivre. Dans la nature brute, au contraire, les parties hétérogènes, ne sont que des corps différents enclavés dans un autre corps; un morceau de mosaïque n’est pas un corps, mais plusieurs corps.

Tranchons de plus en plus cette différence de l’être

vivant avec l’être inerte. Quand on chauffe du soufre, il passe par différents états et par différents aspects, qui se présentent toujours dans le même ordre, et l’on ne peut obtenir l’un de ces états qu’après avoir obtenu tous ceux qui le précèdent ; ou, pour employer un exemple plus vulgaire , la glace chauffée ne se réduira pas en vapeur avant d’avoir été convertie en eau, et cette eau n’atteindra pas une température de cinquante degrés avant d’avoir passé par celle de quarante-neuf degrés. Les phénomènes, en un mot, se présenteront dans un ordre déterminé.

Quelle différence y a-t-il entre ce phénomène et celui de la vie? D’abord, ces propriétés de la glace sont les mêmes toujours; je puis les lui faire manifester de la même manière aujourd’hui ou demain ; le temps est ici homogène ; la place du phénomène dans le temps est indifférente. L’étendue elle-même du phénomène est arbitraire. Que je chauffe la glace avec lenteur, que j’augmente sa température d’un degré d’heure en heure, par exemple, les phénomènes se produiront toujours les mêmes, mais avec lenteur; si, au contraire, je l’expose tout d'un coup à une température élevée, les phénomènes se produiront rapidement, et tendront à apparaître pour ainsi dire simultanément; le temps entre dans ce phénomène , toujours comme homogène; j’ai besoin du temps sans doute, mais d’un espace de temps arbitraire. Il n’en est pas de même pour le corps vivant, et si même pour certains êtres, dans les classes inférieures, quelque chose d'analogue a lieu, la distance reste immense ; les phénomènes de la vie demandent, pour se produire de la même manière, le temps où ils se produisent, et non un temps antérieur ou postérieur; et de plus, un temps d’une longueur déter-

rainée : on peut avancer ou retarder la maturité d’une plante, mais, en général , le phénomène résultant est différent ; et, en tout cas, cette contrainte n’est possible que dans certaines limites (1 ).

g 2 . — DE LA SCIENCE DES CORPS INERTES.

Mais là ne se bornent pas les conséquences de cette abstraction dont nous avons maintenant acquis la conscience.

De ce que l’ambre jaune frotté attirait, déjà du temps des anciens, la paille et les choses légères, nous pouvons affirmer qu’il le fait encore aujourd’hui et qu’il le fera toujours. Les lois de la nature inerte sont éternelles et universelles , conséquence immédiate de ce que les

( 1 ) C’est ici surtout qu’apparaît avec évidence la subjectivité des idées de vie et d 'inertie. Dans la réalité, si, exempt de toute préoccupation philosophique , j’étudie la nature inerte , les phénomènes se présentent aussi dans un ordre déterminé , et demandent pour se produire de la même manière, un certain temps et un certain espace. Dans la formation d’un cristal, par exemple, si l’évaporation de l’eau est lente , les cristaux acquerront un volume plus considérable que si l'évaporation est rapide; ou, pour me servir d’un exemple plus vulgaire encore, le verre chauffé lentement augmente de température sans se briser, et se brise si on l’expose tout d’un coup à une grande chaleur. D’un autre côté, je suis obligé de regarder une plante méridionale comme pouvant croître en Laponie, si je la mets dans des conditions convenables. Et cependant , en tant que je considère la formation d’un cristal comme un phénomène de la nature brute , je me contente du point de départ et du résultat final, supprimant par la pensée le temps de la formation, faisant ainsi du temps, une chose à ma disposition; tandis que, si je considère le phénomène de la formation d’un être vivant , ma pensée laisse cet être vivant se développer de lui-même, passer par ses états successifs , et reconnaît ainsi, d'une certaine façon, son impuissance à accélérer ou à retarder ce développement.

corps inertes existent dans un temps et un espace homogènes; de ce que pour eux le demain est égal à ['aujourd'hui et le ici au là (1). Je puis dire : il est absolument nécessaire qu’un volume d’oxygène se combine à deux volumes d'hydrogène pour former de F eau , dès qu’il a été démontré une fois que le phénomène de la production de l’eau a lieu de cette manière.

Pourtant il pourrait se produire ici un phénomène imprévu : c’est que de l’oxygène ne se combinât pas avec l’hydrogène dans cette proportion , ou que le composé résultant fût non de l’eau, mais un corps isomérique. Ceci semble nous mettre en contradiction avec nous-même. Voyons ce qu’il y a au fond des lois physiques, examinons sur quoi repose leur apodicticité. Tout dépend de la définition de l 'oxygène-, si ce nom s’applique à la substance de l’oxygène, s’il est nom propre , le nom d’une chose inconnue, mais plus ou moins reconnaissable , alors les lois physiques ne sont pas apodictiques. Mais elles prennent ce caractère si le terme oxygène s’applique à un corps défini, à un concept, à une chose dont on borne la définition à une qualité bien connue. Dans le premier cas, la proposition, F oxygène est... est une définition de chose ou réelle, comme s’exprime l’ancienne logique ; dans le second cas , la

( 1 ) Les lois de la nature vivante sont aussi universelles et éternelles , parce que ces lois portent sur l’espèce , qui est Vidée de l’être vivant subsistant dans un temps et un espace homogènes , traversant , en restant identique à lui-même , et les temps et les lieux. Kn tant que le caractère d’un être vivant est considéré comme individuel et non comme spécifique , ce caractère ne donne lieu à aucune loi. St l’on peut dire en général , que toute science se compose des lois universelles et éternelles. C’est pourquoi, si la couleur noire n’est pas un caractère spécifique des corbeaux , je ne puis dire : Les corbeaux sont noirs toujours et partout. (CL Mil! , Log. ind. passitn. )

définition est de nom, ou nominale, (ou eueore génétique). Ainsi, si je nomme oxygène, le corps qui se rend au pôle positif, quand on décompose l’eau distillée par une pile , dans telle ou telle circonstance ( 1 ) , et que sur ce même corps je fasse des expériences, qui mettent en évidence certaines lois, ces lois sont apodictiques pour l’oxygène obtenu dans ces circonstances; j’ai nominalisé la définition de l’oxygène; j'ai posé une définition adéquate génétique ; j’ai dit comment on obtient l’oxygène; et cela est très-important à noter, car, dans ce cas seul Je puis dire que l'oxygène n'est pas du diamant. Si , au contraire, l’oxygène est le nom d’une chose, d’une cause réelle que je ne connais que par ses elTels, au lieu d’être, comme tantôt, le nom de la cause d’un certain effet déterminé , alors , je ne puis plus affirmer que cet oxygène pris au hasard , sans avoir égard à la manière dont on l’a obtenu , se conduira de telle ou telle façon dans une circonstance donnée(2 ). Ace point de vue,

( 1 ) Ce complément est nécessaire ; et c’est là la difficulté d’obtenir une définition adéquate de l’oxygène (comme de toute cause réelle). 11 est possible, en effet, qu’en opérant sur de l’eau distillée avec un appareil de Vol ta, dans la planète Jupiter, le résultat ne soit pas une décomposition du liquide en tout semblable à la nôtre. La définition de l’oxygène ne serait adéquate que si , par exemple , les différents corps simples n’étant que des états allotropiques d’un corps unique, on pouvait les définir par l'arrangement géométrique des molécules.

(2) Nous pouvons citer à l'appui de ceci un fait bien remarquable. Le fer se dissout tacitement dans l’acide nitrique étendu d’eau ; cependant , s'il a été préalablement plongé dans de l'acide nitrique concentré , il est devenu passif, et l’acide étendu n’a plus d'action sur lui. On ne peut donc pas affirmer d’un morceau de fer quelconque, sans avoir égard à la manière dont on l'a obtenu, en d’autres termes , sans avoir égard à son étal antérieur, qu’il se dissoudra dans l'acide nitrique étendu. .»

je ne puis jms dire que l’oxygène n'est pas du diamant , car l’un et l’autre peuvent nôtre que des formes différentes d’une même substance.

Ainsi encore , si je nomme triangle une figure fermée à trois côtés rectilignes, je puis allirmer que ses trois angles font deux angles droits ; mais si triangle est le nom donné à une certaine forme réelle à trois angles , une face d'un cristal, par exemple, alors je n’ai pas le droit d’affirmer que ses angles font deux droits. L’esprit peut attribuer à ses droites et à ses cercles tout ce qu’il y trouve, mais ne doit pas en attribuer les propriétés aux barres et aux ronds de la nature , pour nous servir d’une expression de Pascal enfant (i)

Ainsi donc, nous pouvons dire contre Whcwell et contre Mill à la fois : la neige est blanche toujours et partout , parce que tout corps analogue, mais d’une couleur différente, ne portera pas ce nom ou ne le portera que par métaphore. Si neige est l’état de l’eau, connu sous ce nom , il m’est permis de dire : La neige est blanche; si l’on entend par neige autre chose que je ne connais pas ou que je connais peu, alors je ne puis plus dire quelle est blanche, mais aussi je n’ai pas

( 1 ) Ainsi, ce que dit Mill de la facilité de donner en géométrie des définitions adéquates, est tout simplement une erreur. Je puis, dans toute science, donner des définitions adéquates; seulement ces définitions peuvent ne pas répondre aux choses réelles ; en géométrie cependant les définitions répondent jusqu’à un certain point aux choses réelles, comme Mill le remarque lui-même , parce que les prémisses de cette science sont objectives; et c’est pourquoi elle explique les faits réels. La prémisse de l’astronomie mécanique étant supposée objective aussi , la mécanique céleste est une science vraie, quoique idéale au même titre que la géométrie, et n’expliquant qu’approximativement les faits réels, c’eStrà-dire la route effective des planètes. Nous reviendrons d'ailleurs sur ce point dans l'appendice.

— so-

dé loi scientifique, j’ai une proposition à laquelle la science n’a rien à voir.

Il n’y a donc pas de différence essentielle entre la certitude des lois physiques et celle des lois mathématiques ; entre cette proposition : L’eau est composée de deux volumes d’hydrogène et d’un volume d’oxygène combinés ; et cette autre : Les rayons d’un cercle sont égaux. Si un liquide m’est présenté et que sa composition ne soit pas celle indiquée plus haut, je nierai que ce soit de l’eau avec autant de fondement que je refuserai de reconnaître un cercle dans une figure où les rayons ne seront pas égaux.

C’est donc sur une abstraction de notre esprit que repose l’apodicticité des lois de la nature ; et le fameux axiome sur la constance et l’invariabilité de ces mêmes lois , n’en est lui-même qu’une conséquence. Cette abstraction est peut-être ce que lU.Uebcrweg appelle l'idéalisation; avec la différence que ce terme idéalisation est vague, et n’indique pas la véritable nature de l’opération qui nous y conduit, ni surtout l’importance des résultats, des effets de cette opération. Cette solution concilie à la fois l’empirisme et l’idéalisme, Mill et Kant.

Rien d’élonnant que, dans la nature, il n’y ait pas de ligne parfaitement droite, de cercle parfait, d’ellipse exacte; bien plus, l’existence de telles figures y est impossible. Comment tracer un cercle dans un espace et un temps hétérogènes , quand les branches du compas , se dilatent ou se contractent, d’un instant à un autre, d’un point à un autre, grâce aux variations incessantes de la température; quand les pointes s'usent; quand le papier n’est pas plan, etc.? Rien d’élonnant qu’un corps lancé, même verticalement , ne suive pas une ligne droite , la

terre fût-elle immobile et dans l’espace et autour de son axe. Dans la nature, en effet , il n’y a rien de fixe , rien d’éternel que la substance. D’un autre côté, les droites , les cercles, les paraboles.de notre esprit, ne sont pas des moyennes approximatives ; ce sont des types , imitant sans doute les phénomènes réels , parce que nous les avons obtenus par une première approximation , par la supposition qu’il n’y ait pas de diversité dans l’étendue et la durée ; mais , par cela môme , inva • riables, au-dessus de l’étendue et de la durée. Voilà pourquoi ces types existent pour les habitants de Jupiter comme pour nous ; car les habitants de Jupiter les obtiennent nécessairement , quand ils font de l’espace et du temps des abstractions , et rendent ainsi homogènes l’étendue et la durée réelles.

Nous nous rapprochons aussi de Kant. En effet, quand nous constatons dans la nature l’ accord avec les lois de notre esprit , nous y retrouvons ce que nous y avons mis : nous y avons mis l’ordre et l’invariabilité ; nous y retrouvons l’ordre et l’invariabilité; nous y voyons ce que nous pouvons y voir; nous la voyons comme nous pouvons la voir. L’abstraction est une opération de notre esprit, et la nature est pour nous devenue abstraite : elle nous montre des lignes droites, des cercles parfaits ; nous y découvrons des corps simples, des corps purs, de l’eau distillée, du nitrate de potasse, du carbonate de chaux , tandis qu’elle nous fournit des mélanges, l’eau de la mer et des fleuves, du salpêtre, de la craie et du marbre.

Cette manière de considérer le corps, pour ainsi dire, en dehors de l’espace et du temps , nous donne la raison de la méthode que l’on suit pour en découvrir les propriétés ou arriver à des lois, c’est-à-dire, do la méthode expérimentale. 4

Ce corps que je tiens à la main, manifeste un certain effet quand je le place dans certaines conditions; l’énonciation de cet effet est une loi universelle , j’ai le droit de dire: ce corps se manifeste do cette façon dans tel cas. L’expérience, c’est la vue claire des effets d’une cause donnée ; une seule expérience suffit pour donner nue pareille loi. Seulement, si le principe de l’expérience est clair, la mise en pratique, l’art d’interpréter l’expérience, est plus difficile. Cet art suppose plusieurs choses : 1° La définition précise de la chose à étudier. Je dois savoir comment je puis obtenir ce corps, ce qu’il est au moment même où je le soumets à l’expérience ; je dois en avoir lu définition nominale et génétique; je dois, pouvoir dire, par exemple: cecorps, quoje nomme oxygène, est ce qui se rend au pôle positif de la pile quand on décompose l’eau distillée — ou toute autre définition analogue. Aussi que fait le chimiste'? il se garde bien d’opérer sur les corps tels que la nature les fournit, c’est-à-dire modifiés, altérés , mélangés , impurs, pour me servir de l’expression consacrée; une expérience faite sur ces corps dans de semblables conditions serait radicalement vicieuse. Mais il commence par les purifier, les simplifier; il met dans son creuset un corps idéal, dont il possède la définition adéquate et génétique. 2" La connaissance précise des circonstances où l’on opère , en présence desquelles on fait agir le corps. Cette règle est analogue à la précédente et à la suivante. Ainsi le chimiste, pour ne pas avoir à faire à une trop grande complication de circonstances, écarte, autant qu’il est en lui, toute cause extérieure de trouble, il opère dans le vide, ou dans un gaz dont il a d’avance déterminé l'indifférence, la neutralité; il note la température, la pression, l’état électrique et hy-

grométrique de l’air, etc. ; en un mot, il opère, autant que possible , dans un espace homogène et sans qualité active; 3° Enfin, l’appréciation exacte de l’effet produit. 11 faut suivre l’effet depuis le moment où il se manifeste, jusqu’à son dernier accomplissement, et non se contenter du résultat final qui n’en est qu’une partie.

Quand ces trois règles ont été suivies , une seule expérience , nous le répétons , suffit pour établir la loi. Si, en général, plusieurs expériences sont nécessaires, c’est qu'il n’est pas toujours possible à l’homme d’écarter à un si haut degré les causes perturbatrices, et il n’y a erreur que quand l’expérience n’a pas tenu compte de toutes les causes auxquelles on peut attribuer l’effet produit.

Cependant là ne se borne pas le champ de l’expérience. Sans doute, la méthode que nous venons de décrire, arrive infailliblement à nous faire connaître les propriétés d’un corps donné. Mais la science veut arriver à des lois qui conviennent à toute une classe de corps. C’est ainsi qu’elle nous donne les lois de la chute des corps pesants , de la réflexion , de la réfraction , etc. ; lois qui n’appartiennent pas à un corps particulier , mais à tous les corps connus. Comment opérera le savant quand il aura à étudier un phénomène général , tel que celui de la pesanteur? Force lui est bien de prendre des corps individuels ; mais comme il ne peut les soumettre tous à un examen — ce qui serait absolument nécessaire pour établir une loi à l’abri de toute objection — il choisit des corps particuliers , et il dispose l’expérience de telle sorte qu’elle ait, autant que possible , un caractère général , qu’elle fasse ressortir le caractère du genre (du corps pesant) et non de Yindividu (du fer ou du plomb). C’est ainsi que les lois

que les expériences de Galilée ou celles d’Atwood me permettent d’énoncer, sont, non clés lois tirées de la généralisation d'un fait particulier , mais la traduction mathématique d’un fait général.

Mais, quoi que l’on fasse, ces lois ne sont presque jamais que des inductions plus ou moins légitimes , et l’on n’a pas le droit de dire d’une façon absolue : tous les corps sont pesants. Sans doute, la loi de la pesanteur nous apparaît aujourd’hui avec un caractère prononcé de généralité ; l’idée de pesanteur s’attache intimement dans notre esprit à celle de corps ; mais on sait qu’il n’en a pas toujours été ainsi, et l’on est encore plus ou moins dans l’usage de parler du calorique , de l’électricité, etc., comme de fluides impondérables ( l).

Dans quels cas cependant une loi est-elle vraiment générale? Lorsque, pour l’établir, on aura éliminé par des expériences répétées, les qualités individuelles du corps sur lequel on expérimente. Prenons pour exemple le cas de la machine d’Atwood : La chute du poids pourrait provenir de la nature particulière du métal qui le compose, de sa forme, de sa niasse, du milieu ambiant, etc. — je change le métal, je modifie la forme, la masse, j’opère dans le vide, etc. — l'effet reste le môme. Si j’ai tenu compte de toutes les circonstances qui pouvaient avoir une influence sur l’effet, la con-

( 1 ) Il est , du reste , d’autres lois où le caractère inductif est plus prononcé , et qui pourraient même être le résultat d’une induction vicieuse; telles sont la loi, dite de Mariotte, sur le rapport du volume des gaz à la pression ; la loi de la dilatation des gaz ; la loi newtonnienne sur le rapport du pouvoir réfringent et de la densité. I)o quelque nombre de faits qu’on suppose ces lois étayées — et l’on en connaît maintenant qui les contrarient — on ne pourrait cependant pas conclure à leur généralité absolue.

clusion tiréo de l’expérience porte un caractère général. C’est ce qui a lieu dans les mathématiques , et particulièrement en géométrie, où les démonstrations (les expériences) sont toujours très-faciles à établir, où, comme nous le verrons , par la nature même de l’objet de la science , toute influence secondaire se trouve éliminée d’elle-même. Pour démontrer que les trois angles d’un triangle sont égaux à deux droits , je choisis un triangle particulier , et plaçant ses trois angles à côté l’un de l’autre, j’observe qu’ils font deux droits. Ma proposition est générale, non point parce que ce triangle est quelconque, ou parce que je conçois la possibilité de répéter la même opération sur tous les triangles possibles , ce qui reviendrait à considérer ma proposition comme possible, comme virtuellement démontrable , mais parce que la manière dont je démontre la proposition, mon expérience (1) , est indépendante de la grandeur du triangle, et de la nature des angles — de même que l’expérience de la machine d'Atwood est indépendante de la nature des matériaux qui entrent dans cette machine, de la forme des poids et de leur masse. Mon expérience, en un mot, a porté sur un triangle genre, et non sur un triangle individu.

Ajoutons à ce propos un mot sur le concours de tous les savants à l’édilication d’une science. En général, une proposition démontrée par un savant est acceptée ou acceptable par tous sans contrôle ; ainsi , en chimie, on travaille sur les données de quelques chimistes célèbres ; Kepler travailla sur les données de Tycho- Brahé , Newton sur les résultats de Kepler; nous nous

(1) Voir aussi, pour ce terme expérience, nouveau en matière de géométrie, le paragraphe suivant.

fions aux assertions des historiens , des géographes , des voyageurs , de tous les observateurs et expérimentateurs de tous les temps et de tous les lieux. C’est que, pour nous, l’observateur n’est pas Kepler; le géomètre, Euclide ou Legendre; le chimiste, Régnault; mais l 'homme , c’est-à-dire l'être intelligent, l 'espèce et non l'individu. Et lorsque nous soupçonnons que c’est l'individu , ou l’homme pourvu d’yeux plus ou moins bons , corrompu par plus ou moins de passions et de préjugés , doué d’un jugement plus ou moins sûr , lorsque nous soupçonnons , dis-je , que c’est cet individu-là qui a vu , jugé , conclu , alors nous mettons ses résultats en doute et nous recommençons l’expérience déjà faite.

Nous avons distingué, dans ce qui précède, entre les lois universelles et éternelles , et les lois générales : les premières portant sur un corps déterminé, défini ; telles que : le fer est pesant ; les secondes portant sur toute une classe de corps ; telles que : les corps sont pesants. Les unes, avons-nous dit, sont le résultat d’une abstraction, tandis que les secondes sont fondées sur une induction plus ou moins légitime. Les unes et les autres sont concentrées dans cet axiome empiriste : La nature procède par lois invariables et simples .

Nous ne reviendrons pas sur ce que nous avons dit dans le chapitre précédent sur la légitimité de cet axiome, ni sur son impuissanceàconfirmer les faits particuliers. Nous voulons maintenant l’examiner à un autre point de vue. Il comprend deux affirmations ; c’est de la première que nous allons nous occuper d’abord.

Nous avons dit que l’invariabilité (universalité et éternité) des lois de la nature est fondée sur une abstraction de notre esprit ; cet axiome.au contraire, la pose

comme un fait, placé en dehors de nous, et que nous constatons par l’expérience. Or, à quoi reconnaissonsnous l’invariabilité d’une loi? à ce que le phénomène qui en est l’expression reste toujours le même. Mais si ce phénomène devenait autre, dirions-nous que la loi a varié? Non ; nous dirions, au contraire, que nous avons à faire à un autre phénomène, et la loi serait sauve. Nous nous expliquons par un exemple : c’est une loi invariable de la nature que le palmier germe avec un cotylédon ( 1 ) ; qu’il se mette à germer avec deux cotylédons, nous n’accuserons pas la nature de nôtre pas restée fidèle à sa loi , mais la plante nouvelle, nous no l’appellerons plus palmier, pour autant que c’est là le nom d’une plante monocolylédone. Nous sommes ainsi ramenés à une théorie analogue à celle que nous fournissait la proposition la neige est blanche. Et en effet, quand la nature change avec les temps et les climats, qu’elle ne fait que revêtir de nouveaux aspects depuis le jour où le monde a été lancé dans l’espace, que peut être l’invariabilité danscelte succession de phénomènes, qui paraissent pour disparaître ensuite, avec les lois qui les gouvernent Qu’existait- il autrefois? Que nous réserve l’avenir? Mais bien plus, quel que soit le phénomène dont la science s’occupe, elle le traduit toujours par une loi invariable. La terre tourne en 365 jours

( l ) Il est tellement impossible de se figurer que la nature ne procède pas par lois invariables que quand on veut choisir un exemple de variabilité , on tombe dans l'absurde, le non-sens. 11 est clair que le lion reste toujours lion, comme l'homme reste toujours l’homme, quoique les lions d'aujourd'hui soient les mômes que ceux du temps des Grecs, tandis que nous ne sommes pas les mômes que les Grecs : c’est que, pour le lion, c'est une loi invariable de rester le même, et pour nous, de progresser.

autour du soleil, et si loin que nous remontions dans la série des siècles , cette période nous semble avoir toujours été la même — est-ce là une loi invariable? Oui, sans doute. Mais supposez que le mouvement de la terre, au lieu de rester constant, s’accélère, comme c’est le cas pour la comète d’Encke, nous aurons une loi invariable qui s’énoncera comme suit : le mouvement de la terre s’accélère d’année en année. Allons même plus loin : admettons qu’aucune espèce de loi ne règle l’accélération ou le ralentissement du mouvement de la terre; nous ne laisserons pas de dire sous forme de loi invariable : la terre, dans son mouvement autour du soleil, ne suit aucune loi. Quelque bizarre , quelque désordonnée que nous nous figurions la nature , nous la voyons toujours comme soumise à des lois : n’était-ce pas une loi pour la fortune inconstante , d’être constamment inconstante ? C’est ainsi , pour nous servir d’une comparaison , que l'observateur placé entre le soleil et un nuage qui se résout en pluie', voit infailliblement devant lui, quelle que soit la forme du nuage , l’arc aux sept couleurs s’étendre symétriquement des deux côtés de son horizon.

La raison de ce fait est facile à établir. Un phénomène, en tant que déterminé , saisi par l’intelligence , défini, en tant qu’il est ce phénomène, n’est pasa«*rc,et nous ne pouvons nous imaginer qu’il devienne autre ; il reste nécessairement ce phénomène (1). Mais il ne s’ensuit pas que , dans l’ensemble des événements naturels, ce phénomène ait nécessairement une place, que la constance de sa production importe à l’ordre universel : le caractère d’invariabilité que l’esprit lui attribue >

( 1 ) Comparez : Logique de Port Royal, II' partie , chap. 12.

est tout subjectif, et résulte de ce que ce phénomène a été reconnu par lui , et par suite défini.

Cette critique vient donc confirmer de nouveau la théorie que nous avons émise sur ce point. Voyons à quoi nous conduira la critique de la seconde partie de l’axiome , que la nature procède par lois simples.

Qu’est-ce qu’une loi simple ? En quoi consiste la simplicité d’une loi ? Ce n’est pas dans les nombres qui l’expriment ! que les corps s’attirent en raison inverse de la simple distance, ou du cube de la distance, ou du logarithme de la distance , la loi n’en sera pas moins considérée comme simple. Ce ne peut être dans le nombre de mots qu’il faut pour l’énoncer , ou dans l’effort d’esprit nécessaire pour la comprendre ; la loi de la rotation des corps ou celle de l’attraction de deux ellipsoïdes pourrait n’être pas dans ce cas.

N’y aurait-il pas ici abus de mots ? Le terme propre à employer ici n’est-ce pas celui de généralité ; et ne disons-nous pas d’une loi qu’elle est d’autant plus simple qu’elle est plus générale , ou qu’elle s’applique à un plus grand nombre de faits ? Supposons donnés , par exemple , trois phénomènes A , B , C , qui ont quelque chose de commun ; cependant le phénomène A diffère à la fois de B et de C , et il existe une cause de ces différences. Si je fais abstraction de ces différences, ces trois phénomènes deviennent identiques et s’expliquent naturellement par une seule et même loi ; si je fais entrer en ligne de compte la différence du phénomène A au phénomène B , il me faut une seconde loi pour en rendre raison; et de même une troisième loi est nécessaire pour expliquer en quoi A diffère de G; de sorte que le phénomène A, en définitive, ne s’explique que par trois lois ; et à la rigueur.

la première loi explique , non pas les phénomènes A, B et C , mais seulement une partie du phénomène A décomposé en phénomènes plus simples, un phénomène plus général que A. L’attraction, dit-on, explique tous les mouvements des corps célestes ; ceux de la Terre , de Mars , de Jupiter. Soit , mais elle n’explique pas, bien loin s'en faut, le mouvement réel de la Terre, ce en quoi il se distingue de celui de Mars. Ainsi, entre autres, elle ne donne pas la distance de la Terre au Soleil; et l’astronome, qui veut rendre compte du phénomène de la trajectoire de notre planète, commence par poser deux prémisses, à savoir : la distance de la Terre au Soleil, et l’attraction; prémisses qui sont absolument sur le même rang dans la solution du problème. N’est-ce pas ainsi encore qu’en chimie la théorie générale de la combinaison ne suffit pas pour expliquer la formation de l’eau , mais qu'il faut en outre la connaissance des propriétés de l’oxygène et de l’hydrogène ?

Maintenant en est-il de la généralité comme de l’invariabilité? Est-ce encore une épithète accordée spontanément par notre esprit aux lois de la nature? Oui, parce que tout phénomène défini est un phénomène général. Pourquoi disons-nous que tous les corps sont pesants? parce que nous appelons corps ce qui est pesant; et nous ne pourrions ainsi nous exprimer, si les fluides impondérables étaient regardés comme des corps. Les planètes se meuvent dans le même sens, dans des ellipses d’une faible excentricité , toutes situées à peu près dans le même plan, et dont le Soleil occupe un des foyers, loi générale, parce que nous ne donnons pas le nom de planètes aux autres corps qui , comme les comètes ou les satellites , n'obéissent pas à ces lois.

Mais, nous dira-t-on, on ne peut nier cependant qu’il y a des lois objectivement générales, telles que la suivante, par exemple : tous les corps célestes obéissent à l’attraction? Nous pourrions demander à notre tour : pourquoi les masses des corps célestes ne sont-elles pas égales? Pourquoi quelques planètes ont-elles des satellites, et d’autres pas? Pourquoi Saturne seul a-t-il un anneau? L’existence de l’anneau de Saturne est un phénomène isolé; l’existence de satellites autour de quelques planètes, un phénomène plus général, pour autant que je fais abstraction du nombre plus ou moins grand de satellites ; de même, l’attraction est un phénomène général , si je fais abstraction des différences des masses et des distances. Et puis, que peut-on affirmer, quant à la généralité du phénomène de l’attraction ? Tous les corps célestes que nous voyons autour de nous et dans les espaces les plus éloignés que nous découvrent nos instruments, fussent-ils soumis à la loi de Newton, n’est-ce pas là encore un phénomène isolé dans l’immensité de l’univers? D’un autre côté, n’y eût-il que deux corps soumis à l’attraction mutuelle, l’intelligence n’en regarderait pas moins ce phénomène comme général , comme devant s’appliquer à tous les corps qui leur ressembleraient. Peu importent à la science les différences essentielles des planètes , l’esprit les supprime, et la loi du mouvement de l’une devient la loi du mouvement des autres. Quel que soit l’univers , nous le concevons toujours comme l’effet d’une cause unique que nous cherchons; tout ce qu’il renferme obéit au moins à une loi générale , celle d’y être renfermé, d’en faire partie, d'être soumis aux causes qui y fonctionnent; toujours, en un mot, il reste pour nous Y univers , c’est-à-dire , comme l’indique

l’étymologie, la multiplicité tendant à l’unité. Newton , pour avoir découvert l’attraction, n’a pas vu plus d’unité dans l’univers , que les anciens, qui attachaient les planètes à des cercles et les étoiles à un ciel de cristal ; et le géologue ne met pas plus d’unité dans les phénomènes de notre globe, que le Grec qui les expliquait uniformément par des dieux, des génies, des naïades, et des nymphes.

Si donc l’induction nous guide dans nos découvertes, ce n’est pas que la nature soit disposée à dessein de la provoquer , c’est que l’intelligence tend vers l’unité , et elle poursuit cette unité , quel que soit l’ensemble des faits qu’elle considère.

Reprenons la suite interrompue de nos déductions. Les lois se divisent en lois plus ou moins générales suivant quelles servent à rendre compte d’un phénomène plus ou moins général; et l’on dit d’un phénomène ou d’une loi (1) qu’il est plus général qu’un autre, quand celui-ci n’est que la traduction des différences de tous ceux qui rentrent dans le premier. La loi de Bode (en supposant qu’elle soit une loi dans le sens propre du mot), portant sur les distances relatives des planètes , est une loi moins générale que celle de l’attraction, puisqu’elle s’applique seulement aux différences entre les mouvements des corps que le Soleil attire.

Un phénomène, avons-nous dit encore, se décompose en phénomènes plus généraux ou explicables par un nombre moindre de lois. Un phénomène est dit simple ou irréductible quand il s’explique par une loi unique.

( 1 ) En commençant ce chapitre , nous avons dit que les lois n’étaient elles-mêmes que des phénomènes ; do là, cet emploi d’un terme pour l’autre.

Tout phénomène peut se résoudre en phénomènes simples (1). Tel est le principe que nous mettons à la place de la seconde partie de l’axiome qui fait l’objet de notre étude actuelle.

Nous voici amené à parler de l 'hypothèse scientifique. Cette décomposition du phénomène est toujours susceptible d’être poussée plus loin ; les phénomènes simples, comme les corps simples de la chimie, ne sont jamais que provisoires , en attendant les progrès ultérieurs de la science. Or, on donne le nom d 'hypothèse à l’énoncé d’un phénomène considéré comme simple ou comme irréductible. C’est une proposition sur la nature du phénomène ; c’est une définition de son essence ; comme, par exemple, les hypothèses suivantes : les corps matériels s’attirent, ou encore, sont des corps qui s’attirent en raison directe des masses et en raison inverse du carré des distances ; la lumière est produite par les vibrations de l’éther, etc. ; dont la première nous apprend en quoi consiste l’essence de la matière , la seconde en quoi consiste l’essence de la lumière. L’horreur du vide comme la pesanteur de l’air, les épicycles comme l’attraction, l’émission comme les ondulations, l’atomisme comme le dynamisme sont autant d’hypothèses scientifiques. Quand on ramène toutes les lois chimiques à la constitution atomique des corps, de même que lorsqu’on ramène les phénomènes célestes à l’attraction , ne fait-on pas une hypothèse sur la nature

( 1 ) C’est ainsi que la trajectoire d’un corps qui tombe perpendiculairement , phénomène très-compliqué en réalité , se ramène à trois phénomènes simples : le mouvement du corps en ligne droite si la terre était immobile dans l’espace ; celui de la terre autour du soleil ; puis sa rotation sur elle-même ( abstraction faite de l’air, etc.).

du phénomène simple de la combinaison ou du mouvement d’un astre ?

On dit quelquefois, il est vrai, que l’hypothèse scientifique ne préjuge rien sur la nature intime du phénomène, qu’elle se borne à en énoncer le mode de production sous forme comparative, et que l’exactitude exigerait: Les corps se conduisent comme s'ils s’attiraient, et non , les corps s'attirent. Mais la seconde de ces propositions est , tout aussi bien que la première , une affirmation sur le mode d’agir des corps ; seulement dans celle-là, on ne parle de l’attraction que comme effet , sans faire allusion à la cause ; dans celle-ci, on la donne comme l’effet d’une cause inconnue. Sous ce rapport , il est vrai, la seconde manière de parler est plus scientifique, en ce qu’elle laisse entrevoir la possibilité de ramener le phénomène de l’attraction à un phénomène plus simple encore (1).

11 est clair par là que toute science a nécessairement une base hypothétique , qui est l’ensemble des lois simples ou phénomènes simples auxquels elle ramène les faits dont elle s’occupe. Nous verrons que les sciences mathématiques n’échappent pas à cette loi et qu’elles aussi ont besoin de véritables hypothèses , d & postulats :

( 1 1 Disons cependant que l’on réserve généralement le nom d’hypothèses aux énoncés des phénomènes les plus généraux , et que, tout au plus, on donne aux phénomènes moins généraux considérés comme simples le nom d'hypothèses secondaires. Mais les unes et les autres portent absolument le même caractère. Disons encore que, dans l’usage ordinaire , il ne suffit pas que le phénomène soit général pour qu’il porte ce nom , il faut qu’il ait servi de base à une 1 théorie. Qui ne voit que la plupart des lois peuvent servir à ce but ? Ne pourrait-on pas , en partant de la loi de Mariotte , construire une théorie des gaz , et alors quelle différence essentielle y aurait-il entre cette loi et celle de Newton?

toute figure a une grandeur et une forme; F espace a trois dimensions, clc. Les dimensions, la grandeur et la forme, voilà de quoi se compose tout corps géométrique, voilà à quoi on le réduit. Maintenant, que les hypothèsesdesmathémaliques (arithmétique, géométrie, mécanique) soient plus évidentes, portent mieux le caractère de faits que celles de la physique, de la chimie, de la physiologie, cela dépend de la nature de la science, de sa simplicité même : c’est ainsi qu’en physique , l'hypothèse de l’attraction est mieux établie que celle des ondulations , et celle-ci mieux que celle de l'atomisme ou du principe vilal. Du reste, trinité de dimensions, attraction, éther, atome, principe vital, ce sont là tout autant de termes inexplicables , mystérieux , dont l’intuition seule nous permet de saisir le sens ou la portée ( \ ).

g 3 . — DÉDUCTION DE L’OBJET DE LA GÉOMÉTRIE.

L’abstraction au moyen de laquelle nous avons obtenu la science des corps inertes , nous allons la répéter de manière à simplifier au fur et à mesure

( 1 ) Il ne peut être question ici d’une autre méthode qu’ont employée Fourrier et Ampère, le premier dans la théorie de la chaleur, le second dans celle du magnétisme, et qui consiste à partir d'une formule plus ou moins probable, à fonctions et constantes indéterminées, que quelques expériences bien choisies déterminent ensuite. En général , cette méthode est empirique dans l’établissement de son point de départ, et les résultats que l’on tire de la formule une fois obtenue, ne représentent jamais exactement le fait. Il n’y a pas explication des phénomènes; on ne voit pas comment ils se produisent , mais seulement le calcul de leurs effets ; l’hypothèse est algébrique , et ne fait pas image ; aussi ne peut-ello jamais arriver d'elle-même à l’état de fait incontesté.

l’aspect de l’univers , ou l’objet à étudier. On comprend dès lors que les propositions objectives portant sur la nature de cet objet , soient plus faciles à obtenir , et qu’elles aient été obtenues plus tôt; que la solution des problèmes que l’esprit humain se propose devienne plus immédiate , l’expérience pour trouver les lois idéales plus aisée à établir, et les circonstances perturbatrices plus facilement éliminables.

Or , dans l’univers considéré comme inerte , l’espace et le temps reparaissent comme hétérogènes; l’abstraction première , comme toute abstraction , n’a pas été complète ; nous avons fait de l’espace et du temps des réceptacles indifférents ; les corps pouvaient y être ici ou là ; mais, pour autant que les corps sont les uns ici, les autres là , que leurs actions mutuelles se suivent de manière que l’une a lieu aujourd’hui et l’autre demain , qu’il y a, en un mot, variété dans la nature des êtres, l’espace comme ensemble de ceux-ci , le temps comme succession de leurs états, sont hétérogènes; cet univers est l’objet des sciences physiques et chimiques. Mais si nous homogénéifions de nouveau l’espace et le temps, si nous faisons abstraction des différences des corps entre eux, pour n’y voir qu’une seule et même nature, nous aurons l’objet des sciences mathématiques ; et les principes de celles-ci font naturellement partie des principes de celles-là ; de même que les lois chimiques et physiques de la nature brute sont au nombre des lois de la nature vivante.

Comment nous apparaît maintenant l’univers après cette double abstraction ? C’est un ensemble de corps soumis à leurs actions et réactions réciproques; leurs différences consistent dans la somme d’actions qu’ils exercent; le temps et l’espace reparaissent comme non

homogènes, en ce que la positionnes rapports des corps entre eux changent d’un instant à l’autre, d’un lieu à l’autre. La cause abstraite du mouvement ou du changement se nomme la force. En tant que l’on considère les corps comme soumis à des actions de la part des autres corps et comme animés eux-mêmes de forces particulières , on fait de la mécanique. Dans la mécanique, le temps est devenu une quantité T , homogène, divisible, entrant dans les formules sous la forme d’une ligne, et dont l’hétérogénéité n'apparait que dans les résultats , en ce que le mouvement, à un instant donné, est la résultante du mouvement qui précède. Mais il n’en est pas moins vrai que dans l'étude du corps (d’une nature indifférente, ou considéré comme substratum et support de la force), même à l’état de mouvement, ce n’est pas le développement interne que l’on considère , mais on cherche à se représenter simultanément une succession externe de positions , comme lorsqu’on trace sur le papier l’orbite d’une planète dans sa totalité.

Supprimons maintenant les différences, les changements et les mouvements qui proviennent de l’inégalité des forces, l’univers se réduit à un ensemble de figures. La science des ligures est la géométrie.

A quel titre reparaîtra l’hétérogénéité du temps et de l’espace? Parcourez de l’œil l’ensemble des objets qui composent l’univers géométrique, engendrez-lc par le mouvement de votre rayon visuel , vous passez successivement d’un point à un autre , et les points successifs, les figures successives sur lesquelles se portent vos regards, sont différents d’aspect, de position, de propriétés (tels sont, par exemple, les différents points ou les différents arcs d’une ellipse), et par la suppres-

sion de toute distinction entre les figures , il ne reste plus que des unités égales; l’univers devient nombre , une collection d’unités. La science qui s’occupe des nombres est Y arithmétique. Dans l’arithmétique , la formation des nombres par l’addition successive d’une unité à celui qui précède , est le seul vestige qui subsiste de l’hétérogénéité de l’espace et du temps; les inégalités des nombres entre eux, leurs qualités intimes , leurs propriétés comme nombres premiers , nombres puissances , nombres parfaits , nombres polygones, etc. , sont les différences les plus simples que nous paissions voir entre les objets d'un univers numérique. Un pas de plus dans l’abstraction, et la science humaine se réduirait à la numération (4).

Ce n’est pas ici le lieu de discuter les principes de classification que d’autres ont émis. Nous dirons seulement que nous ne croyons pas à la possibilité de classer les sciences d’après les facultés de l’esprit humain ou d’après des catégories subjectives, ni môme de trouver à priori l’objet des sciences que l’homme a inventées. Les grandes divisions que nous avons établies en nous fondant sur un principe unique, concordent avec celles que l’on regarde généralement comme les plus sûres; nous avons fait voir en quoi consiste la simplicité de l’objet d’une science , et quelle est l’opération précise qui lui donne cette simplicité; il n’entre pas dans notre but de poursuivre cette division dans

( 1 ) Il est assez remarquable de voir succéder au monde nombre des Pythagoriciens , le monde géométrique de Leucippe et de Démocrite ; puis le mécanisme de Descartes ; puis le dynamisme physique et chimique de Leibnitz , des matérialistes et de Kant ; nous avons eu ensuite le monde vivant , l 'organisme des panthéistes ; puis enfin l’univers pensée de Schelling et de Hegel.

ses divers embranchements ; il nous suffit d’avoir déterminé l’objet de la géométrie, ou d’avoir déduit rationnellement — tout en opérant sur un fonds expérimental , l’univers — qu’il existe une science des figures. Comme la géométrie comprend plusieurs branches , connues sous les noms de géométrie synthétique, analytique et descriptive, nous allons anticiper sur le livre suivant pour fixer en quelques lignes la place respective de chacune d’elles.

Toute figure a une forme et une grandeur; quand on étudie la figure en elle-même, ses relations de parties à parties, qu’on ramène, en un mot, les questions de grandeurs à des questions de formes , quand , par exemple, pour comparer deux triangles entre eux , on les transforme en carrés, on fait de la géométrie synthétique. Si, au contraire , les questions de formes sont ramenées à des questions de grandeurs, si, par exemple, la forme d’une figure est donnée par la longueur des coordonnées de chacun de ses points , il y a géométrie analytique. Enfin , dans la réunion des deux procédés consiste la géométrie descriptive ; ici la figure est donnée par la forme d’une de ses projections sur un plan , et par la distance de chacun de ses points à un autre plan ( \ ). C’est la géométrie synthétique seule qui nous occupera dans cet ouvrage.

Il nous reste à dire quelques mots de la définition de la géométrie.

( 1 ) Il est clair que nous ne pouvons, en aussi peu de mots, trancher la différence entre ces trois méthodes, prises ici plutôt comme types que comme réalités ; car il est assez difficile de dire : Ici commence la géométrie analytique , là elle finit. Cette distinction n’a, du reste , qu’une faible importance pour le but que nous nous proposons dans ce travail.

La géométrie, dit-on communément, est la science des propriétés de l’espace ou de l'étendue. Cette définition manque de précision : la géométrie ne recherche pas les propriétés de l’espace ; elle les suppose. C’est à la métaphysique qu’il appartient d’établir l’existence de l’espace , sa nature , la manière dont se forme l’idée que nous en avons (1).

Nous ne nous arrêterons pas non plus à celte définition qui , s’appuyant sur les catégories , fait des mathématiques en général la science de la quantité. Qu’est-cc que la quantité d’un cercle ? d’un nombre premier? Sans doute, on ramène assez facilement, dans beaucoup de cas , la différence qualitative des figures ou des nombres à une différence quantitative , mais on en peut dire autant de la plupart des différences; et M. Comte a raison d’avancer que le problème de la médecine se réduit à ceci : Étant donnée la composition du corps d’un malade , quelle quantité de nouveaux éléments faudrait-il y ajouter pour lui rendre la santé?

M. Comte accepte la définition ordinaire de la science mathématique , à savoir que c’est la science des gran-

( 1 ) « La plus ou moins grande extension de la limitation , que l’on nomme volume, et le nombre forment le concept delà quantité. Y ajoute-t-on la forme de la limitation, on a l’objet des mathématiques. On dit ordinairement , il est vrai , que les mathématiques s'occupent de l’espace et du nombre ; mais en fait , elles ne s’occupent en aucune façon de la nature de l’espace ; ce fut toujours là l'objet de la métaphysique. » Czolbe , New Darüellung des Scnsualismvs ,1,4. Cet auteur dit encore dans le môme ouvrage , Il , 1 1 :

» De ce que les mathématiques ne s’occupent pas de la nature de l’espace ( elles laissent cela à la métaphysique ) , je tiens plus exact de dire qu'elles s’occupent des limitations des corps , la grandeur et la forme, et des idées qui en sont dérivées. »

deurs, ou la science qui a pour but la mesure des grandeurs. Seulement il la précise et l’approfondit , en montrant à quelle multitude de questions peut conduire la mesure d’une seule grandeur , même de la plus simple, la ligne droite. D’après lui, le but de la mathématique est donc la mesure indirecte des grandeurs, ou la détermination des grandeurs, les unes par les autres, d’après les relations précises qui existent entre elles . Pour le même motif, il maintient la définition vulgaire de la géométrie , la science de l’étendue , ou qui a pour objet la mesure de l'étendue.

Cette définition nous semble confondre en une seule science la géométrie et les sciences pratiques. A la rigueur toutes les sciences, les arts mêmes, l'astronomie, la chimie, la physique, l’arpentage, etc., seraient du ressort de la mathématique, car les questions dont elles s’occupent, reviennent, en définitive, à des questions de grandeur ou de mesure de l’étendue. Aussi M. Chasles la repousse (i), et en donne une nouvelle , qui est en partie la combinaison des deux premières : La géométrie, dit-il, a pour objet la mesure et les propriétés de l’étendue figurée. Les propriétés résultent « des formes et des positions relatives des figures », et elles « comprennent aussi des relations de grandeurs, mais qui sont, en général , simplement des relations de segments rectilignes ou d’angles, et qui n’exigent pas l’emploi du calcul infinitésimal. » Il fait remarquer, du reste, que la

( 1 ) « On serait tenté de croire, dit-il, que cette définition nous vient de quelques arpenteurs romains , si elle ne remonte pas aux Égyptiens, qui, selon la tradition historique ou fabuleuse, auraient créé cette science pour retrouver l’étendue primitive de leurs terres après les inondations du Nil. » ( Discours d’ inauguration du cours de géométrie supérieure ).

mesure n’est souvent possible que par la connaissance des propriétés , de manière que la géométrie forme un tout indivisible. Au fond sa définition rentre donc dans celle de M. Comte. Toutes deux d’ailleurs pèchent en ce qu’elles exigent ou des commentaires, comme celle de M. Comte, ou l'explication d’un terme vague , propriété , énoncé dans celle de M. Chasles. Les propriétés d’une figure sont, comme nous le démontrerons, les différents modes de génération de cette figure; M. Comte avait déjà signalé l’importance qu’il y a à les connaître; mais il est impossible d’entrer dans des considérations de cette nature à propos d’une définition. Une chose suffit , c’est de préciser l’objet de la géométrie.

La science géométrique étudie les déterminations de l’espace. Cette définition fait rentrer la géométrie dans le cercle des autres sciences proprement dites naturelles : la zoologie s’occupe des animaux, la botanique des plantes, la minéralogie des corps inertes dans leur composition et leur forme; la géométrie s’occupe des déterminations de l’espace ou des figures, et ces déterminations nous sont fournies par la nature même, qui, dans les cristaux, la forme des corps célestes, leurs trajectoires et les mouvements de toutes espèces, les formes plus variées des corps vivants, semble défier la force de l’imagination. Ces formes si diverses, nous les ramenons à des formes idéales, abstraites, fixes, qui servent de types, démesures; absolument comme, en chimie, on ramène au type de carbonate de chaux, les différentes espèces de craie et de» marbre; comme, en mécanique, en astronomie, on ramène les différentes espèces de mouvement à des formules idéales.

Il y a donc, comme nous l’avons dit dans le premier paragraphe de ce chapitre, une double géométrie. L’une

s’efforce , une forme étant donnée , de la ramener à une forme idéale : on en a des exemples dans la cristallographie, et dans les recherches de Kepler pour déterminer la nature de l’orbite de Mars qui était toute tracée dans le ciel ; cette géométrie expérimentale étudie les corps ou les phénomènes indépendamment de leur substance (et de la substance transformée en force). L’autre, la géométrie théorique, suit une marche inverse, et, partant de principes idéaux, absolus, crée des formes à l’infini et cherche à les faire coïncider avec les formes naturelles. La nature des raisonnements de la première est différente de la nature de ceux de la seconde ; l’une est inductive, l'autre déductive et syllogistique : celleci seule nous intéresse aujourd’hui : nous pouvons la définir ainsi :

La géométrie ( proprement dite) a pour objet les déterminations ou figures idéales de l’espace.

Il est bon à présent que nous récapitulions ici les principes qui précèdent, spécialement en vue de la géométrie,

Nous observons d’abord des faits géométriques, figures, propriétés, et nous les ramenons à quelques faits généraux; c’est la science d’observation. Puis de ces faits généraux , qui prennent alors le nom d'hypothèses, ou de postulats et d’axiomes, pour nous servir des termes de la géométrie actuelle , nous reformons ce monde de figures et nous en expliquons les lois. Ces hypothèses ont donc, comme le dit Drobisch(l), une valeur purement assertoire; ce sont des faits énoncés, supposés (posés en tête), et indémontrables, ne se rattachant à aucun autre fait plus général. On

( 1 ) Logique, 1851. Préface.

répugnera sans doute à regarder comme des hypothèses analogues à celles des autres sciences , quoique plus simples , les affirmations premières de la géométrie. Nous allons passer en revue et discuter les trois arguments que l'on peut nous opposer.

A. Si loin que remontent nos connaissances historiques , nous trouvons toujours en tête de la géométrie des axiomes semblables. Il ne paraît pas y avoir eu pour elle, succession d’hypothèses nouvelles à des hypothèses anciennes reconnues fausses. — Mais qui sait si autrefois, on n’a pas fondé les faits géométriques sur des principes qu’un homme de génie renversa ? Quand on croyait que les corps célestes se mouvaient en cercle, Aristote en trouvait la raison dans l’excellence et la perfection du mouvement circulaire; de même, si l’on avait remarqué le fait de la somme des trois angles du triangle égale à deux droits, ne peut-on pas avoir dit, par exemple : le triangle est la figure qui renferme le moindre nombre de cotés ; la somme de ses angles est donc le plus petit nombre possible de droits (4 ) 1

Il ne suffît pas qu’un principe nous apparaisse comme évident pour qu’il ait toujours été connu : ainsi les principes de la dynamique : l’action est égale à la réaction ; un corps persiste toujours dans le mouvement qu'on lui imprime; un corps soumis à une force unique se meut en ligne droite, n’ont été découverts que bien tard, et nous ne pouvons aujourd’hui nous rendre compte de

( 1 ) Ou encore : le cercle est la plus simple et la plus parfaite des figures , donc son rayon doit se porter six fois sur la circonférence , six étant le plus petit des nombres parfaits. — La métaphysique n’a que trop souvent employé des raisonnements de cette nature. — On Eait qu'un nombre parfait est égal la somme de ses facteurs : 6 — 1 + 2 -| 3 ; il est donc parfait.

ce retard. Cet argument prouve uniquement que les faits géométriques sont de nature à être plus tôt connus dans leur essence , et à ne pas admettre facilement deux explications ; de même que , lorsqu’il eut été bien établi que les corps célestes se meuvent dans des ellipses , on dut admettre forcément, pour ainsi dire, l’attraction. D’ailleurs, il est de fait que les principes arithmétiques ont été connus plus anciennement encore, parce qu'ils sont, à leur tour, plus simples que ceux de la géométrie.

B. Les principes de la géométrie sont évidents , au contraire des principes naturels , l’attraction , par exemple (argument de Whewell). — Qu’ils nous apparaissent comme plus évidents que ceux de l’astronomie, nous l’avons prouvé ; mais qu’ils soient absolument évidents, c’est une erreur psychologique. Nous citions tantôt les principes de la dynamique: ne nous semblentils pas aujourd’hui porter un caractère d'évidence absolue ? Et pourtant les temps modernes en ont vu la naissance. Si , comme il est probable , l’attraction se confirme de plus en plus , n’arrivera-t-il pas un temps où ce principe apparaîtra , sinon comme évident en luimême, du moins eomme la conséquence d’un autre plus évident encore ? C’est à ce point que nous attachons désormais invinciblement à l'idée de corps , celle de pesant , ce que ne faisaient pas les anciens. Et il s’est même rencontré des philosophes pour soutenir Y apriorité et Yévidence des principes de la dynamique , et même de l’attraction.

C. Y aurait-il possibilité , en partant d’hypothèses autres que les axiomes reconnus , de construire une science enchaînée , quoique fausse , comme il arrive dans les sciences dites naturelles ? — A cet argument force nous aurait été de répondre oui sans pouvoir

établir par le fait la justesse de notre réponse , s’il ne s’était pas trouvé quelqu’un qui s’est chargé de poser ce fait. Partant d’une idée qui avait été émise par Gauss , M. Lobatschewsky , recteur de l’université de Casan , a essayé de fonder une géométrie qu’il intitule imaginaire, dans la supposition que la soinyie des trois angles d'un triangle soit plus petite que deux droits. Il a développé ses idées dans une dissertation qu’on peut lire dans le journal de Crelle (1837 , page 295) ; mais l’auteur y renvoie à un ouvrage publié par lui cinq ans auparavant dans un journal de Casan, que nous n’avons pu nous procurer; il nous a été impossible ainsi déjuger, nous ne disons pas de la certitude de ses raisonnements qui semblent rigoureux, mais de la signification fondamentale de son hypothèse ( 1 ). Voici d’ailleurs les paroles de l’auteur en tête de sa dissertation :

« Après y (dans le journal de Casan) avoir développé une nouvelle théorie des parallèles, j’ai tâché de prouver que rien n’autorise, si ce ne sont les observations directes, de supposer dans un triangle rectiligne la somme des angles égale à deux angles droits , et que la géométrie n’en peut pas moins subsister, sinon dans la nature, du moins dans l’analyse, lorsque l’on admet l’hypothèse de la somme des angles moindre que la demi-circonférence du cercle. Dans les articles cités j’étais même parvenu, par des considérations toujours géométriques , et ne m’appuyant que sur cette nouvelle hypothèse, à donner

(1) Peut-être le triangle est- il projeté sur une surface particulière, ce qui expliquerait comment ses angles deviennent rigoureusement égaux à deux droits quand il est infiniment petit. Il est d’ailleurs facile de démontrer d'une façon tout élémentaire que , la somme des angles étant différente de deux droits, elle s’en rapproche quand le triangle diminue.

des équations fondamentales pour le rapport entre les côtés et les angles d’un triangle rectiligne. »

Et parmi les résultats fondamentaux de ces recherches se trouve le suivant :

«< Dans l’hypothèse de la somme des angles d’un triangle moindre que deux droits, les équations (f3) peuvent être substituées aux équations ordinaires (de la trigonométrie), sans mener à quelques résultats absurdes, » Un autre résultat, c’est que la somme des angles se rapproche de plus en plus d’être égale à deux droits, à mesure que le triangle diminue, et qu’elle est rigoureusement de deux angles droits quand le triangle a ses côtés infiniment petits (4 ).

( 1 ) Nous nous proposons d’établir autre part qu’il est impossible de construire une science parfaitement enchaînée dun bout à l'autre , en l'appuyant sur des prémisses fausses quelconques. Avant d'avoir connaissance de l’ouvrage de M. Lobatschewsky, connaissance trop incomplète malheureusement, nous avions cru nécessaire de réfuter l'opinion de Dugald Stewart par quelques faits :

1" Exemple. Si l’on admet que la somme des trois angles d’un triangle est plus grande ou plus petite que deux droits d’une quantité constante 3 , il suit immédiatement qu’elle est plus grande ou plus petite que deux droits d’une quantité 23, 33 , etc.; il C suffit pour cola de diviser le triangle ABC

en deux autres par une droite arbitraire CD; la somme des angles des deux petits A triangles est de quatre droits plus ou

muius 2 3, et retranchant les deux angles droits au point D, il reste pour la somme des angles A , B , C , deux droits plus ou moins 2 3.

2* Exemple. Si l’on admet que d’un point, on puisse abaisser deux perpendiculaires sur une droite, par une rotation de la figure autour de l’une d'elles , on prouve qu’on en peut abaisser trois , quatre , et ainsi de suite à l’infini.

3‘ Exemple. Si l’on admet qu’entre deux points , il peut y avoir deux lignes droites, on peut établir qu’il y en aune infinité; car

Les hypothèses admises, comment procéderons-nous à l’édification de la science? Nous avons dit que cette méthode était l 'expérience. Le chimiste, qui possède sa liste des corps simples, les combine deux à deux, trois à trois, et attend les réactions qui vont en résulter ; le géomètre , qui a des plans , des droites et des points, combinera, lui aussi, scs droites deux à deux , trois à trois , etc. ; il fera mouvoir un point à l’extrémité d’une droite pendant que l’autre extrémité passera par un autre point fixe, et il formera un cercle, etc. Puis, ces figures obtenues, il les mettra en présence les unes des autres, il placera des angles dans un cercle, des perpendiculaires dans un triangle , et il regardera ce qui se passe (1). C’est là X intuition de Kant :

entre deux quelconques des points de l’une des deux lignes droites on en peut aussi tirer deux, ce qui augmente indéfiniment le nombre des plus courts chemins.

11 est inutile de multiplier les exemples. Cela prouve à l’évidence que toutes les prémisses fausses ne sont pas bonnes à fonder une science qui s'enchaîne; et que cette fausseté même est soumise A des régies qui en font une espèce de vérité. Ce serait un problème trèsintéressant de rechercher ces règles.

( 1 ) Théodore. Mais si vous trouvez que ce que vos yeux vous ont appris est trop facile , en voici un autre plus difficile. Je vous prouve que le carré de la diagonale d’un carré est double de celui des côtés. Ouvrez les yeux , c’est tout ce que je vous demande. Regardez la figure que je trace sur ce papier. Vos yeux , Ariste, ne vous disentils pas que tous ces triangles a, b, c, il, e, f , g, h, i que je suppose, et que vous voyez avoir chacun un angle droit et deux lignes égales, sont égaux entre eux ? Or, vous voyez que le carré fait sur la diagonale A B a quatre de ces triangles, et que les carrés faits sur les côtés n’en ont que deux. Donc le grand carré est double des autres. — Arisle. Oui, Théodore. Mais vous raisonnez. — Théodore. Je raisonne! Je regarde, et je vois ce que je vous dis. Je raisonne, si vous voulez, mais c’est sur le témoignage fidèle de mes sens. Ouvrez seulement les yeux , et regardez ce que je vous montre. Ce triangle d égal à e,

De la définition du triangle et de la définition de la bissectrice d’un angle, vous ne tirerez pas que les trois bissectrices des angles d’un triangle se coupent au même point; il faut une construction. Le raisonnement, si raisonnement il y a, consiste toujours dans l’énumération des parties de la figure : ceci est un angle, cela une bissectrice, c’est-à-dire, une ligne équidistante des côtés, etc. De même, le chimiste se dit : j’ai mis là autant d’oxygène, le double d’hydrogène; j’ai maintenant de l’eau, donc, etc.

Mais, ne manquera-t-on pas de nous dire, votre expérience géométrique est de tout autre nature que les expériences des sciences naturelles : ici , il faut une précision minutieuse; là, au contraire, les figures les plus grossières suffisent. — Cette objection provient encore d’une erreur psychologique. Dans le principe, les constructions se font avec la plus grande exactitude , et ce n’est que peu à peu , et à mesure que nous voyons les résultats se vérifier , que nous prenons de plus en plus confiance en nos méthodes, et que nous laissons à l’imagination le soin de redresser les droites tortueuses, ou d’arrondir les cercles anguleux et aplatis. Ainsi le chimiste , après avoir établi , par des expériences multipliées, le rapport des volumes d’oxygène et d’hydrogène nécessaires pour former de l’eau, se contente plus tard, pour ses expériences démonstratives, d’un à peu près satisfaisant. De même encore, quand , par des essais répétés sur un grand nombre de corps ,

et c égal à b; et de l’autre part , d égal à /', et f égal à g. Donc le petit carré est égal à la moitié du grand. C’est la même chose do l’autre cùté. Cela saute aux yeux, comme vous dites.

Malledraxche ; Cinquième entretien sur la métaphysique. •

il est devenu oertain de l’objectivité de la loi des équivalents, dans la suite de scs épreuves sur les autres corps, il se départ de sa précision scientifique, et corrige par induction, ce que ses expériences peuvent avoir d’incomplet et d’inexact. En un mot, la science, géométrique ou physique ou chimique, idéalise le sujet de l’expérimentation.

On nous objectera encore que la construction n’est pas toujours possible même idéalement; ce qui est le cas, par exemple, pour les aires hyperboliques qui sont entre elles comme les logarithmes des abscisses. Mais la démonstration de cette vérité est du ressort de l’algèbre et non plus de la géométrie synthétique, et l’expérience en est le principe, quoiqu’elle no soit pas de même nature en algèbre qu’en géométrie, et qu’elle y consiste essentiellement dans la comparaison pure et simple de deux grandeurs.

Arrêtons-nous un instant ici, Je suppose que j’aie ramené la proposition que les trois angles d'un triangle font deux droits à la comparaison de ces deux quantités, 5 -j- 7 et 112. Or, l’égalité à vérifier, à savoir : 5 7 = 12,

n’est possible que si je place S à côté de 7, si je les ajoute, si j’en fais une somme; et voilà oü gît l’opération expérimentale, voilà l’intuition, rendant possible le jugement synthétique, comme dit Kant(l). J’ai beau voir 5 et 7 séparément, je n’en tire pas qu’ils font 12 ; pour cela il faut que je les rapproche ; et cette opération n’est pas un raisonnement, mais une expérience. De même, j’aurai beau examiner l’hydrogène d’une cloche

( 1 ) Plusieurs auteurs, disposés à admettre ce que dit Kant sur les jugements de la géométrie, ne souscrivent pas à ce qu’il dit sur ceux de l’arithmétique. Nous croyons ici renforcer les arguments •apportés dans la Critique de la raison pure.

et l’oxygène d’une autre cloche, je ne devinerai pas qu’ils sont susceptibles de former de l’eau , il faut que je les combine. Or, cette possibilité de démontrer une vérité géométrique par une autre voie que la voie directe, que l’expérience directe (toujours idéale), n’est pas propre à la géométrie , comme le croiraient quelques-uns. Est-ce qu'on voit directement que les corps s’attirent? Est-ce qu’on mesure directement la longueur de l’ondulation d’une molécule lumineuse? Est-ce qu’on détermine directement l’équivalent du fluor? Est-ce directement même qu’on se fait une idée du travail qui s’opère dans une combinaison? Non, et, comme nous l’avons établi dans notre dérivation des sciences , ces mesures indirectes sont possibles par cela précisément que les principes des sciences les plus simples, sont au nombre de ceux des plus compliquées; et comme toutes les vérités se tiennent, qu’elles forment un réseau dont chaque maille est nécessaire à l’existence de toutes les autres, la connaissance directe de l’une rend possible la connaissance indirecte de l’autre. Nous ne voulons donc pas dire qu’il n’y a que l’expérience géométrique qui puisse établir les vérités géométriques.

Que ceux enfin qui, malgré ce qui précède, refuseraient de reconnaître une méthode expérimentale (1) dans les démonstrations géométriques , comparent la manière dont on établit ces deux vérités : la terre est ronde, et la figure où les angles sont proportionnels aux arcs est un cercle.

Dans le premier cas , l’observateur se promène le long d’un méridien en fixant une étoile , et remarque

(1) Voir, dans le livre suivant, la citation d’un passage de M. Chasles sur l’analyse et la synthèse , où ce terme est aussi employé.

que l'élévation de l’étoile augmente proportionnellement au chemin qu’il décrit en avançant vers le pôle. C’est bien là une expérience ; mais n’est-ce pas aussi le même raisonnement que l’on fait pour établir que la ligure qui jouit de la propriété énoncée est un cercle? Ne montrerai-je pas ici qu’à mesure que je m’éloigne d’un point lixe sur une circonférence , l’arc décrit est proportionnel à l’angle que fait le rayon passant par ce point lixe, avec celui qui passe par le point où je suis?

La science est maintenant édiiiéc : quel est le fondement de notre certitude à son égard ? La question est double. Si l’on veut demander par là le fondement de la certitude subjective , du caractère apodictique des résultats de la science , nous répondons que c’est l’abstraction première qui a servi de point de départ , abstraction qui emporte avec elle l’universalité des résultats qu’on mettra au jour. Si , au contraire , on entend par là la certitude objective, la certitude de la vérité de la science , cette certitude ne peut reposer que sur la vérification, la comparaison des phénomènes idéaux avec les phénomènes réels , les observations directes , comme dit M. Lobatschewsky. S’il n’y a pas concordance essentielle , et si le système est bien construit , le système est faux de la base au sommet. Nous disons donc avec Mill qu’on suppose qu’il y ait des choses qui correspondent aux objets de nos idées; mais nous ajoutons , et c’est le cas pour la géométrie, que des objets correspondent à nos idées, quand les prémisses de la science sont elles-mêmes des objets , quelles sont tirées des choses, et non arbitraires.

II nous reste à examiner, en quelques mots , le fondement que M. Ueberweg et d’autres donnent à la certitude mathématique.

Pour cc qui regarde la certitude subjective de l’universalité des propositions géométriques, voici la théorie du premier : quand un corps se meut, dit-il, ce qui change c’est le lieu. Comme différents lieux peuvent être occupés par le même corps sans que nous voyions qu’il en soit altéré , les lieux nous apparaissent homogènes, et l’ensemble des lieux homogènes est ce que nous nommons espace. D’oii cette conséquence = ce qui est démontré vrai ici, est vrai là.

Mais cette conviction sur l'homogénéité de l’espace est empirique; proprement, le vrai là est tout subjectif; pour qu’il fût objectif, il faudrait que l’espace fût là de même nature qu’tct , et ce ne peut jamais être qu’une induction plus ou moins fondée , par exemple , sur ce qu’il nous semble que, même autour de Jupiter, les satellites se meuvent dans un espace homogène.

Quant à la certitude objective , les auteurs dont nous parlons en placent le fondement , les prémisses étant hypothétiquement admises , dans l’accord des conséquences entre elles, et avec les données de l’expérience quand la construction est possible.

Sur ce dernier point nous nous trouvons parfaitement de leur avis (1 ). Mais quant à la première partie de leur réponse , nous avons , en plusieurs endroits , montré l’erreur qui s’y trouve.

D’où est tiré ce principe, que quand les conséquences

(1) Seulement, il ne faut pas confondre ce qu’ils entendent par expérience, c’est-à-dire, la vérification au moyen de constructions réelles , avec notre expérience idéale à nous, c’est-à-dire, la combinaison arbitraire de certaines données. L'expérience idéale, en tant qu’elle découle des prémisses , est vraie et sûre ; mais les constructions réelles peuvent seules donner une vérité objective aux lois idéales que je découvre.

ti

sont d’accord enlrc elles, les prémisses sont vraies? La déduction rigoureuse d’un système ne prouve rien quant à la vérité des prémisses. L'astronomie de Ptolémée et celle de Tycho-Bralié , la géométrie imaginaire de Lobalschevvsky , des parties entières de la physique mathématique , telles que la théorie du magnétisme d Ampère , sont là pour inlirmer la valeur absolue de ce critérium.

LIVIIE II.