LOGIQUE ET MÉTHODOLOGIE SPÉCIALES DE LA GÉOMÉTRIE

Ce chapitre se divise en trois paragraphes : dans le premier , nous donnons les règles du raisonnement au point de vue spécial de la géométrie; dans le second, nous nous occupons de la systématisation de la science ; le troisième enfin est consacré à la recherche d’un critérium formel de certitude.

g t. — DE LA FORME DES RAISONNEMENTS EN GÉOMÉTRIE.

Syllogisme par substitution.

Les lois du raisonnement géométrique sont , comme on sait , celles du syllogisme par substitution , que résume la proposition suivante :

Deux quantités égales à une même troisième sont égales entre elles.

Proposition synthétique, forme pure de la synthèse, car elle me permet d’ajouter à A l’attribut C , quand je lui connais l’attribut B et que je sais que B possède l’attribut C.

La plupart des axiomes d’Euclide ne sont que des cas particuliers de celui-là ; ainsi , par exemple : Quand de deux quantités égales on retranche des quantités

égales, les restes sont égaux, et toutes les transformations logiques de cette proposition.

Cet axiome est, disons-nous, la forme pure du raisonnement géométrique ; il ne peut donc servir à établir des vérités particulières , comme on a l’air de le croire généralement. Quand j’ai les deux équations A = B et B = C, ce n’est pas en vertu de V axiome que j’en tire A = C , car l’axiome n’est pas en lui-même plus évident que le cas particulier auquel il s’applique. Carnéades qui nie que A = C , nie à plus forte raison l’axiome (1).

Des réciproques et des inverses

Les réciproques et les inverses ne sont que des applications particulières des règles de la conversion çt de la contraposition des jugements (2 V On les confond souvent les unes avec les autres et avec les démonstrations par l’absurde. Etant données une proposition et sa conséquence, la réciproque consiste à prouver que, la proposition n’existant pas, la conséquence n’existe pas; l’inverse, à prouver que, la conséquence existant, la proposition principale existe. Si je dis, par exemple : Quand le soleil donne sur la pierre, celle-ci s’échauffe ; la réciproque serait : Quand le soleil ne donne pas sur la pierre, celle-ci ne s’échauffe pas; et l’inverse : Quand une pierre s'échauffe, c’est que le soleil donne dessus.

( 1 ) Bayle. Dictionnaire historique ; article Carnéades , C.

(2 ) Les théorèmes que nous allons exposer, se trouvent en partie dans un ouvrage de Hauber, publié en 1829; Drobiach les cite dans sa logique, sans les faire servir au môme objetque nous, et sans leur donner la même extension.

Enfin» il y a encore la réciproque de l’inverse ou l'inverse de la réciproque, qui découle toujours logiquement de la première affirmation, et qui est : Quand une pierre ne s’échauffe pas , c’est que le soleil ne donne pas dessus.

Quant aux démonstrations par l’absurde , elles sont en général composées de trois membres disjonctils, par exemple : A est égal à B , car il n’est ni plus grand ni plus petit que B. La réciproque consiste simplement à montrer que A n’est pas inégal à B. Mais qui ne voit que, dans ce cas . la réciproque n’est possible que par l’absurde? Quelques auteurs, emportés par un zèle inconsidéré, ont rejeté les démonstrations par l’absurde, sous prétexte qu’elles démontraient, non la vérité, mais la fausseté de l’erreur. 11 n’est cependant pas raisonnable de vouloir priver l’esprit humain d’un de ses modes les plus puissants de démonstration.

Nous ne donnerons les théorèmes généraux que pour les inverses et les réciproques, laissant au lecteur le soin d'étendre cette théorie aux démonstrations par l’absurde.

Prémisses. On suppose que S ne puisse être que a ou b; et que S' ne puisse être que a' ou b'.

1. Théorème. Si, quand S — a, on a toujours S 1 — a' , et réciproquement, si, quand S = è, on a toujours S' — fc' ;

Alors inversement , quand S 1 = fl', on a toujours S = a, et réciproquement , quand S' = b’, on a toujours S — b.

Démonstration. Car si, quand S 1 — a 1 , on avait S = è, l’hypothèse donnerait S' == b’ et non S' = a'. De même, si, quand S ' — b 1 , on avait S — en vertu de l’hypothèse , on aurait S’ — a' et non S' — b'.

II. Théorème. Si, quand S — a, on a toujours S' — a', et inversement , si, quand S' = a ’ , on a toujours S = a ; , Alors réciproquement, quand S=b,on a toujours S

et inversement , quand S' = b’, on a toujours S — b.

Démonstration. Si, quand S— b, S 1 était égal, non à V , mais à a', dans ce cas, en vertu de l’hypothèse, S serait égal à a et non à 6. De même , si quand S — V, S était égal à a et non à b , en vertu de l’hypothèse , S' serait égal à a> et non à b'.

III. Théorème. Si, quand S' — a', on a toujours S — a, et réciproquement , si, quand S' = b 1 , on a toujours S = b ;

Alors inversement, quand S —a, on a toujours S’=ai, et réciproquement , quand S — b, on a toujours S' == b’.

IV. Théorème. Si, quand S — b, on a toujours S' — b', et inversement , si, quand S ' — b' , on a toujours S — b;

Alors réciproquement , quand S = a , on a toujours S' = a', et inversement, quand S\— a', on a toujours S — a.

La démonstration de ces deux théorèmes est la même que celle des précédentes.

En résumé, la prémisse peut donner matière à quatre propositions :

1. Quand S = a, on a 8’ = a'; proposition que nous nommerons principale.