CHAPITRE L

§ I. — Sur le prisme et plus particulièrement sur le parallélipipède.

437. Deux prismes triangulaires sont égaux lorsqu'ils ont leurs faces latérales égales chacune à chacune et semblablement disposées.

438. Deux prismes sont égaux lorsqu'ils ont un angle dièdre égal compris enlre une base et une face latérale» égales chacune à chacune et semblablement disposées.

439. La surface latérale d'un prisme a pour mesure le périmètre de sa section droite, multipliée par son arête latérale.

440. Dans tout prisme triangulaire, Taire de la plus grande face latérale est plus petite que la somme des deux autres.

441. Si la base ABC d'un prisme triangulaire ABCA'B'C est rectangle en A, le carré de la face qui a pour côté l'hypoténuse BC est égal à la somme des* carrés des deux autres faces.

Remarque. — Cette proposition tient à ce que les faces du prisme sont proportionnelles aux côtés de la base.

442. Dans tout parallélipipède, les angles dièdres opposés sont égaux et les angles trièdres opposés sont symétriques.

443. Couper un parallélipipède par un plan, de manière que la section soit un losange.

kkk. Les diagonales d'un parallélipipède rectangle sont égales. Réciproquement, si les diagonales d'un parallélipipède sont égales, ce parallélipipède est rectangle. (Pour démontrer cette réciproque, on peut remarquer que la pyramide, formée en joignant le point d'intersection des diagonales aux sommets d'une face quelconque ABCD, a une base Inscriptible dans un cercle, et que, par suite, ABCD est un rectangle.)

y^B. Dans tout prisme quadrangulaire, la somme des carrés des arêtes est égale à la somme des carrés des diagonales, plus huit fois le carré de la droite qui joint le milieu de deux de ces diagonales au milieu des deux autres. Application au parallélipipède.

446. La somme des distances des sommets d'un parallélipipède à un plan, qui lui est extérieur, est égale à huit fois la distance du point d'intersection des diagonales au même plan.

447. Quel est le lieu des points d'un plan, tels que la somme des carrés des distances de chacun d'eux aux sommets d'un parallélipipède soit égale à un carré donné? Condition de possibilité du problème.