CHAPITRE IJ
§ I, II el III. — Sections planes et plan tangent. — Pôles d'un cercle. Polyèdres inscrits et polyèdres circonscrits à la sphère.
542. Par un point pris hors d'une sphère on peut mener à celle sphère une infinité de tangentes. Toutes ces tangentes sont égales et le lieu des points de contact est une circonférence dont le plan est perpendiculaire à la droite qui joint le point donné au centre de la sphère et dont le centre est sur celte droite.
Remarque. — Cette circonférence est la ligne de contact entre la sphère et la surface conique formée par toutes ces tangentes.
S&3. Par une droite donnée, mener un plan tangent à une sphère donnée.
544. Les plans qui touchent deux sphères extérieurement rencontrent la ligne des centres au même point. Il en est de même des plans qui touchent deux sphères intérieurement. Ces deux points sont les centres de similitude directe et de similitude inverse des deux sphères.
545. Par un point donné, mener un plan tangent à deux sphères données.
546. Lapluspetiteetlaplusgrandedroitequ'on puisse mener d'un point à la surface d'une sphère sont situées toutes deux sur la droite qui passe par ce point et par le centre de la sphère.
Remarque, — Au moyen de cette proposition on peut démontrer que deux sphères sont tangentes extérieurement, ou extérieures l'une à Tautre, ou tangentes intérieurement, ou intérieures l'une à l'autre, ou sécantes entre elles, selon que la distance des centres est égale à la somme des rayons, ou plus grande que cette somme, ou égale à la
l38 QUESTIONS PROPOSÉES.
différence des rayons, ou plus petite que cette différence, ou à la fois plus petite que la somme des rayons et plus grande que leur différence, et réciproquement.
547. Décrire sur une sphère un petit cercle distant du centre de la sphère d'une longueur donnée. (On décrit sur un plan une circonférence de grand cercle, on mène un rayon OA, on prend sur OA une distance OB égale à la longueur donnée, par le point B on mène une corde CD perpendiculaire à OA, on joint le point A au point C et la distance AC est le rayon sphérique demandé.)
548. Décrire sur une sphère un petit cercle dont la surface soit égale à la moitié de la surface d'un grand cercle.
549. Quel est le lieu des centres des sections faites dans une sphère par des plans passant par une droite donnée ? Par des plans passant par un point donné ?
550. Quel est le lieu des points de l'espace tels, que la somme des carrés des distances de chacun de ces points à deux points fixes soit égale à un carré donné?
551. Quel est le lieu des points de l'espace dont les distances à deux points fixes soient entre elles dans un rapport donné?
552. Quel est le lieu des points d'une sphère, dont les distances à deux points donnés sont dans un rapport donné?
553. Les volumes V, V de deux polyèdres circonscrits à la même sphère sont entre eux comme les surfaces S, S' de ces polyèdres.
Remanjue. — Rapprocher cette question de la question 363.
§ lY. — Sur les surfaces de la zone et de la sphère.
554. Trouver le rayon d'une sphère dont la surface soit équivalente à la somme ou à la différence des surfaces de deux sphères données. Qui soit équivalente au f de la surface d'une sphère donnée.
LITRB VJI. — CHAPITRE H. iSg
655. Trouver le rayon d'une sphère dont la surface soii à celle d'une sphère donnée comme m est à n.
656. Couper une sphère par un plan de manière que les deux zones soient entre elles dans le rapport de m à «. La couper par deux plans parallèles, de manière que les trois zones qui en résultent soient entre elles comme les nombres ou les droites m^n^p,
557. Couper une sphère par un plan tel, que la surface d'un grand cercle soit moyenne proportionnelle entre les deux zones que ce plan détermine.
558. Couper une sphère par un plan qui divise sa surface en moyenne et extrême raison.
559. Une zone sphérique à une seule base est équivalente au cercle qui a pour rayon la corde de l'arc qui engendre la zone.
660. On donne une demi-circonférence quia pour diamètre AD et l'on demande de mener par le point A une corde AC telle que, si l'on fait tourner la figure autour de AD, la zone engendrée par Tare AC soit dans un rapport donné K avec la surface latérale du cône engendré par la corde AC. (En vertu de la question précédente, la zone engendrée par l'arc AC a
pour mesure tt AC et la surface latérale du cône engendré par la corde AC a pour mesure ttBC.AC, BC étant la perpendiculaire abaissée du point C sur le diamètre; ainsi, d'après la condition du problème, on doit avoir
TTAC r^: K.TtBC.AC,
ou
(i) AC = K.BC,
équation qui contient deux inconnues AC, BC.
Maintenant, d'après la figure donnée, on a cette seconde équation
BC' = AB(2R — AB;, ou
