Si Ton divise une demi-circonférencè en trois parties

l4a QUESTIONS PROPOSÉES.

égales et qu'on la fasse tourner autour de son diamètre, la zone engendrée par l'arc du milieu est équivalente à la somme des zones engendrées par les deux arcs extrêmes.

673. Circonscrire à une sphère, de rayon donné R, un tronc de cône dont la surface soit égale à celle de la sphère de rayon donné IV.

574. Étant donnée une sphère, on prolonge un rayon d'une longueur égale à lui-même ; quelle fraction de la surface de la sphère aperçoit-on, Tœil étant placé à l'extrémité du prolongement du rayon?

575. Calculer la surface d'une calotte sphérique vue par un observateur placé à une distance R H- A du centre d'une sphère de rayon R.

576. Exprimer la surface de la sphère en fonction de la circonférence C d'un grand cercle.

577. En regardant le globe de la Terre comme étant une sphère et sachant que la circonférence d'un grand cercle est égale à ^o millions de mètres ou à 4^0 myriamètres, trouver sa surface exprimée en myriamètres carrés.

578. A quelle hauteur doit-on s'élever au-dessus de la Terre pour apercevoir une fraction - de sa surface ?

Sur les volâmes du secteur sphérique et de la sphère. ~ Sur le volume engendré par un segment circulaire. — Sur le segment sphérique.

579. On sait que le volume engendré par un triangle ABC, tournant autour d'un axe xy mené dans son plan et par un de ses sommets A, a pour mesure la surface engendrée par le côté BC opposé à ce sommet, multipliée par le tiers de la hauteur AD qui correspond au même côté. Déduire de là que ce volume a aussi pour mesure la surface du triangle ABC multipliée par la circonférence que décrit le centre de gravité de ce triangle.

LHEB VII. — CHAPITRE II. l43

580. Si un triangle tourne successîvemenl autour de deux de ses côtés, quelle condition doivent remplir ces côtés pour que les deux volumes engendrés soient équivalents?

581. Un triangle scalène tourne successivement autour de ses trois côtés; quel sera le plus grand des trois volumes engendrés ?

582. Un triangle ABC tourne autour d'un axe situé dans son plan et passant par le sommet A ; déterminer la position qu'il doit occuper par rapport à l'axe pour que le volume qu'il engendre soit le plus grand ou le plus petit possible. Pour que ce volume soit équivalent à celui d'une sphère donnée.

583. Dans un triangle ABC on mène une médiane AM et l'on fait tourner la figure autour du côté AC ; trouver le rapport des volumes engendrés par les deux triangles ABM, ACM.

584. Dans un triangle ABC on mène une droite DE parallèle au côté BC et l'on fait tourner la figure autour d'un axe passant par le sommet A ; trouver le rapport des volumes engendrés par les triangles ABC, ADE.

585. Les côtés d'un rectangle ABCD ont pour longueur a et 6 ; calculer le volume engendré par la révolution de ce rectangle autour d'un axe passant par le sommet A et perpendiculaire à la diagonale AC.

586. Un demi-décagone régulier tourne autour du diamètre du cercle circonscrit; trouver le volume engendré par ce demi-décagone, en fonction du rayon du cercle inscrit.

587. Etant donnés un cercle de rayon R et un point dont la distance au centre est égale à d^ on mène par ce point une tangente AM et un diamètre BC et l'on joint le point de contact au centre 0. Calculer le volume engendré par le triangle rectangle MOA ainsi formé. De plus, calculer le volume engendré par le triangle mixtiligne MBA.

588. Calculer les deux côtés 6, c, de l'angle droit d'un triangle rectangle, connaissant l'hypoténuse a et sachant que le volume engendré par la révolution du triangle autour de l'hypoténuse est égal au volume d'une sphère de rayon R.

l44 QUESTIONS PROPOSÉES.

589. Inscrire dans un demi-cercle un triangle rectangle leU que les volumes engendrés par ce triangle et par le demicercle, en tournant autour du diamètre, soient entre eux dans un rapport donné.

590. Étant donnés le rayon R de la base d'un cône et sa hauteur A, à quelle distance x du sommet faut-il mener un plan parallèle à la base pour que le volume du tronc de cône ainsi déterminé soit égal au double du volume de la sphère ayante pour diamètre.

591. Lorsque la hauteur d'un tronc de cône est égale à quatre fois la différence des rayons des bases, le volume de ce tronc est égal à la différence des volumes de deux sphères ayant pour rayons les rayons de ces mêmes bases.

592. La hauteur d'un cône circonscrit à une sphère esi double du diamètre de la sphère ; démontrer que son volume est double de celui de la sphère et que la surface totale du cône est aussi double de celle de la sphère.

593. Le volume compris entre deux sphères concentriques est égal à quatre fois le tronc de cône qui aurait pour hauteur la différence des rayons des deux sphères et pour bases les cercles décrits avec ces mêmes rayons.

594. Inscrire dans une sphère un cylindre dont le volume soit un maximum. Un cône dont le volume soit un maximum.

Remarque, — Pour ces questions on suppose qu'on ait vu en Algèbre la théorie des maxima et des minima,

595. Étant donné un demi*cercle dont le diamètre est AB, mener une corde AC telle, que les volumes engendrés par le segment circulaire AMC et par le demi-cercle soient entre eux dans un rapport donné. En supposant que la corde AC ait une longueur constante et qu'elle se meuve, en restant constamment inscrite dans le demi-cercle, quelle doit être la position de cette corde pour que le volume engendré par le segment AMB soit maximum ou minimum?