LIVRE I. — CHAPITRE Y. ^I

Les arcs de même rang, à partir des extrémités de la corde, sont égaux entre eux; mais, selon que la corde AB est divisée en 2 m ou 2 m -h I parties égales, les m ou les m -h i arcs qui se succèdent à partir de l'une des extrémités de la corde sont de plus en plus grands. (D'abord on voit que les arcs de même rang à pariir de A et B sont égaux, en concevant qu'on mène le diamètre perpendiculaire sur la corde AB et qu'on rabatte l'une des demi-circonférences sur l'autre.)

Ensuite, pour fixer les idées, supposons que la corde AB ait été divisée en sept parties égales, AC, CD, DE, EF, ..., et, par conséquent, que l'arc AB ait été divisé en sept parties AC, CD', D'E', E'F', ..., l'arc CD', par exemple, sera moindre que le suivant D'E', ce qui revient à démontrer qu'on a l'angle COD< DOE.

Or, dans le triangle COE, le côté OC est plus grand que le côté OE et la droite OD est une médiane;' donc, d'après la question 26, on a l'angle COD< DOE.

110. Diviser un angle droit ykx en trois parties égales. (Du sommet A comme centre, avec un rayon quelconque AB, on décrit un arc BC, compris entre les côtés de l'angle et du point B comme centre, avec le rayon BA, on décrit un second arc de cercle qui coupe le premier au point D; alors le triangle ABD est équilaléral et l'angle BAD == - de droit, etc.)

Remarque, — D'après ce problème, il est facile de diviser un angle droit en 6, 12, 24, ... parties égales.

On verra dans le Livre lY comment on peut diviser un angle droit en 5, en i5 parties égales.

§ III. — Sur les contacts.

Observation, — Une droite est déterminée par deux quelconques de ses points et la circonférence par trois de ses points; pour cela, on dit qu'il faut deux conditions ou deux données pour déterminer une droite et qu'il en faut trois pour déterminer une circonférence.

Une droite est déterminée lorsqu'on connaît l'un de ses points et qu'elle doit être perpendiculaire ou parallèle à une droite donnée; donc chacune de ces conditions peut remplacer un point donné sur la droite et elle compte pour une condition.

Si une droite doit passer par un point extérieur à une circonférence

et être tangente à cette circonférence, cette condition de contact compte aussi pour une condition. Dans ce cas, la droite n'est pas tout à fait déterminée, puisqu'on peut mener par le point deux tangentes à la circonférence; mais on est censé n'en considérer qu'une, l'autre offrant une seconde solution du problème et le nombre des solutions étant limité.

De même, une droite est regardée comme déterminée lorsqu'elle doit être tangente à deux cercles donnés, etc.

Une circonférence est déterminée lorsqu'on connaît l'un de ses points et le centre : ainsi la donnée du centre équivaut à deux conditions; elle est aussi déterminée par deux de ses points et son rayon, d'où il résulte que le rayon équivaut à une condition, etc.

Remarque, — Un triangle est déterminé par trois de ses éléments ou par trois conditions [voir nos Éléments, ^ote 16, Rem, II); mais un triangle ABC est aussi déterminé lorsqu'on connaît la base BC, un des angles à la base et l'égalité AB + AC = m, m étant une longueur donnée; ainsi l'égalité équivaut à un élément donné, etc.

Si l'on veut construire un triangle ABC, connaissant seulement deux de ses éléments, BC, BA, par exemple, et en supposant que le côté BC soit donné de position, l'on pourra construire une infinité de triangles remplissant les deux conditions données et pouvant varier d'une manière, continue, en môme temps que l'angle B ; alors chacun des points de la figure mobile décrira un lieu géométrique, et le sommet A, en particulier, décrira une circonférence. Il en sera de même toutes les fois qu'on se bornera à construire un triangle assujetti seulement à deux conditions données.

Si l'on donnait la base BC de grandeur et de position et l'égalité AB-h AC = m, m étant une longueur donnée, le lieu des sommets A serait une courbe appelée ellipse.

De même, si pour construire un quadrilatère ABCD on ne donne que les trois côtés AB, BC, CD et la diagonale AC, le quadrilatère est indéterminé. Alors, après avoir construit le triangle ABC, si l'on fait varier le quadrilatère, les lieux géométriques du quatrième sommet D, du milieu de la diagonale BD, du milieu de la droite, qui joint les milieux des diagonales, sont des circonférences.

Maintenant, revenons aux questions proposées.

Jll. Étant données deux circonférences, mener une droite tangente à la première et coupant la seconde de manière que la corde interceptée soit égalée une longueur donnée; coupant les deux circonférences, de manière que les cordes interceptées soient respectivement égales à deux droites données.

112. Étant données une circonférence et une droite extérieure, déterminer sur la droite un point tel, que les tan-