OP.OP' = R

De là il résulte que, si la distance OP diminue, la distance OP' augmente ;

NOTE !• ig3

que OP =^ OP', si le point P est situé sur la circonférence ; donc la polaire d'un point de la circonférence est la tangente en ce point,

Remarque II. — Réciproquement, lorsqu'une droite MP' a pour pôle le point P, c'est-à'dire lorsqu'on a l'égalité OP.OP' = R", si d'un point quelconque de MP' on mène deux tangentes MA, MB, la ligne AB menée par les points de contact ou la corde des contacts passera constamment par le pôle P. Car, en désignant par P'' le point d'intersection de AB avec la droite OP', perpendiculaire à MP', on doit avoir

OP".OP' = R*; donc OP" = OP.

Problème II. -— O/i donne une corde AB (Jig. a6) dans un cercle 0, et d'un point quelconque C de Parc ACE on abaisse sur AB une perpendiculaire CD; puis du point C F*S' '^^*

comme centre, avec le rayon CD, on décrit un cercle^ et des points A, B o/? mène à ce cercle des tangentes qui se coupent en M. Quel est le lieu des points tels que M?

Si le point C se confond avec le point A, on voit que le point A est un point du lieu cherché, et il en est de même du point B; d'ailleurs, les trois points A, B, M ne sont pas en ligne droite et l'on peut conclure que le lieu demandé est une circonférence ou une partie de circonférence.

En effet, soient E et F les points de contact des tangentes AM, 6M et menons les droites AC, CE, BC, CF; les deux triangles rectangles CAD, CAE seront égaux ; donc l'angle CAD = CAE et par conséquent l'angle MAB= aCAB, de même l'angle MBA = 2CBA. Or l'angle CAB a pour mesure \ CB et l'angle CBA a pour mesure -J CA ; donc la somme des angles MAB et MBA a pour mesure l'arc ACB, et d'ailleurs cet arc est aussi la mesure de l'angle au centre AOB ; donc on a la relation

MAB -h MBA = const. = AOB;

donc le lieu cherché est l'arc du segment décrit sur la droite AB, capable de l'angle 1 80*— AOB.

Remarque. — Nous laissons aux élèves le soin de chercher ce que devient le lieu en question : i** lorsque l'arc ACB est égal à une demi-circonférence ; 2^ lorsqu'il est plus grand qu'une demi-circonférence; 3** lorsqu'il est égal à une circonférence entière.

Si le point C était un point quelconque des deux arcs sous-tendus par la corde AB, le lieu serait la circonférence circonscrite au triangle OAB.