SLR DIFFÉRENTES MÉTHODES POUR RÉSOUDRE DES PROBLÈMES

Les problèmes de Géométrie peuvent se diviser d'abord en deux classes. La première comprend des problèmes graphiques ou de construction^ et dans la seconde il s'agit de trouver un nombre au moyen de nombres donnés ou une relation entre certaines quantités. Mais les problèmes de cette seconde classe sont des questions d'Arithmétique ou d'Algèbre qui se rattachent à la Géométrie et nous nous occuperons seulement des problèmes graphiques.

Ces problèmes consistent, en général, à construire sur un plan une figure satisfaisant à des conditions données, et alors il peut se présenter deux cas :

I** Il peut se faire qu'une certaine figure soit donnée en grandeur et en position, et qu'il s'agisse d'y joindre une seconde figure d'après des conditions données.

Cette seconde figure est ordinairement une ligne droite, ou une circonférence, ou un triangle, ou un point.

a'* Ou bien les données du problème sont seulement connues en grandeur. Elles consistent à indiquer les éléments essentiels de la figure cherchée et cette figure doit être construite de toutes pièces.

Dans ce second cas, on construit d'abord une portion de la figure cherchée avec quelques-uns des éléments donnés, ce qui peut se faire ordinairement de plusieurs manières, et l'on retombe dans le premier cas.

Nous nous bornerons donc à considérer des problèmes qui rentrent dans le premier cas et nous allons indiquer quelques méthodes pour les résoudre.

Méthode des substitutions successives, — Elle consiste à substituer au problème proposé un second problème, en remplaçant l'une des conditions exigées par une condition équivalente^ c'est-à-dire telle que le second problème admette absolument la même solution ou les mêmes solutions que le premier ; puis au second problème on cherche à en substituer un troisième, etc., jusqu'à ce qu'on arrive à un problème dont la solution soit évidente ou simplement connue. De cette manière, la marche que l'on suit est comparable à celle qu'on emploie pour la résolution des équations. Exemple :

Problème. — Étant données une circonférence et une droite xy, mener à la circonférence une tangente qui fasse avec xy un angle donné o.

NOTE II. igS

Supposons le problème résolu et soit AB la droite tangente à la circonférence au point A et faisant avec xy l'angle AB j égal à l'angle donné ; alors de ce que l'angle ABj = «p il s'ensuit que la direction de AB est déterminée et qu'elle est parallèle à une droite quelconque CD, faisant avec xy l'angle CDj égal à (p ; ainsi le problème est ramené à celui-ci : Étant donnée une circonférence 0, mener à cette circonférence une tangente parallèle à une droite donnée CD.

Maintenant, puisque la droite AB est tangente à la circonférence au point A, le rayon OA est perpendiculaire à AB et par conséquent à sa parallèle CD ; donc, en abaissant du centre une perpendiculaire OE sur CD, elle passera par le point de contact A et la question revient à ce problème résolu dans les Éléments : Par un point donné sur une circonférence, mener une tangente à cette circonférence,

La droite OE rencontre la circonférence en un second point A' et la tangente à la circonférence au point A' sera une seconde solution du problème.

En résumé, on peut remarquer que ce problème exige qu'on sache résoudre ceux-ci :

i. Étant donnée une droite, tracer une seconde droite qui fasse avec la première un angle donné,

2. D'un point donné hors d^une droite abaisser une perpendiculaire sur cette droite,

3. Par un point donné sur une circonférence^ mener une tangente à cette circonférence.'

Méthode des lieux géométriques. — La plupart des problèmes de Géométrie se ramènent en définitive à la détermination d'un ou de plusieurs points.

Si le point qu'on se propose de déterminer se trouve déjà sur une des lignes de la figure donnée, on cherche à reconnaître si ce point ne doit pas aussi être situé sur un certain lieu géométrique (qui doit être une ligne droite ou une circonférence), et s'il en est ainsi, le point d'intersection de ce lieu avec la ligne de la figure sera le point cherché. Par exemple, supposons qu'on veuille mener par un point A, donné hors d'une circonférence 0, une tangente à cette circonférence ^ on voit qu'il suffit de déterminer le point de contact M. Or, si l'on joint ce point au centre et au point A, l'angle OMA est droit et par conséquent le point M est situé sur la circonférence décrite sur la droite OA comme diamètre ; donc le point M sera déterminé par l'intersection de cette seconde circonférence avec la première.

Si le point cherché, auquel on ramène la résolution d'un problème, n'est pas situé sur une ligne de la figure donnée, on cherche à le déterminer par l'intersection de deux lieux géométriques.