MÉTHODES POUR RÉSOUDRE DES PROBLÉIHES DE GÉOMÉTRIE

Par exemple, supposons qu'on veuille décrire une circonférence passuntpar trois points donnés A, B, G, on voit facilement que ce problème revient à déterminer le centre de la circonférence ; c'est-à-dire un point également distant des trois points donnés. Or, si on laisse de côté la condition qui exige que la circonférence passe par le point C, le centre n'est plus déterminé; mais il doit être situé sur le lieu des points également distants des points A et B ou sur la perpendiculaire élevée sur le milieu de la droite AB. De même, si Ton fait abstraction du point A, le centre doit se trouver sur la perpendiculaire élevée sur le milieu de la droite BG; ainsi le centre sera le point d'intersection des perpendiculaire3 élevées sur le milieu de AB et sur le milieu de BC.

D'après ce qui précède, on voit suffisamment combien l'emploi des lieux géométriques est important pour la résolutiondes problèmes. Seulement il est peut-être bon d'ajouter qu'on les emploie quelquefois pour déterminer un point qui n'appartient pas à la figure cherchée et dont dépend la résolution du problème proposé {voir^ par exemple, la question 158).

Pour faire voir comment on peut faire dépendre la résolution d'un problème de la détermination d'un point n'appartenant pas à la figure cherchée, nous résoudrons encore ce problème :

Construire un triangle ABC [fi g, ay), connaissant la base BC, de grandeur et de position , la somme AB -h AC des '*^* ^^* deux autres côtés et sachant que le sommet A

j, ^^.^-S" ^ doit être situé sur une droite donnée xy.

Soit ABC le triangle demandé et prolongeons le côté CA d'une longueur AM égale à AB; alors on voit que le problème sera résolu, si l'on parvient à déterminer le point M.

Or ce point doit se trouver déjà sur la circonférence décrite du point C comme centre avec un rayon égal à la somme donnée CA -h AB. D'ailleurs, du sommet B abaissons sur xy la perpendiculaire BD et prolongeons-la d'une longueur DB' égale à DB, et supposons que du point A comme centre avec le rayon AB on décrive une circonférence ; cette circonférence passera par les trois points B, B', M et, comme la distance des centres des circonférences C et A est égale à la différence des rayons CM et AM, ces deux circonférences seront tangentes intérieurement au point M.

Ainsi, pour déterminer le point M, on décrira une circonférence passant par les deux points B, B', et tangente intérieurement à la circonférence qui a pour centre le point C {voir question 276) et, le point M étant connu, on mènera la droite MC qui coupera xy au point A, qui sera le sommet cherché.

Méthode des figures semblables. — Foir les questions 201 , /î^w^rgrtte. -^293-341.)

Méthode par inversion ou pour renversement. — Voir la question 161 .

Méthode des figures symétriques. — Pour comprendre en quoi elle consiste, on peut résoudre les trois problèmes suivants :

Problème I. — Etant donnés deux points A et B, situés cPun même côté dune droite xy^ trouver sur cette droite un point C tel^ que la somme de ses distances aux points ket^ soit un minimum.

Problème II. — Étant donnés un point A et une circonférence 0, situés dun même côté de xy^ trouver sur cette droite un point C tel, que la droite CA et la tangente CD menée du point Ça à la circonférence forment des angles égaux AC j: et DCj^ .

Problème III. — Étant donnés deux points A et B, situés d'un même côté dune droite xy, trouver sur cette droite un point C tel, qu'en le joignant au point A et au point B, V angle kÇx soit double de V angle BC^.

Supposons le problème résolu et prolongeons AC d'une longueur quelconque C 3, Tangle/C-s égal à l'angle AC^ sera le double de l'angle BCj et la droite qui joint le point C au point B' symétrique du point B sera la bissectrice de l'angle /Cz; donc le point B' est également distant de la droite C/ et de la droite C2 et par conséquent la droite ACz est tangente à la circonférence décrite du point B' comme centre avec un rayon égal à la moitié de BB', etc.

Remarque. — On peut -voir aussi les questions 126 et 158.

quelques mots sur la démonstration des théorèmes

DE géométrie.

II est impossible de donner une règle générale pour démontrer les. théorèmes de Géométrie et l'on doit se borner à quelques indications sur la marche à suivre dans ce genre de recherches.

D'abord, il faut bien se pénétrer de l'énoncé du théorème que l'on veut démontrer, distinguer avec soin l'hypothèse et ses différentes parties, puis la conclusion à laquelle on veut arriver. De cette manière, on découvre assez ordinairement le livre, le chapitre et le paragraphe auxquels doit se rattacher le théorème proposé.

Ensuite, on cherche à démontrer le théorème en déduisant des seules

Fig. a8.