SUR LA DÉMONSTRATION DES THÉORÈMES DE GÉOMÉTRIE

parties de l'hypothèse des conséquences successives jusqu'à ce qu'on soit arrivé à la conclusion demandée.

Par exemple, soit à démontrer ce théorème : Étant donné un quadrilatère ÂBCD (fig. 28), si Von décrit des cercles tangents à trois côtés

consécutifs^ les centres des quatre cercles qu!on obtient forment un quadrilatère inscriptible.

On voit que l'hypothèsQ se compose de cinq parties. On donne : i°un quadrilatère; 2® quatre cercles assujettis à certaines conditions.

Considérons d'abord ces quatre cercles et désignons par E le centre du cercle tangent aux côtés AB, BG, CD ; par F le centre du cercle tangent aux côtés BC, CD, DA; par G le centre du cercle tangent iiux côtés CD, DA, AB; par H le centre du cercle tangent aux côtés DA, AB, BC.

De ce que le point £ est le centre du cercle tangent aux trois côtés AB, BC, CD, il s'ensuit que E est le point d'intersection des bissectrices des angles ABC, BCD du quadrilatère, et de môme les points F, G, H sont respectivement les points d'intersection des bissectrices CF et DF, DG et AG, AH et BH. Donc la question revient à démontrer que les quatre bissectrices des angles d!un quadrilatère ABCD forment par leurs intersec" tions un quadrilatère inscriptible.

Pour cela il suffit de faire voir que deux angles opposés FEH, HGF du quadrilatère EFGH sont supplémentaires (c'est la question 41 de ce Recueil). Alors, de ce que ABCD est un quadrilatère^ la demi-somme de ses angles est égale à deux droits; ainsi l'on a

lA-f-IB-f-iC-f-iD-rs"'-;

d'ailleurs les deux triangles EBC, GAD donnent

BEC -+- iB -f- ^C H- AGD -t- iD -i- ^ A --- 4

dr .

donc on a

BEC -r AGD -: 2"' ou FEH -4- HGF = 2''^

Remarque. — Ce théorème présente des particularités qu'il est bon de constater. D'abord, si l'on voulait construire la figure proposée, elle serait trèscompliquée et, en général, il faut autant que possible éviter cet inconvénient ; on y est arrivé en remarquant que les centres des quatre cercles, donnés par hypothèse, sont les points d'intersection des bissectrices des angles du quadrilatère considérées deux à deux.

Cela fait, on a substitué à la conclusion demandée une égalité entre deux angles et l'on a démontré cette égalité, en ayant égard à la cinquième partie de l'hypothèse.

Assez souvent la substitution d'une conclusion à une autre peut être trèsutile.

NOTE III. 19g

Théorème de Thaïes, — Ce théorème : Deux triangles équiangles entre eux ABC, abc ont leurs côtés homologues proportionnels^ fournit un exemple très-simple d'une démonstration sans construction.

En eftet, Thypothèse se compose de trois parties

dont l'une est d'ailleurs une conséquence des deux autres. Or, de ce que B = ^, on a l'égalité