DIFFÉRENTES QUESTIONS SDR CE PREMIER LIVRE

Observation, — Nous réunissons sous ce titre quelques questions qui se rap*portent à tout le premier Livre.

LIVHB I. — CHàPITHE V. aS

117. Etant donnés un cercle et un diamètre AB, on prolonge AB, au delà du point B, d'une longueur BC moindre que OB, et du point C on mène une sécante CDE, dont la partie extérieure CD est égale au rayon OB5 démontrer que l'angle ACD est le tiers de Tangie AOE.

118. Étant données deux parallèles coupées obliquement par la droite AB, et perpendiculairement par AC, on mène entre ces parallèles la droite BED, coupant AC au point E et telle que ED soit double de AB; démontrer que l'angle DBC est le tiers de l'angle ABC.

119. Étant donnés trois points A, 6, C, mener la droite Ax de manière que la somme ou la différence des perpendiculaires abaissées sur Ax des points B et C soit égale à une longueur donnée. (Rapprocher ce problème de la question 71.)

120. Étant données deux parallèles :rj, ^'j', deux points A et B, situés sur ces parallèles, et un point en dehors, mener par ce point une droite qui coupe xy et x'x' en deux points C et D tels, qu'on ait AC — BD, tels que la somme ou la différence des droites AC et BD soit égale à une longueur donnée.

121. Étant donnés deux systèmes de droites parallèles et un point, mener par ce point une sécante telle, que la partie de cette ligne comprise entre deux parallèles soit égale à la partie de cette même ligne comprise entre les deux autres parallèles.

122. Étant données deux circonférences qui se coupent, mener par l'un des points d'intersection A une droite BAC telle, que les cordes interceptées BA, AC soient égaies entre elles; telle que la somme ou la différence des deux cordes soit égale à une distance donnée; telle que la somme des deux cordes soit un maximum. (Lorsqu'il s'agit de la somme des deux cordes, on suppose que les points B et C doivent se trouver de part et d'autre du point A, et, s'il s'agit de la différence des deux cordes, on suppose les points B et C d'un même côté, par rapport au point A.)

Remarque. — Od verra que la somme des deux cordes est un maximum lorsque la sécante est parallèle à la ligne des centres, et alors elle est double de la distance des centres.

123. Élani données deux circonférences 0, 0', mener une sécanie parallèle à une droite donnée xy^ el telle, que la somme des deux cordes inlercepiées soil égale à une longueur donnée. (En supposant le problème résolu, désignant par ABCD la parallèle cherchée; par OE, O'F les perpendiculaires abaissées des centres 0, 0' sur les cordes AB, CD, on connaîtra la distance EF, el si Ton en retranche la somme connue EB -4- CF, on aura la longueur de la droite BC; ainsi Ton sera ramené à la question 76.)

124. Étant données deux parallèles oy, x*y\ deux points A, B, situés sur ces parallèles, et un point 0, décrire de ce point, comme centre, une circonférence qui coupe xy et x'y en deux points C et D tels, qu'on ait AC = BD; tels que la somme ou la différence des deux droites AC et BD soit égale à une longueur donnée.

125. Étant donnés deux parallèles xy^ x'f et un point 0, décrire de ce point, comme centre, une circonférence telle, que la somme ou la différence des-deux cordes interceptées AB, CD soit égale à une longueur donnée. Mêmes questions, en remplaçant les parallèles par deux droites qui se coupent.

126. Étant donnés deux cercles concentriques et un point 0', décrire de ce point, comme centre, une circonférence telle, qu'en menant une droite par les deux points d'intersection A, B, situés d'un même côté de la ligne des centres, cette droite passe par le centre commun des cercles donnés, telle que cette droite soit parallèle à une droite donnée xy. (Dans la seconde partie de cette question, en supposant le problème résolu et désignant par M le milieu de la droite AB, la droite O'M sera perpendiculaire à AB, ainsi qu'à la droite parallèle à xy menée par le centre 0; alors le point A sera le symétrique du point B par rapport à la droite O'M, et si, par rapport à cette même droite, on détermine la circonférence 0'' symétrique de la circonférence OB, la distance C'A sera égale au rayon OB, et, par conséquent, le point A sera connu, etc.]

Remarque, — La solution de la seconde partie de cette question fait