LIVRE II. — CHAPITRE I

parallèle à BC et distante de BC de la longueur h; ainsi ce problème n'est qu'un cas particulier du précédent.)

160. Circonscrire à un triangle donné ABC un second triangle DEF égal à un triangle donné. (On aura à se fonder sur la question 122.)

161. Inscrire dans un triangle donné ABC, dont les côtés sont donnés en grandeur et en position, un second triangle DEF égal à un triangle donné. (On circonscrira au triangle DEF un triangle A'B'C égal au triangle ABC, et, au moyen de la figure obtenue, on construira facilement la figure cherchée.)

Remarque. — Ainsi, au lieu d'opérer d'abord sur le triangle ABC, on opère sur le triangle DEF, dont les côtés sont seulement donnés en grandeur. Cette manière d'opérer est dite méthode par renversement,

162. Étant donnés un cercle et un diamètre AB, par le point A on mène une corde quelconque AC, que l'on prolonge d'une longueur CM égale à CB; quel est le lieu des points M ainsi obtenus?

163. Par un point A situé hors d'un cerclé, on mène une sécante quelconque ABC, et du milieu D de la corde BC on élève sur cette droite une perpendiculaire DM égale à AD; quel est le lieu des points M?

164. Quel est le lieu des centres des circonférences de même rayon qui coupent sous un angle donné une circonférence donnée?

165. Par un point D, pris sur le c&té AC d'un triangle ABC, on mène une transversale quelconque qui coupe, par exemple, le côté BA prolongé au point E et le côté BC au point F, puis on décrit les circonférences EAD, DFC; quel est le lieu du second point d'inlerseciion M?

166. Quel est le lieu décrit par le sommet d'un angle qui se meut dans son plan, de manière que ses côtés passent constamment par deux points donnés?

Observation. — Nous avons résolu ce problème dans la Note 15 de nos Eléments (théorème II, Rem. 11)^ en nous fondant seulement sur le premier Livre.

Dans cette Note on donne le moyen de décrire sur une droite donnée un segment capable d'un angle donne, et Ton démontre la propriété fondamentale du quadrilatère inscrit.

Donc, en général, on pourrait résoudre à la fin du Livre I toutes les questions contenues dans ce paragraphe ; mais il est plus simple de le faire en se fondant sur la mesure des angles. Le langage surtout y gagne d'une manière très-notable.

167. Étant donnés un cercle 0, une corde AB el un point M pris sur l'arc AMB, sous-tendu par la corde, quelle doit être la position du point M pour que la somme MA + MB soit un maximum?

168. Étant donnés deux cercles 0, 0' de rayons différents, trouver un point A tel, que les tangentes AB, AC, menées de ce point aux deux cercles, soient égales et forment entre elles un angle donné. (B et C étant les points de contact, si Ton mène les rayons BO et CO' qui se rencontrent en D, le quadrilatère ABDC est inscriptible; donc l'angle ODO' est connu et, par suite, dans le triangle DOO' on connaît un côté, l'angle opposé et la différence des deux autres côtés, etc.)