On a un triangle ABC, rectangle en A, et du point D

milieu de AB, on abaisse une perpendiculaire DE sur Thypo ténuse : démontrer qu*on a

EC -Eb'=:AC\

254. Étant donné un triangle rectangle, on abaisse, du sommet de l'angle droit, une perpendiculaire sur Thypoténuse : démontrer que les rayons des cercles inscrits dans les trois triangles ainsi déterminés sont les côtés d'un triangle rectangle semblable aux trois premiers.

255. On a un triangle isoscèle ABC et la hauteur CD, issue de l'extrémité C de la base: démontrer que la somme des carrés des côlés du triangle ABC est égale à

BD +2DA -h3CD.

256. Soient un triangle isoscèle ABC et DE parallèle à la base BC : démontrer qu'on a

bk^^ëcVbc.de.

257. Si d'un point, pris dans l'intérieur d'un triangle, on abaisse des perpendiculaires sur les trois côtés, on détermine sur ces côlés six segments tels, que la somme des carrés de trois segments, n'ayant pas d'extrémité commune, est égale à la somme des carrés des trois autres. — Extension à un polygone quelconque.

258> Soient un triangle ABC, un point quelconque P pris dans son plan, le point d'intersection des médianes et joignons PA, PB, PC, OA, OB, OC: démontrer la relation

PA -h PB H-PC =--0A -+-0B +0C -h3P0 .

(Pour fixer les idçes, supposons que la droite PO laisse d'un côté le sommet A et de l'autre les sommets B, C, et que la droite xy perpendiculaire à PO, au point 0, laisse d'un côté les points P, A, C et de l'autre le point B, puis projetons sur PO les sommets A, B, C en A', B', C, les triangles PAO, PBO,