Si deux droites AB, CD sont parallèles, deux autres

droites EF, GH, respeclivemenl parallèles aux premières, sont parallèles entre elles.

§ IV. — Sur les triangles, les quadrilatères, les polygones.

Sur les triangles.

23. Étant donnés deux angles d'un triangle, trouver le troisième.

â&. Si deux triangles rectangles ont l'hypoténuse égale et un angle aigu inégal, au plus grand angle aigu est opposé le plus grand côté.

^. Si du sommet d'un angle xAy on prend sur Tun des côtés A.X deux longueurs quelconques AB, AC, et sur l'autre côté Ax des longueurs AB', AC, respectivement égales aux premières et qu'on mène les droites BC, CB', ces lignes se couperont sur la bissectrice de l'angle A. (De là un moyen de mener la bissectrice d'un angle donné. )

26. Si un angle A d'un triangle ABC est compris entre des côtés inégaux, la médiane, menée du sommet de cet angle, fait avec les côtés de ce même angle des angles inégaux, et celuâ qu'elle forme avec le plus grand des deux côtés est le plus petit. (Prolongera médiane AD d'une longueur DM = Al) et joindre BM; les triangles ADC et MDB seront égaux, etc.)

Remarque, — De ce théorème il résulte que, si dans un triangle ABC le côté AB est plus grand que le côté AC, la bissectrice AE de l'angle A divise le côté BC en deux segments inégaux BE, EC, et que le segment adjacent au plus grand côté est le plus grand.

D'ailleurs, on voit facilement que l'angle AEC est aigu et, par conséquent, la hauteur AF du triangle ABC, issue du sommet A, doit rencontrer le côlé BC sur le prolongement delà droite BE au delà du point E.

Ainsi la bissectrice d'un angle d'un triangle est toujours comprise, en grandeur et en position, entre la médiane et la hauteur issues du sommet de ce même angle, à moins que les côtés qui comprennent l'angle ne soient égaux, auquel cas les trois droites en question se confondent.

On peut se proposer de démontrer directement l'une des conséquences qui précèdent, savoir : Si dans un triangle ABC le côté AB est plus grand

LIYRB I. ~ CHAPITRE III. 7

que Je côté AC, la bissectrice AE de l'angle A divise le côté BC en deux segments inégaux BE, EC, et celui qui est adjacent au plus grand côté est le plus grand. (Sur le côté AB prendre AG = AC et joindre GE; on aura EG = EC, et il sera facile de comparer les droites BE et EG qui sont les côtés d'un même triangle GBE, etc.]

Observation. — S'il ne s'agissait dans ce Recueil que de faire connaître une démonstration de telle ou telle proposition, il serait avantageux de réserver la question 26 pour le Livre III ; alors elle ne serait, ainsi que ses conséquences contenues dans la remarque ci-dessus, que des corollaires immédiats d'un théorème très-connu (vo/r nos Éléments, 249). Mais il s'agit plutôt d'exercer l'intelligence des élèves, en leur faisant voir comment des vérités peuvent s'établir de différentes manières et comment on en peut démontrer quelques-unes avec le seul secours du premier Livre, lors même qu'on pourrait les démontrer plus facilement par la suite.

27. Dans un triangle ABC on mène la bissectrice AD de l'angle A, qui rencontre BC au point D, et il s'agit : i® de démontrer que la différence des angles ADB, ADC est la même que celle des angles C et B; 2*> de trouver les angles ADB el ADC, sachant que la différence des angles C et B est égale à un angle donné à. (Pour ce 2*>, voir la quest. 16.)

28. Dans un triangle ABC, l'angle formé par la bissectrice AD de l'angle A et par la perpendiculaire AE abaissée du sommet A sur le côté BC est égal à la demi-différence des angles C et B. Dans un triangle ABC, le côté AB est plus grand que le côté AC, sur AB on prend une longueur AD:=r AC et

Ton joint DC; démontrer qu'on a aussi angle DGB=:

29. Dans un triangle ABC, on mène les bissectrices des angles B et C, qui se rencontrent au point 0; démontrer que l'angle BOC est égal à un droit, plus la moitié de l'angle A.

30. Étant donné un triangle ABC, on prolonge le côté BA au delà du sommet A d'une longueur AD égale à AC, on joint J)C et par le point A on mène AE parallèle à DC; démontrer que AE est la bissectrice de l'angle BAC,

31. Un triangle ABC eslisoscèle: i**lorsque l'une de ses médianes AD est en même temps l'une de ses hauteurs ; a" lorsque la bissectrice AD de l'un de ses angles est perpendiculaire sur

le côté opposé; 3» lorsque la bissectrice AD de Tun de ses angles passe par le milieu du côté opposé. ( Pour démontrer ce 3", prolonger AD d'une longueur DE = AD et joindre EB, etc.)

32. Dans un triangle isoscèle ABC, les perpendiculaires abaissées des extrémités de la base BC sur les côtés opposés sont égales, et il en est de même des médianes et des bissectrices issues des sommets B et C.

33. Si dans un triangle ABC Tangle B est droit ou obtus, les perpendiculaires abaissées des sommets B et C sur les côtés opposés sont inégales et la seconde est plus grande que la première. (De là il résulte que, si les hauteurs issues des sommets B et C sont égales, les angles B et C sont aigus.)

34. Si dans un triangle les perpendiculaires abaissées de deux sommets sur les côtés opposés sont égales, le triangle est isoscèle.

Remarque, — On verra par la suite qu*un triangle est aussi isoscèle lorsque deux de ses médianes ou deux de ses bissectrices sont égales. (voir les quest. 59 et 149, Rem.)

35. Étant donné un triangle équilatéral ABC, on prend sur les côtés AB, BC, CA, à partir des sommets A, B, C, des distances égales kk'y BB', CC; démontrer que le triangle A'B'C est aussi équilatéral.

Sur les quadrilatères et les polygones.

36. Deux quadrilatères convexes sqnt égaux lorsqu'ils ont un angle égal et leurs quatre côtés égau^ chacun à chacun et disposés de la même manière.

37. L'angle formé par les bissectrices de deux angles consécutifs d'un quadrilatère convexe est égal à la demi-somme des deux autres angles du quadrilatère, et Tangle formé par les bissectrices de deux angles opposés est égal à la demi-différence des deux autres angles.

38. Quel est le lieu des points situés à une distance donnée d'une droite donnée? (Cette question est .analogue à la quest. 6.)