LIVRE I. — CHAPITRE III. Q

39. Trouver un point également distant de deux points donnés et situé à une distance donnée d'une droite donnée.

40. Étant donné un parallélogramme ÂBCD^ on prend sur les côtés AB, BC, CD, DA, à partir des sommets A, B, C, D, des dislances AA', BB', CC, DD', telles que AA'=CC' et que BB' = DD'; démontrer que le quadrilatère A'B'C'D' est aussi un parallélogramme et que les diagonales des deux parallélogrammes se coupent en un même point.

41. Les bissectrices des angles d'un quadrilatère convexe forment un second quadrilatère dont les angles opposés sont supplémentaires. Si le premier quadrilatère est un parallélogramme, le second est un rectangle dont les diagonales sont parallèles aux côtés du parallélogramme et égales à la différence de ses côtés adjacents; et, si le premier quadrilatère est un rectangle, le second est un carré.

Remarque. — Il arrive souvent qu'une figure bien faite facilite une démonstration, et c'est ce qui a lieu pour la seconde partie de cette question.

42. Deux trapèzes ABCD, A'B'C'D' sont égaux lorsqu'ils ont leurs quatre côtés égaux chacun à chacun et disposés de la même manière. (Mener BE parallèle à AD entre les bases du premier et B'E' parallèle à A'D' entre les bases du second, etc:)

43. De tous les points d'une droite indéfinie xy on mène des droites égales parallèles et dirigées dans le même sens; quel est le lieu des extrémités de ces droites? (Même question, en remplaçant la droite xy par une circonférence.)

44. Cn polygone convexe ne peut avoir plus de trois angles intérieurs aigus.

45. Le nombre des diagonales d'un polygone convexe de n côtés est donné par l'expression —^ -•

g V. — Snr les propositions diverses.

4.6. Trouver un point également distant de deux points donnés et également distant de deux droites données.

47. Les bissectrices de deux angles, qui ont leurs côtés respectivement parallèles, sont parallèles ou perpendiculaires entre elles.

48. Les droites qui joignent les milieux des côtés d'un triangle divisent ce triangle en quatre triangles égaux entre eux.

49. Les droites qui joignent successivement les milieux d'un quadrilatère forment un parallélogramme. Dans quels cas ce parallélogramme devient-il un losange, un rectangle, un carré?

50. Quel est le lieu des milieux des droites menées d'un point donné aux différents points d'une droite donnée xyt (Même question, en remplaçant la droite donnée par une circonférence.)

51. La droite qui joint le sommet de l'angle droit d'un triangle rectangle au milieu de l'hypoténuse est égale à la moitié de cette hypoténuse.

52. Si l'hypoténuse d'un triangle rectangle est double de l'un des côtés de l'angle droit, l'un des angles aigus est double de l'autre; ainsi le premier de ces angles vaut | de droit. Réciproquement, si l'un des angles aigus d'un triangle rectangle vaut | de droit, l'hypoténuse est double du côté de l'angle droit adjacent à cet angle. (Le triangle rectangle en question est la moitié d'un triangle équilatéral.)

53. Les points E et F étant les milieux des côtés opposés AB et CD d'un parallélogramme, démontrer que les droites BF et DE divisent la diagonale AC en trois parties égales.

54. Dans un triangle ABC, la bissectrice d'un angle A et les bissectrices des suppléments des angles B et C se coupent en un même point.

LIVHB I. — GflAPITRB III. 1 I

55. Déterminer la direction de la bissectrice de Tangle de deux droites qu'on ne peut prolonger jusqu'à leur point de concours.

66. Dans un triangle ABC, on mène, par le point d'intersection des bissectrices des angles B et C, une parallèle à BC; démontrer que la portion DE de cette parallèle, comprise entre AB et AC, est égale à la somme des droites DB et EC. Si la parallèle à BG passait par le point d'intersection 0' de la bissectrice de l'angle B et de celle du supplément de l'angle C, la portion D de cette parallèle, comprise entre les côtés de l'angle A ou de leurs prolongements, serait égale à la différence des droites DB et EC.

57. Dans tout triangle, une médiane quelconque est moindre que la demi-somme des deux côtés issus du même sommet et plus grande que la moitié de l'excès de cette somme sur le troisième côté. Conclure de là que la somme des trois médianes est moindre que le périmètre du triangle et plus grande que sa moitié. Démontrer, en outre, que la somme des trois médianes est plus grande que les trois quarts du périmètre.

58. Deux triangles sont égaux lorsqu'ils ont deux côtés égaux chacun à chacun et une médiane égale. (Deux cas.)

Observation. — OTÔindihemeTii on dislingue trois cas d'égalité de triangles et quelquefois un quatrième cas (voir nos Éléments, Note 16), et il est bon de se borner à ces trois ou quatre cas qui résultent de trois égalités entre des parties d*un triangle. Autrement on aurait un nouveau cas d'égalité de triangles toutes les fois qu'en construisant un triangle avec trois données, le problème n'admettrait qu'une solution. Ainsi on pourrait dire que deux triangles sont égaux lorsqu'ils ont des bases égales, adjacentes à un angle égal et correspondant à des hauteurs égales, etc., ce qui aurait des inconvénients.

59. Un triangle est isoscèle lorsque deux de ses médianes sont égales. (Rapprocher ce théorème des questions 32 et 34.)

60. Un angle d'un triangle est droit, aigu ou obtus, selon que la médiane issue du sommet de cet angle est égale à la nroitié du côté opposé, plus grande ou plus petite que celte moitié. (De là il résulte que les trois réciproques sont vraies.)

Remarque, — La question 51 consiste à démontrer directement la première de ces réciproques; on pourrait de même se proposer de démontrer directement les deux autres.

Cl. Quel est le lieu des sommets des triangles qui ont une base commune BC et dans lesquels la médiane « menée du sommet B, est égale à une longueur donnée.

62. Dans un trapèze isoscèle (c'est-à-dire dont les côtés non parallèles sont égaux), les angles opposés sont supplémentaires et réciproquement.

63. Étant donnés deux points A et B, situés d'un même côté d'une droite xy, trouver sur cette droite un point C tel que Tangle ACr soit égal à l'angle BCj; un point tel, que l'angle AC^ soit double de l'angle BCj. (Pour la première partie de celte question, on joindra le point A au point B' symétrique du point B par rapporta xy, et le point d'intersection de AB' avec xj- sera le point cherché. Pour la seconde partie, on remarquera que le point B', symétrique de B par rapporta xf, doit être à égale dislance de xy et de la droite AC prolongée, etc.)