QUATRIÈME SECTION
297. Dans tout trapèze, la somme des carrés des diagonales est égale à la somme des carrés des côtés non parallèles, plus deux fois le rectangle des deux bases.
298. Calculer les diagonales d'un trapèze, connaissant ses quatre côtés.
299. Trouver la surface d'un trapèze ABCD en fonction de ses côtés.
(Désignons par a la plus grande base AB; par b, c, d les autres côtés BC, CD, DA; par S la surface cherchée et menons la droite CE, parallèle à DA, jusqu'à la rencontre de AB en E.
LITRE m. — CHAPITRE II. "7 3
Dans le triangle CED on connaît les trois côtés et, par suite, la hauteur abaissée du point C, etc.
Alors il est facile d'obtenir la formule
i/ (a — c + 6 H- rf) [a—c -hd — b)[a — c-h b—d) [b-hd— a-\- c).
Remarque. — Si l'on suppose « = c, il s'ensuit que h = d\ dans ce cas le problème est indéterminé, et c'est ce qu'indique la formule en se
présentant sous la forme oo x o ou - •
300. Dans tout trapèze ABCD, la différence des carrés des diagonales AC,BD est à la différence des carrés des côtés non parallèles AD, BC comme la somme des bases AB + DG est à leur différence AB -- DC. (Par le sommet G menons CE parallèle à la diagonale DB, qui rencontre AB prolongée au point E et soient F le milieu de AE et CG perpendiculaire sur AE, on aura
AC - yyh i=AG —CE =:2AE. FG==2(AB-+-DG). FG.
De même, si Ton mène GH parallèle à DA, le point F sera encore le milieu de HB, et Ton aura
AD -- Cb' i::!: ÎCh' — Cb' = 2 HB. FG rr: 2 (AB - DC). FG, etc.)
301. Si un point E est pris dans l'intérieur d'un rectangle ABCD, les sommes des carrés des distances de ce point à deux sommets opposés sont égales entre elles.
302. Dans tout quadrilatère, la somme des carrés des diagonales est double de la somme des carrés des droites qui joignent les milieux des côtés opposés.
303. Dans tout quadrilatère ABCD, la somme des carrés de deux côtés opposés AB, CD, plus quatre fois le carré de la droite EF qui joint les milieux de ces côtés, est égale à la somme des carrés des deux autres côtés, plus la somme des carrés des diagonales. (Soient G et H les milieux des diagonales, on aura égard à ce que le quadrilatère EFGH est un parallélogramme, etc.)
