DE -+- DF = AB

De même, si dans la seconde question on suppose le point D situé sur le milieu de BC, les points E et F se confondent avec le sommet A, d*où Ton conclut que la constante est égale à a A [h désignant la hauteur du triangle issue du sommet A) et l'on n'a plus qu'à démontrer Tégalité

DE-hDF=2A.

65; La somme des dislances d'un point quelconque de la base d'un triangle isoscèle aux deux autres côtés est constante. Et, si le point est pris sur l'un ou l'autre des prolongements de la base, la différence des distances de ce point aux mêmes côtés est aussi constante. (Dans ces deux cas la constante est la perpendiculaire A, abaissée de Tune des extrémités de la base sur le côté opposé.)

66. Étant donné un rectangle ABCD et ses diagonales xkCy, ar'BD/, qui se coupent au point 0, si d'un point quelconque E pris sur le périmètre de ce rectangle on abaisse des perpendiculaires EF, EG sur les diagonales, la somme de ces perpendiculaires sera égale à la dislance A de l'un quelconque des sommets A, B, C, D à la diagonale qui ne passe pas par ce sommet. El, si d'un point quelconque E', pris sur les prolongements des côtés du rectangle, on abaisse des perpendiculaires* E'F', E'G' sur les diagonales, la différence de ces perpendiculaires sera aussi égale à la distance A. (Ces propositions résultent de ce que les quatre triangles OAB, OBC, OCD, ODA sont isoscèles.)

Remarque. — Si d'un point H, pris entre les côtés de Tangle fOy, par exemple, et non situé sur le côté DC, on abaisse des perpendiculaires sur xy et sur a/ y, la somme de ces perpendiculaires est plus grande ou plus petite que A. Alors, de cette proposition et de la première partie de la question 66 il résulte que le périmètre du rectangle ABCD est le lieu géométrique de tous les points tels, que la somme de leurs disances aux droites xy et x^f soit égale à la longueur h.

De môme, les prolongements des côtés du rectangle ABCD forment ensemble le lieu des points tels, que la différence de leurs distances aux droites xy et afy' soit égale à la longueur h.

l4 QUESTIONS PROPOSÉES.

67. Si d'un point quelconque D, pris dans rinlérieur d'un triangle équilatéral ABC, on abaisse des perpendiculaires D£, DF, DG sur les trois côtés AB, AC, BC, la somme de ces perpendiculaires est constante. (Tl est facile de voir que la constante est égale à Tune des hauteurs h du triangle.)

Remarque. — Si le point D était extérieur au triangle ABC et compris^ par exemple, entre les côtés prolongés de Tangle BAC, on aurait

DE -4- DF — DG = /f.

68. Étant donné un triangle ABC, trouver sur le côté BC un point tel, que la somme de ses distances aux deux autres côtés soit un minimum.

69. Trouver dans l'intérieur d'un triangle un point tel, que la somme de ses dislances aux trois côtés du triangle soit un minimum.

70. Dans tout quadrilatère, le point de rencontre des droites qui joignent les milieux des côtés opposés est situé sur le milieu de la droite qui joint les milieux des diagonales.

71. Par un point donné A, mener une droite également distante de deux autres points donnés B et C.

72. Par un point donné, mener une droite qui fasse des angles égaux avec deux droites données.

73. Par un point, situé dans un angle donné, mener entre les côtés de l'angle une droite qui soit divisée par le point en deux parties égales.

Ik. D'un point donné hors d'un cercle mener une sécante telle, que sa partie extérieure soit égale à la partie comprise dans le cercle.

75. Entre les côtés d'un angle, mener une droite de longueur donnée et parallèle à une droite donnée.

76. Étant données deux circonférences, mener d'un point de l'une à un point de l'autre une droite d'une longueur donnée et parallèle à une droite donnée.

Remarque. — La solution serait la même si Ton remplaçait l'une des circonférences par une droite ou par une ligne quelconque.