cos p/p

qui est convergent et peut être compris dans la partie L du second membre. Les équations (1) deviennent alors plus simplement, en changeant les signes,

sin â/v ^ . „ tp

Nous commencerons par déduire de ces deux équations que la somme ^^y X sin p/p doit admettre un développement de la forme L -+- P.

Appliquons, à cet ciïet, le théorème II du paragraphe précédent, il viendra en intégrant la seconde équation

!// L y rty J yJ vfiyv J

Nous allons calculer successivement ces deux intégrales et nous commencerons par la première. On a par décomposition

On remarque, en effet, que dans le second membre la limite inférieure de Tintégrale qui multiplie Ip doit être p, car le terme qui renferme Ip ne s*introduit dans la somme qu'à partir de la valeur 1/ >= p. En effectuant les intégrations, on trouve donc

Si Ton divise par y, il vient par le corollaire II (n"" 45)

v=^ pyp<y

On a donc une relation de la forme

y./ l y ^y A py Tiy

le terme convergent L tendant ici vers zéro quand y tend vers rinfini.

Mais si Ton remonte à la première des équations (2) du numéro actuel, on voit qu*elle exprime que le premier terme du second membre de Téquation (4) est de la forme L + P. Par suite réquation (4) est aussi de la forme

(5) . . . . i /d„ :;iJ3!5,„ L»p.

. 1 AJî!î%2J

yJ L y ,% J

Passons à la seconde intégrale de Téquation (5). On a comme ci-dessus

fdy 2 '1 8in p/p = 2 f ^ sin pip f dy\,

- / <^y 2 „ "" P^p=-2 -«'"P'p --2 ^psin^p.

Mais le dernier terme de cette équation tend vers zéro pour j^ infini en vertu du corollaire III (n* 46), il est donc de la forme L, et réquation elle-même prend la forme

Remplaçons dans Téquation (3) les intégrales par leurs valeurs (5) et (6) et faisons passer au second membre les termes des types L et P; il vient un résultat de la forme

(7) S -^8infi/p = LH-P.

G*est le premier point que nous voulions établir. La démonstration s'achève maintenant facilement. Je dis que la partie périodique P doit être identiquement nulle.

Supposons, en effet, qu'elle renferme un terme tel que

a sin oUy, Le coefficient a sera donné par la formule (théor. IV, n* 39)

^ lia. I-S^l sin pipp^^dy

^^yriyP J y

«=9 — lim —- 5 — (cos olIu — cos cdp) sio Bip .

On en conclut

i 2 \ \^ Ip

- raod a < - lim — > — I sin 6/p 1,

et par conséquent a est nul en vertu du corollaire IV (n* 47).

On prouverait exactement de même que P ne peut pas renfermer de cosinus et par conséquent l'équation (7) doit se réduire à

2 — sin plp == L.

Cesi la seconde conséquence qu'il s'agissait d*établir.

§ 3. — Simplification définitive de l'équafion du n' 34

et contradiction qui en résulte.

49. Nous venons de démontrer dans le précédent paragraphe que les deux sommes