cos plp) et 2 ~ "'" P^P

convergent vers des limites finies quand y tend vers Tinfini. Il en sera de même pour la somme algébrique

Donc, si nous nous reportons à Téquation (1 5) du n"" o4, nous reconnaîtrons qu'il est permis de faire passer du premier au second membre le premier terme qui est de la forme L. On obtient ainsi, en changeant les signes,

et P, ayant changé de signe, a pour valeur (34) (form. 16)

Dans l'équation (8) on peut égaler séparément les parties

réelles et imaginaires. Mais afin d'éviter d'écrire des ternies iou» liles, nous remarquerons dès maintenant que la somme

est réelle, parce que les racines p sont conjuguées deux à deux

50. Pour simplifier récriture, désignons avec les lettres S{ et <>3 respectivement la partie réelle et la partie imaginaire d*une quantité complexe, c*est-à-dire que Ton aura, ueiv étant réels,

^ (a 4- iv) = Uy 5(w -^ iv) «= V.

Gela posé, égalons séparément les parties réelles et imaginaires des deux membres de Téquation (8), il viendra, eu égard à la remarque finale du numéro précédent,

y P<y L '— Pi p p(p — I) p W— Pi)J

y P<y L ^~-Pi p P(P — PiU

Les termes ^L et ^L sont les parties convergentes des deux développements. Leur valeur peut se calculer, mais il est inutile de les connaître.

Je vais maintenant démontrer que les deux équations (9) sont en contradiction Tune avec Tautre.

Pour cela, multiplions la seconde équation par dy et intégrons, en remarquant que par rapport à la variable réelle y on peut intégrer sous le signe r3; puis divisons encore toute Téquation par 2/. Il viendra, en désignant par L' une nouvelle quantité convergente quand y tend vers Pinfini,

L — pO (2 — pt) p ?(/>—?»)(/» — Pi + i)J

Mais nous avons déjà calculé au paragraphe précédent (n* 48, form. 4) l'intégrale du premier membre. Nous avons trouvé (page 84)

Remplaçons donc Tintégrale par sa valeur et multiplions réquation par P, nous trouverons, en désignant par U une nouvelle quantité convergente pour y infini,

i ■♦•cosp/y ^

==. ôâ IL" îî v*'P* -+■ Pi S' ^^ 1 •

En vertu du théorème VI (n"" 41), ce nouveau développement doit être identique à celui que fournit le second membre de la première équation (9). Or c^est ce qui est impossible, comme nous allons le montrer.

Identifions, en effet, les deux parties périodiques. Il vient

\ ^y* P* -♦- 8 — -^ f>iS ^^ ^' 1

L '— pi pp(p — 1) p ptp — pi)J

^ L (^-Pi)(2-pr '^^p^ p(p-Pi)(p-p»-*-i)J

Les deux membres, toutes réductions faites, doivent être composés des lignes trigonométriques des mêmes arcs affectées des mêmes coefficients. Cette identité de composition est la seule chose qui nous intéresse pour le moment. Elle doit persister si Ton différentie les deux membres par rapport à y, sans qu^il y ait lieu de se demander si les sommes restent ou ne restent pas convergentes. Multiplions donc Téquation (11) qui précède par y, différentions-la deux fois de suite et multiplîons-la ensuite par y.

Il viendra, sans calcul, si Ton remarque que ces opérations se font sous les signes S\. et H,

Je dis d'abord que ridentité est impossible si p prend une infinité (*) de valeurs dans cette relation. Comparons, en effet, dans cette hypothèse, les cosinus qui figurent dans les deux membres. Dans le premier membre, les cosinus de la première somme $y^^ ont tous pour coefficients -4- 1 ; les coefficients des cosinus réels de la seconde somme tendent visiblement vers ce même nombre -H 1 quand p croît indéfiniment, comme le montre la décomposition

p. LZllJïJ. yp.p. « (^ ^ P.V-P. . fliiziei) yP-P,,

dans laquelle le second terme est évanouissant. Par conséquent, le premier membre renferme une infinité de cosinus avec des coefficients finis. Dans le second membre, au contraire, tous les coefficients tendent vers zéro quand p croit indéfiniment. L^éga* lité des coefficients devient donc impossible k partir d*un certain rang. Il ne peut y avoir, par conséquent, qu'un nombre limité de valeurs de p.

Mais j*ajoute, d*autre part, qu*il est également impossible que p ne prenne qu'un nombre limité de valeurs. En effet, dans ce cas, je choisirais pour p, la racine 1 -4- (3t dans laquelle |3 a la plus grande valeur possible. Gela posé, il y aura dans la

sommet' de chacun des deux membres de Téquation (12) un

terme qui existera toujours et ne peut se réduire avec aucun autre du même membre. C'est celui dans lequel p »=» 1 — {3t est

(*) Il ne faut pas oublier que p représente successivement dans les sommes S toutes les racines de ia forme 1 -4- (^i, et celles-là seulement. (Voir a» 32.)

le conjugué de pf , car p — pi a, dans ce terme, une valeur P — Pi = — ^P< qui ^'^^^ atteinte dans aucun autre. On doit donc avoir identiquemenry pour pi = 1 + (3i, p sa 1 — (3{\

Cette identité se réduit, pour j^ ea 1, à

(.3) . . . .^(,2fo|^:-P5[^.-

Mais, comme on a la dernière identité (13) se transforme encore dans la suivante

Enfin, par la relation «^ (u + iv) î «> ~ ^ (u + iv\ on trouve

ce qui est absurde. Donc Thypothése qui nous a conduit à celte contradiction doit être rejetée, et nous pouvons énoncer ce théorème important :

51. THÉORèME. — La fonction 2; (s) n^a pas de racines de la forme 1 -h ^i et par conséquent toutes les racines de ^(s) sans exception ont leur partie réelle plus petite que l'unité.