CHAPITRE IV
Conséquences asymptotiques relatives a la théorie
des nombres premiers.
§ 1. — Expression asymptotique de l'équation fondamentale
du w* 28.
58. Revenons» maintenant que nous sommes en possession de connaissances nouvelleSi à Téquation du n° 28,
yÇ(") ePiP-^)
-te>t
Si Ton fait tendre y vers Tinfini, ainsi que nous Tavons déjà remarqué pour la seconde, les deux sommes
convergent vers séro. La chose est claire pour la seconde, mais elle est aussi rigoureusement vraie pour la première, car dans tous les termes sans exception p — 1 a sa partie réelle négative, donc tous les termes convergent vers zéro, et comme la série converge uniformément, la somme de la série doit aussi tendre vers zéro. 11 est bien certain que la série converge uniforme-
ment, car elle a tous ses termes moindres que la série absolument convei^ente
ff>(f>-i)'
dont les termes ne dépendent plus de y.
Il est utile toutefois de remarquer que nous ne sommes pas en état d'apprécier avec quelle rapidité la somme
converge vers zéro quand y tend vers Tinfini. Il peut se faire que cette somme converge vers zéro moins rapidement qu^aucune puissance négative de y. C*est ce qui arriverait si les racines de 2; (5) se rapprochaient indéfiniment de la droite x^ai pour des valeurs indéfiniment croissantes de leur module. Or il n^est pas démontré jusqu'à présent qu'il en soit autrement.
Quoi qu'il en soit, en désignant par s une quantité qui tend vers zéro quand y augmente indéfiniment, nous pouvons mettre réquation (1) sous la forme
et le second membre nous fournit la valeur asymptotique du premier quand y augmente indéfiniment.
63. Cette équation (2) peut d'ailleurs se simplifier. En effet, la différence
tend visiblement vers zéro quand y tend vers l'infini.
De même la différence
tend, par un raisonnement connu (33), vers zéro quand y tend vers l'infini.
L'équation (2) peut donc s'écrire (en remarquant : -^.
Les nouvelles sommes sont simplement étendues maintenant aux nombres premiers <yy et c tend toujours vers zéro pour y infini.
54. Nous allons encore montrer que la constante, indiquée sous forme de limite dans Féquation (3),
n^est autre chose que la constante d*Euler.
On a, pour s > 1 ,
Il \ ( i \ \
d*où en égalant les dérivées logarithmiques
IZ
On tire de Ik
^ lil
Le dernier terme se calcule aisément par la règle de L*Hdpital. On a, pour «=s 1,
On peut aussi calculer le premier terme. On a d^abord au dénominateur
Pour calculer le numérateur, posons Tidentité
y ■*" 5' 4' ' * (2w)' "" \ 2'/ ^ n' "*" .^, n'' 11 vient, en diSérentiant,
iwj* "" "2^ ^, w* ~ l "" 2V -^ «•
Faisons s b= 1 dans celte relation, nous trouverons l'équation
Z2 /3 ii {£i' /-> V 1 V ^
2 5 4 2« " ^1 '« rfi w
Soit C la constante d^Euler, on a les équations asymptoiiques pourn infiniment grand
et en substituant ces valeurs au second membre de Téquation précédente, on trouve
Tout est maintenant calculé dans le second membre de Téquation (4), et cette équation nous donne
comme nous Tavions annoncé.
En conséquence, Téquation (3) peut se mettre sous la forme
§ 2. — Conséquences asymptoiiques de cette équation. 55. Reprenons Téquation (5), où G est la constante d'Euler,
(5) . . . 2J^-illp=.ly-C-i^.,
multiplions-la par dy^ puis intégrons les deux membres et divisons par ;y, on aura, en désignant par t' une quantité qui tend vers zéro comme e quand y tend vers Tinfini,
(6) iA2-^--/-2^p--/'U-c-i
yJ F<»p— * yJ y ,<y yJ
Calculons la première de ces intégrales, on trouve
i fay^ ^=^2 -^ A=2 -^--2 ^ '/>
On remarque que ^ -^ étant de Tordre de ly à cause de réquation (5), le dernier terme- ^ r^lend vers zéro quand y croit indéfiniment. D'autre part, les deux termes précédents sont ceux du premier membre de l'équation (5); en leur substituant leur valeur donnée par cette équation, on trouve donc
(7) . . . \ fdyliJL =iy^Q-\^,,
L'intégrale du second membre de Téquation (6) se calcule aussi sans difficulté :
L'équation (6) se réduira donc» en substituant ces valeurs (7) et (8), en supprimant les termes communs dans les deux membres et en changeant les signes, à la suivante :
e tendant vers zéro quand y tend vers Tinfini.
66. Nous allons déduire maintenant de l'équation (9) que le rapport
-yVv
tend vers l'unité quand y tend vers l'infini.
En changeant, pour plus de clarté, la variable d'inlégration, I équation (9) peut s'écrire
Soie k un nombre positif donné, indépendant de y et arbitrairement petit. Changeons j/ en (1 -(- /:)^ dans Téquation précédente, et désignons par z' une quantité qui tend vers zéro quand y (end vers rinfini, on aura
*ax
On soustrait de cette équation celle qui la précède et Ton trouve
dx
/dx — 2 //) = % -V- fy -^ i'(i H- fc)t/,
et en divisant par ky
Faisons maintenant, tendre y vers Tinfini, e et e' tendent vers zéro^ et il vient, quelque petit que soit A:,
lira— / — 2/p = i.
Remarquons que la fonction ^ (p est constamment constante ou croissante sous le signe d'intégration et que Ton a, par suite,
les inégalités
%•/ X p^, ky^^ J X ky ^, '
%•/ 3P p<, A:y (p<(i+%) J X ky p<(«+*,y
Par conséquent, si Ton fait tendre y vers Tinfini, on aura, sans présupposer l'existence d'une limite déterminée (les inégalités pouvant n'être que des limites d'indétermination),
hm — >'i»<^,
y-* ky 4^y
lira ^ — ; > fP > < .
D'ailleurs on peut changer y en j^^ dans la seconde inégalité et l'on trouve, par la combinaison des deux inégalités,
l(\^k)^y^y^^ ^^(\ -4-A:)/(1+fc)*
Dans ces relations. A: est aussi petit que l'on veut; on peut le faire tendre vers zéro, et les deux membres extrêmes tendent alors vers l'unité. On a par conséquent
et l'existence de la limite est en même temps démontrée.
Nous pouvons donc énoncer le théorème important dont la démonstration rigoureuse n'avait pas encore été obtenue jusqu'à présent (*) :
(*) Le résultat a été affirmé sans démonstration par M. Stieltjrs. — M. Cahen a essayé , de l'établir dans sa Thèse de 1894, mais il y a une lacune dans sa démonstration. M. Cahen affinne (au bas de la page 44) la convergence d'une série dont tous les termes s'obtiennent en intégrant tous les termes d'une série convergente entre des limites infinies. La convergence de celte série ne repose sur rien et serait beaucoup plus difficile à démontrer que le théorème que M. Cahen veut établir.
Théorème. — La somme des logarithmes naturels des nombres premiers inférieurs à y est asymptotique à y quand y tend vers l'infini.
Ce théorème en donne immédiatement un autre, déjà énoncé mais non démontré jusqu'à présent.
Théorème. — Quelque petit que soit k, le nombre des nombres premiers compris entre y et (\ -h k) y augmente indéfiniment avec y.
57. Les résultats trouvés au numéro précédent vont nous fournir une nouvelle loi asymptotique peut-être plus curieuse encore. Revenons à Téquation (5) écrite en tête du n® 53. On peut y supprimer respectivement dans les deux membres les deux termes
2 /p et — i,
qui se détruisent à la limite, de telle sorte que cette équation se réduit à la relation
P<yr ■
de là le théorème remarquable que voici :
Théorème. — La différence des deux quantités indéfiniment croissantes
tp
a pour limite la constante d'Euler quand y tend vers Vinfini.
Ce théorème appelle un rapprochement. Formons les différences
ly-^ -^ et 2--ty,
la somme s'étendant dans la première aux nombres premiers et dans la seconde aux nombres naturels, on voit que ces deux différences ont la même valeur asymptotique, la constante d^Euler, quand on fait tendre y vers Tinfîni.
