QUESTIONS PRÉLIMINAIRES

§ 1. — Définition et propriétés des fonctions ^i(a, x)

et j^jCa^x).

1. On a déjà indiqué plusieurs méthodes différentes pour démontrer les propriétés fondamentales de la fonction ^(5) de Riemann et des fonctions qui s*y rattachent. On les déduit soit de la théorie des fonctions elliptiques, soit de la théorie des

(*) La deuxième et la troisième partie du Mémoire ont été présentées à la Société dans la séance du 16 avril 1896. Une analyse détaillée en a pam dans le Bulletin (session du S9 octobre 1896). Depuis lors M. Hadamard a publié des recherches sur le môme sujet dans le Bulletin de la Société mathémaiique de France (t. XXIV, 4896, dernier fascicule). Il trouve par une méthode différente la plupart des résultats nouveaux qui se trouvaient dans notre travail. L'intérêt de nos recherches ne disparaît pas cependant tout entier; nous entrons dans le détail des démonstrations que iM. Hadamard a supprimées et nous établissons des formules plus générales que les siennes. Par contre, M. Hadamard simplifie beaucoup sur un point une des démonstrations de notre première partie, nous avons cru devoir profiter de cette simplification (voir la note à la fin de la troisième partie du Mémoire}.

résidus des intégrales définies. Cependant aucune de ces méthodes ne nous parait rattacher ces propriétés a leur point de départ le plus naturel. Les recherches que nous avons faites nous ont conduit a en trouver une nouvelle, qui, tout en étant tout aussi rigoureuse, a sur les précédentes Tavantage de la simplicité. C'est cette méthode que nous allons faire connaître.

2. Nous prendrons, comme point de départ, la valeur d*une intégrale définie célèbre et qui joue un rôle important en physique mathématique. Désignons par a > et A: deux constantes réelles ; cette intégrale est la suivante (*) :

e-**"** ces (âfcitx) dx = e • .

Dans le second membre, il n'y a aucune ambiguïté sur la valeur du radical l^ qui est pris positivement.

3. Définition de ^^ (a, x) et développement en série trigonométrique. — Nous définirons cette fonction par la relation

On suppose a et x réels et x > : la série étendue à toutes les valeurs positives et négatives de n est alors absolument convergente et a visiblement pour somme une fonction périodique de a dont la période est Tunité. Cette fonction est donc développable, pour toute valeur réelle de a, en série trigonométrique de la forme

h («> ^) = - Oo -♦- «1 cos âïTtf -h • • • -♦- a» cos ^kna + • ••, ne renfermant pas de sinus. Les coefficients auront pour valeur

Oii csa 2 / ^^(ft, x) cos {ikwa)da..

n G. JOBDAM, Cours d: analyse, t. II, 2« édit, 4894, n» 27S.

Ces coefficients s'expriment donc d'abord par une somme d'intégrales définies. Mais ces sommes se ramènent immédiatement à une intégrale unique, savoir :

/eo ^

En substituant ces valeurs, on trouve donc la relation fondamentale

if • ^ n

(2) . . . ^4 (a, x) « — r h -*- 2 2 « ' cos (2feira) .

Cette relation, dans laquelle on reconnaît une sorte de réciprocité par rapport à x, exprime la propriété la plus remarquable de la fonction «pi (a, x) et Taisance avec laquelle elle s'obtient nous engage à la prendre comme base des considérations qui vont suivre (*).

4. Remarquons qu'en posant aaaO dans la dernière équation, on retrouve immédiatement la relation obtenue par Jacobi dans la théorie des fonctions elliptiques (**) :

22* «-•«-• Lri+22e'**^.

La propriété fonctionnelle de t^(s) est, comme on le sait, une simple conséquence de cette relation.

6. Définition de 4^2(^9 x) ^^ développement en série trigono-

[*) La relation (!2) est un cas particulier de la relation entre les fonctions d'argument réel et imaginaire. Le principe de la démonstration que nous exposons appartient à Dirichlet. Notre démonstration est cependant plus simple que la sienne. (Voir Ehreper, EiliptUche Functionen Théorie und Geschichte, 3« édition, S 48.)

(**) V. Bachman, Die Analyiische Zahlentheoriey p. 169, n* 8.

métrique. — Nous définirons cette fonction par la série

lls-HflO

nss-QO

Le développement de cette fonction en série irigonométrique se déduit immédiatement du précédent, en dérivant par rapport à a, ce qui est permis. On trouve

(4) . . . . iptfa» ^) = r 2 '^^ ' sin2A;ira.

Cette nouvelle relation est la propriété fondamentale de <J^2(a, x). On y reirouve la même réciprocité par rapporta x que dans les précédentes. Celte réciprocité joue, comme on le verra, un rôle caractéristique dans les recherches que nous allons faire.

§ 2. — Définition et propriétés des fonctions Ç-i (a, s)

et $2 (a, s).

Ces nouvelles fonctions sont dans une relation très étroite avec une fonction introduite dans l'analyse par M. Piltz à l'oecasion du sujet qui nous occupe (*), Cette fonction B(a,s) de M. Piltz est étudiée directement dans le Mémoire de cet auteur et par une méthode beaucoup plus laborieuse que la nôtre, mais rimportance des résultats déjà obtenus par M. Piltz nous engage à en parler, pour indiquer où se trouve le point de contact des deux méthodes. Ajoutons que ces fonctions sont des cas particuliers d'une fonction plus générale étudiée plus tard par M. Lîpschitz (**).

(*) Ueber die Hàufigkeit der Primzhalen in arithmetiichen Progressionen und ûber verwandte Gesetze. Dissertation v. âdolf Piltz. iéna, 1884, A. Neuenbahn. On trouTera une courte analyse de cet ouvrage dans VAnalytische Théorie der Zahlen de M. Bachmam, p. 487.

(**) Untersuchung der Eigcnschaften einer Galtung von unendlichen Reihen. JovKVKL DIS, Crelle, t GV, 1889. Ce Mémoire important contient un nombre considérable de formules que nous retrouvons dans celui-ci*

6. Définition de Ci (a» s), sa relation avec ^^(a, i). — Supposons que a Isoit un nombre positif > et < 1 ; nous définirons la fonction i^i (a, s) de la variable réelle ou complexe s par réquation

Pour que ces expressions soient convergentes, on doit supposer ,(R(<) > 1. Les séries sont alors absolument et uniformément convergentes pour <$R(«) > 1 + e, quelque petit que soit le nombre positifs. La fonction (i (a, s) est donc une fonction synectique de la variable s pour «^ («) > 1. Dans la définition de !!(«,<) par la formule précédente, on ne laisse aucune ambiguïté dans la détermination des termes de la série; on convient de poser

et d^attribuer au logarithme sa valeur réelle, de manière que tous les termes soient réels et positifs en même temps que s.

La fonction Ç|(a, s) s^exprime aisément, comme nous allons le voir, au moyen de ^i(a,x).

On a les relations

„- i r f- 1 — » /'*e-<«+")*" I*"* dx,

„ «r - r— / e-<«-"'*»*x* dx;

donc, en ajoutant ensemble toutes les équations qui se déduisent des précédentes pour toutes les valeurs positives de n, on trouve, pour (31 («) > 1 ,

(6) . . . ir"*r(|Jç4(«,«)=y^ *i(«,x)x«"'dx.

7. Les formules du numéro précédent ne sont valables que pour (1R(«) > 1 ; aussi nous n*avons jusqu'à présent de définition

de Ç,(oe, s) que dans eette partie du plan. Mais Textension de la fonction se fait sans peine à tout le plan, comme'^nous allons le montrer.

On a en effet, par le partage de Tintervalle d'intégration,

^, (a, jc) x' dx « / »f^4 («, x) x* rfx -♦- / ^1 (a, x) x* rfx.

Mais on a, par la formule (2) du n^ 3,

.//,(«, x)x'~ rfx = / M -*- 2 2 ^" ' cos(2fcjra) X • rfx.

Le second membre se sépare donc en une somme d'intégrales. La première s*évalue immédiatement; on change la variable d'intégration x en - dans les suivantes. On trouve ainsi :

^, («, x) X* dx == — — -4- 2 2 cos (2A:ra) / 6-"'* x" » rfx.

En définitive, la formule (6) se mettra sous la forme suivante

V') I 00 y^oo H^

-I- 2 2 COS (2fcïra) / C-**^- X * dx.

On reconnaît à première vue que le second membre de cette équation est convergent quel que soit s. Cette équation nous fournit donc une représentation de Ç|((x, s) applicable dans tout le plan. Elle montre que Z\(^fS) ^st une fonction méromorphe de s qui n'a qu'un seul pâle s «» 1 .

8. Développement de Çi(a, s) en série trigonomé trique, — Cette fonction présente une particularité curieuse : elle n'est développable en série irigonométrique par rapport à a que si la partie réelle de $ est négative.

Supposons dooc ill(«) < 0; on trouvera, en répétant les calculs du numéro précédent,

i(»i(a,a:)a:*" dx « -♦- 2 2 cûs (Sfcira) / 6-**«'*ap • dx ,

et, en substituant dans la formule (7),

ir' ^ r (l) ?!(«,«)« 2 2 C08 (2*ira) /^"e"**'- x" ^*^ d«.

Toutes ces intégrales se calculent facilement et Ton obtient finalement, toujours dans Thypothése S{(s) < 0,

- •. /«\ - •— • M — «\ ^ ces 2*ir«

Cette relation se simplifie au moyen de la théorie des fonctions eulériennes qui donne (*)

C) On a (Serret, Cours de calcul différentiel et intégral, t II, SS M8 et S19) les deux formules :

Si l'on change ' en ^ dans la première et s en ^ dans la seconde, on trouve

'(l)'('-î)=-MI)^H)-

sin —

Puis, en divisant membre k membre,

a=- r(l-4-5)sin-— .

Enfin, en changeant < en — «, on trouTe le résultat utilisé ici.

On trouve ainsi, en réduisant»

(8) . . . Çi(«,«) = -7i;r{< — «)8in-.2 —nr, —

*■ ^ ksi f^

Ce$i le développement trigonométrique que nous voulions obtenir et qui est légitime pour g{^{s) < 0.

9. Définition de ^j|(a, s), sa relation avec ^^(a,\). — Soit, comme tout à Theure, a une quantité positive, comprise entre zéro et un (limites exclues). La fonction ÇjC^» ^^^ '^ fonction de la variable complexe s déGnie, pour ^(«) > 1, par l'équation

Il existe entre Ç^ et ^^ une relation du même genre que celle qui unit ^i à (pi. On a, en effet.

tïl /s -4- 4\ 4 /^« izï

\ 2 / (n -♦- aV ,/ ^ ^

"2 /(il — a)

2 y II — a* J ^ ^

Attribuant successivement, dans ces équations, toutes les valeurs positives à n, puis ajoutant toutes les équations correspondantes membre k membre, on trouve, pour S{(s) > 1,

(40) . .T * r(—^j ?,(«,«)=:/ ^,(a,x)x« dx.

10. La fonction ^^(a, 5) n'est définie par Téquation précédente que pour r3\(s) > 1, mais la propriété fondamentale de 4^2 nous permet d*obtenir aisément pour ^2 une représentation valable dans toute retendue du plan.

On a, en effet,

•f»,(a, x)x * dx = / J/ï(a, x)x • dx -«- / t«(«» ^)^ * ^^>

et par la formule (i)»

t,(a, «)a: • rf« « 2 / «•' da 2 Ae" • «in {â*na)

On tire de li, pour ^s («,«)• Texpression valable dans tout le plan

î+1 \^ ^ \\ /»• îzl

w « r ( — - j i;,(a, «) « / •^,(«,x)x • àx

-h 2 y. ifcsinfâfcra) / c **''x *dx.

\k%iïï[^kira) r

Celle formule montre que la fonction (2(^9 ^^^ ^"^ fonction synectique dans toute Tétendue du plan.

!!• Développement de Çj(a, «) en série trigonométrique. — Ce développement suppose encore que l'on ait 5\ (s) < 0. On trouve, dans cette hypothèse, par une transformation analogue à celle du numéro précédent,

^,(a, x)x • dx = 2 2 fe sin (^km) j e'^^' x""* dx , I *"

et en substituant ce résultat dans la dernière formule, îti /« -f- 1 \ * /^* - •

Enfin, en remplaçant toutes ces intégrales par leur valeur, on trouve, dans Thypothèse S\.(s) < 0,

«!+i /s^^iX ^ - îz£ ^ /2 — «\ • sin (2*T«)

Cette équation peut se transformer au moyen de la formule suivante, empruntée à la théorie des fonctions eulériennes (*),

^("2~) 2T0-.)co8-

ce qui donne

(12) . . Ç.(.,,)=r(l-.S)cOS-2-^j3;-i.

C*est le développement trigonométrique que nous voulions obtenir et qui est légitime pour Sl(s) < 0.

18. Définition de la fonction B(a, s). — Cette fonction est définie, pour <iR(«) > 1, par la formule

Cette fonction a été introduite dans Tanalyse par M. Piltz (sauf que M. Piltz change le signe de s). On la ramène immédiatement aux deux précédentes par la relation

Les propriétés de cette fonction sont donc complètement éclaircies par ce qui précède et on peut obtenir, pour la représenter, des expressions valables pour toute valeur de s.

Si Ton suppose Si(s) < 0, le développement trigonométrique de B(ay s) par rapport à a se déduit immédiatement des formules (12) et (8) :

«/ N 2* ^,. ,r. 8r ^ cosi^kra) «w JJ sin (2fcr«)1

B{.. .) - ;^ rO - ,) |s.n -| -13^ . cos - 2 -^J .

(*) Cette formale est équivalente à la formule analogue da n* 8 et s'en déduit par le changement de f en (« — i).

La relation précédente est la relation fondamentale de M. Piltz, qui Ta démontrée directement par le calcul des coefficients du développement trigonométrique. Cette formule sert de base à ses recherches ultérieures. Pour nous, elle ne nous sera d*aucune utilité dans cette partie du Mémoire et nous n*en parlerons plus. Nous aurons toujours recours aux propriétés des fonctions beaucoup plus maniables ^i(a, x) et <^^(a^x).

§ 3. — Application des méthodes de M, Hadamard à certaines

fonctions.

Nous allons démontrer d'abord quelques théorèmes dont nous aurons à faire un usage répété dans la suite.

13. Théorème I. — Désignons par b (supposé > 0) e£ k deux constantes réelles, et par y\ une quantité qui tend vers zéro quand n tend vers l'infini; on peut écrire l'équation

/oo 6— a* (te)» dx «= [(1 -^ If) In]".

Pour démontrer ce théorème, nous allons montrer que Tintégrale du premier membre est comprise entre deux expressions, toutes les deux de la forme du second membre.

Cherchons d'abord une limite supérieure de cette intégrale. En désignant par s une constante infiniment petite, on a, à partir d'une valeur suffisamment grande de n,

er " X* {Ix)" dx> / e— x* (te)» dx,

et, par le théorème de la moyenne, il vient (0 < < 1 ) /" V- a:*(te)« dx > e-<"-^>**(it — «)*[fc(n — e)]»£

Mais la quantité

In

tend vers e"^* quand n tend vers Tinfini. On peut donc, en désignant en général par tj une quantité qui tend vers zéro quand n tend vers TinGni, mettre la dernière inégalité sous la forme

e-"x*(/x)»dx > [(i -h If) «-•«/«]",

et, comme s est un infiniment petit, ce second membre peut être remplacé, vu la nature du théorème, par

Cherchons, d*autre part, une limite supérieure de la même intégrale. Pour cela, désignons par e une constante inférieure à a; on peut évidemment écrire Tinégalité

r e^-* x'(lx)''dx < [max .e-<-*>' x*(/x)"] /* e~^dx

< -max.c~^*"*^x*(/x)".

Or, le maximum correspond à la valeur de x qui annule la dérivée, c'est-à-dire la fonction

•>• x*-*(/x)» f— (a ^ £)x -f. fc 4- pi

La valeur de x qui annule cette dérivée est donc fournie par réquation

(a — £)x «fe 4- — ;

elle augmente indéfiniment avec n et a pour valeur approxima-

tive, quand n est grand,

Dans le sens général donné à t^, on pourra donc écrire, pour cette valeur de x,

D'ailleurs/ pour cette valeur de x^ les deux quantités x*et 1 : 8 sont visiblement de cette même forme (1 •+- ti)"; la quantité (te)" de la forme [(1 + fi) /n]" et, par conséquent, aussi

- max.c"^-*>" a*(/xy « [(i -4- y) to]% ce qui achève la démonstration du théorème.

14. Remarque I. — Il résulte immédiatement de Tapplication du théorème de la moyenne, que si Ton désigne par (f(x) une fonction continue de x qui tend vers une limite finie positive et non nulle quand x tend vers Pinfini, on peut aussi écrire, sous les conditions du théorème précédent,

f (x)6— x*(te)»da « [(i -I- v)/n]".

15. Remarque II. — De même, plus généralement, si Ton désigne par 9(a;) une fonction continue, qui reste comprise entre des limites finies (positives ou négatives) quand x augmente indéfiniment^ on peut aussi écrire sous les conditions du théorème précédent :

mod / 6(x)e— x*(te)»dx^[(l -¥ yDln^.

16. Théorème II. — Soit 6(x) une fonction continue, qui conserve une valeur finie quand x tend vers Vinfini^ et a une constante positive; la fonction de s, représentée par l'intégrale

f(s)^ / B{x)e"^x'dx,

est une fonction synectique dans toute l'életidue du plan et cette fonction ne peut être d'un genre supérieur au premier (*).

L^intégrale est absolument et uniformément convergente dans toute portion du plan s; donc elle représente une fonction synectique dans tout le plan. Par conséquent, elle est développable en série de Maclaurin convergente pour toute valeur de s^ sous

la forme

Oo -♦- QiS -^ atS* -♦-... ^ a^s" -♦-•••.

Les coeiRcients se calculent par la formule

et Ton a^ par la remarque du n* 15»

La formule précédente fait connaître la décroissance des coefficients a,. On peut en déduire le genre de la fonction par la méthode de M. Hadamard. Celui-ci a démontré que lorsque le coefficient a. est de Tordre de — ^ où ^ est un entier Ë + 1,

{nl)î

la fonction est du genre E ou du genre (Ë -4- 1). Dans le cas actuel, X =a 1, parce que (In)" est un infiniment petit par rapport à toute puissance positive constante de ni. Donc la fonction que nous considérons est du genre zéro ou du genre un.

17. Théorème IIL — Si la fonction f(s) du théorème précédent possède des racines p, et si ces racines sont en nombre illimité^ la série étendue à toutes ces racines

^ (mod pf

sera convergente pour k > 1 .

(*) Il est clair que le théorème subsistera, si l'oo remplace dans l'intégrale t par une fonction linéaire de <•

Ce théorème résulte encore de la règle suivante, découverte par M. Hàdamard :

Soit (p(n) une fonction constamment croissante avec n; si le coefficient a. décroit plus vite que

?{nr

le module de la n'^^'^racine p,, ces racines étant supposées rangées par ordre de modules croissants^ sera supérieur à f (n). On a ici

mod o„ < — [(i -♦- If) fn]% et comme, par la formule de Stirling,

il vient donc

mod o„ ^

nî«r(i+v)^T,

n'y elnj

et l'application de la règle de M. Hàdamard donne

mod p„ > - Te In

La série dont il est question dans Ténoncé du théorème converge donc plus rapidement que la série

2 fâ'

qui est convergente pour A > 1 . Le théorème est donc établi.

18. Remarque. — L'application des méthodes utilisées dans les numéros qui précèdent permet d'établir très aisément que les fonctions i^i et ^^ de s étudiées dans le paragraphe précédent sont des fonctions du premier genre. Ce résultat nous étant inutile, nous ne nous arrêterons pas à le démontrer en détail.