Soit p un nombre premier et n un nombre quelconque
non divisible par p. Soit ensuite g une racine primitive de la
congruence
5^-* = ! (modp),
et, d'autre part, co une racine primitive de Féquation
Désignons encore par v Tindice du nombre n, selon le module p, c'est-à-dire le nombre unique inférieur a p qui vériGe la congruence
(2) gf"sn(modp);
on dit que la quantité
(3) x(/i, mod p) « »"*,
où h est un des entiers 0, 1, S ... (p — 3), est un caractère du
nombre n (mod p). Quand aucune confusion n*est possible, ce caractère se représente simplement par x(^)* Les quantités u^ savoir
sont les (p — 1) racines de Péquation (1). On peut donc dire encore que Ton forme les différents caractères d*un nombre n en remplaçant, dans Texpression
(i> par les (p — 1) racines différentes de Téquation (1).
20. L*équation (I) a deux racines réelles -4-1 et — 1» qui correspondent aux valeurs A «=» et A e=3^:=l. On appelle carac' tère principal celui qui correspond à la racine + 1 ; il est égal à Punité pour tous les nombres n. En dehors du caractère principal, il n*y en a qu*un seul qui soit réel pour tous les nombres n : il correspond à la racine ( — 1) et est égal à d: 1 suivant le nombre n.
Nous donnerons à tous les autres caractères le nom de caractères imaginaires, quoiqu'ils puissent avoir une valeur réelle pour certains nombres particuliers. Leur module est toujours égal à Tunité.
A tout caractère imaginaire ^(n) formé avec la racine oo'^ correspond un caractère conjugué ou opposé, formé avec la racine c«>~'^ conjuguée de la première. Nous représenterons ce caractère conjugué par les notations
Les caractères doivent être partagés en deux classes^ mais cette distinction deviendra surtout importante plus tard. Le caractère principal forme à lui seul la première classe, et tous les autres caractères rentrent dans la seconde* ^
Quand il y aura lieu de les distinguer entre eux, nous représenterons les différents caractères par
selon qu'ils sont formés avec les racines
De la sorte, le caractère principal sera représenté par ^o*
Je ferai remarquer encore que, pour un caractère ^^ quelconque, ^( — 1) est réel etégal à db 1 suivant que h est pair ou impair. En effet, Tindice dé ( — 1) étant ^^ , on a
21. Les caractères ainsi définis jouissent de quatre propriétés fondamentales bien connues, que nous allons énoncer :
1 ® Pour tout caractère ^ et deux nombres quelconques n et n\ on a la relation fonctionnelle
3t(n)x(n')=.%(nn'); 2^ On a, pour un caractère quelconque,
%(n) = x (n'), si n = n: (mod p); 3* Pour tout caractère, sauf le principal, on a
«si
tandis que, pour le caractère principal,
4® Si Ton désigne par S une somme étendue à la totalité des caractères, on a
sauf cependant si n ^ 1 (mod p), auquel cas
§ 2. — Définition et propriétés des fonctions W^ (x^x^
et W^ (X, x).
22. Définition des fonctions ^^(x,^^) et Va(x, j^). — Ces deux fonctions, comme nous allons voir, sont étroitement liées aux fonctions ^| (a, x) et ^2 (<%> ^)' ^"^ ^^^^ avons considérées dans le chapitre 1".
Dans le paragraphe actuel, nous supposons expressément que le caractère ^ est différent du principal, et nous posons comme définition
Y4 (X, 5c mod p) = 2' x(n)e ' , {\) . . . [
•3s:~fle
Dans ces sommes, on donne successivement à n toutes les valeurs entières premières avec p. Ccsi pour rappeler cette circonstance que nous avons accentué le signe S.
Ces équations (1) peuvent encore se mettre sous une autre forme. En remarquant la relation (21 , 1 *)
elles peuvent s'écrire
Rappelons encore que ^ ( — 1) = db 1, comme on Ta vu au n"" 20 ; on aura :
l*Six(-l)-l,
^i{XyX) — ^^'x{n)e ' ,
{0} • • • • \ naal
2« Six(-l)- 1,
«si
On n'a donc à étudier la fonction V^ que si 5j( — 1) «=» 1, et la fonction Wj que si 5^ ( — 1) «= — i •
23. J?/wde de la fonction V| (x, y) quand 5^( — 1) = 1. — Si Ton désigne par k un nombre entier inférieur à p, et tient compte de la relation (21 , ^)
xW-^'X {k) si n B ft (mod p),
le coefficient de ^(A:) dans le second membre de Tcquation
Hs-l-ao n*yr*
aura pour valeur
ma -00 «is-oo . ^r '
en vertu de la définition de m^ (n" 3).
On a doncy entre W^ et 4*^, la relation
Cette équation va nous servir à trouver la relation fonctionnelle que vérifie ^^ (x,^). Elle se déduit de la relation établie pour ^1 (a; x) au n*" 3, et que voici :
a, x) = — ::: U *<- 2 2 ^ " cos ^nira, .
'^iC
Si l'on fait successivement a = ->-v«»^ et substitue dans réquation (5) les expressions de ^^j tirées de Téquation précé-
dente, le terme qui ne renferme pas de cosinus disparait, parce que la somme des caractères est nulle (31), et il vient
Vpx •=* L »=i P J
Mais la somme
> 3c(^) cos
s*évalue aisément :
1* Si n est un multiple de p, cette somme se réduit i
S"* Si n est premier avec jo, on a (2I| 1*)
Si P %(")Si P
Remarquons que quand A: varie, kn représente, en même temps que /:, un système complet de résidus (mod p). Posons diaprés cela
2 X (A;) cos =• 2 X (A;^*) cos = ri(x);
*al P *=1 P
on aura
2 X W cos = — — T, (x\
Il vient ainsi
l/]ïi iSi %(«) et par la formule (3), puisque ^( — l)^»! par hypothèse,
Posons encore, pour simplifier,
L*équation (6) prend ainsi la forme
i /i 4\ (7) Vi(i»,x) = «i(%).-7rV||-'-)»
et telle est la relation fonctionnelle que vérifie la fonction W^.
Le facteur 6|(^), indépendant de x, a son module égal à Tunité. En effet, multiplions membre à membre Téquation (7) avec celle qui s*en déduit par le changement simultané de x en Ira; et de ^ en 1:^, et supprimons le facteur commun Wi {Xf-/) % Ixy i j ; il viendra
(8) ^i(%)^i(-)=[inod.,(x)P = i.
La même conclusion s*obtient en posant x<=l dans Féqua- (ion (7), à condition que ^^4 (1 , ^) ne soit pas nul. On a, dans ce cas,
\ xf ^xin
xl ièiiX (»)
24. Remarque. — Si ^ ^st le caractère réel correspondant à la racine a)=( — 1) (n^ 20), on peut se servir, pour représenter ce caractère, du symbole de Legendre
,(„)-L=(îî)
xin) \pl
Pour que ^( — i)^=»if il faut quep^l(mod 4). On a, dans ce cas, par Téquation 8,
et il vient
cos = =h [/p.
On retrouve donc ainsi, au signe près, la valeur de la somme de Gauss. Si Yi(i»x) n'est pas nul, la formule (8') montre que c'est le signe -f- qu'il faut prendre. Gauss a montré que cette dernière conclusion est toujours vraie (*), de sorte qu'on a sans restriction e| (^) «a 1 . Dans le cas du caractère réel, la relation (7) se réduit donc à
25. Étude de la fonction W^ (x, y) qtâand 5f( — 1) = — 1. Si l'on groupe les termes comme au n* 23, on voit que le coefficient de x(^) dsns le second membre de l'équation
a pour valeur * 2^ (k -*- mp)e '=ap 2t (--*-mle ^' ^ =.p^,l-,pxl.
Mas*- 00 Ms=^ 00 ^ ' y '
Par conséquent,
Gomme dans le cas précédent, nous allons déduire la relation fonctionnelle vérifiée par ^^ de la relation du n® S, à laquelle satisfait <p), savoir
*«(«, 3c) Œ — — 2^^^ ' si" 2*«'«x\/x«=«
On fait successivement dans celle-ci a «» -' -» •*• ^, et l'on substitue dans l'équation (10); il vient ainsi
xvpxn^ L *-* P J
(*) Summatio quarumdam ierierum singularium (1808). — Voir aussi DIRICHLET Dedekind, ZakleniheoriCy supplément 1.
On a d'ailleurs, comme au n* 23 :
1* Pour n multiple de p,
>5c(*)sin «0;
fi P
2* Pour n premier avec p,
2 XW sin = x(n) 2 x(^) sm *- t,(x).
D'où réqualion
et par la relation (4) du n* 22, puisque x( — !)<»" — ^ par hypothèse,
arV/px ^^ X^ Posons, pour simplifler,
L'équation (11) se mettra alors sous la forme
i /l 1\ (12) .... H',(x, %) = fî(x) — -i^'il-»- •
Telle est la relation fonctionnelle que vérifie la fonction ^li^fX) quand x( — l)*™ — ^' 0" montre, comme dans le cas précédent, que le module de tzix^ ^^^ ^S^l ^ Tunité.
26. Remarque. — Si x ^st le caractère réel correspondant à la racine o)s= — 1 de Téquation «o^'^^l, on a
5C(W) Vp/
— ,27 — Lorsque p ai 3 (mod 4), auquel cas
on en conclut
sin = ^l/p, €^(x)-^\y
sans ambiguïté de signe, comme dans le cas précédent. La fonction correspondante possède alors la propriété fonctionnelJe
(i3) M^fX^ — ^—z'^Az^x]'
§ 3. Définition et propriétés des fonctions Z(s,x)> ^i (^>X)
et ^2 («, X)'
27. Les fonctions Z(«,x) sont celles que nous appelons fonctions de Dirichlety parce que cet auteur les a introduites dans Tanalyse. Elles jouent le rôle essentiel dans la démonstration du théorème sur la progression arithmétique. Nous allons étudier ici leurs propriétés fonctionnelles qui ont été découvertes par M. Piltz Mais au lieu de les établir directement, comme le fait cet auteur, nous allons les rattacher à celles des fonctions W|(x,x) et Wj(a;,x), que nous venons d analyser (*).
28. Les fonctions Z(5, x)^^^^^^^"ies,'pour^(«)> 1, par la série ou le produit infini
(*) Il convient d'ajouter que M. Lipschitz, auquel le travail de M. Piltz (1881) semble être resté inconnu, a retrouvé ces propriét-is fonctionnelles par uue méthode analogue à eelle de M. Piltz dans son mémoire de 4889 déjà cité. {Journ, de Crelie, t. GV.)
où la somme accentuée est étendue à tous les nombres entiers non divisibles par p, le produit à tous les nombres premiers q autres que p.
Dans le paragraphe actuel, nous supposerons encore que x ^^^ un caractère différent du principal. Dans cette hypothèse, la série converge pour S{ (0> Oi ^^i^ nous n*utiliserons pas cette circonstance pour le moment.
29. Ces séries jouissent de propriétés différentes suivant que Ton a 5^ { — l)==i-hl ou — 1. En effet, nous allons voir que, suivant Thypcihèse, elles se ramènent à la fonction !^| ou à la fonction ^^ du premier chapitre.
1* Six( — 1)«=*, on a
et' Ton peut écrire
i^i L«s» (mp -♦- ky :Si (wp — ky}
PS
2*Six(-l)^ l,ona
%(*) = — %(P — *), et Ton peut écrire
s Lia (mp -♦- ky ;Si (mp — *)• J
?ïMi-y
80. Nous allons encore montrer que, suivant Tun ou Tautre de ces deux cas, la fonction Z($,y) so ramène aussi à Pune des fonctions Q^^ ou W2* Ou pourrait déduire ce résultat des calculs
que nous venons de faire et de ceux du chapitre I, mais il est aussi simple de rétablir directement.
i^ Si 5^( — 1) = 1, on part de la relation
^YHU-f
e ' x* dr,
et Ton trouve par la formule (1) ci-dessus et la formule (3) du n«22
Pour ^( — 1)«=1> nous définirons une nouvelle fonction ^i(^>X) P^i* réquation
La fonction Z se ramènera ainsi à la fonction ^;|, et Ton aura (4) . . . . f4(«,%) = 2 / H^t(x,%)x* dx.
On voit par les formules précédentes qu*il existe entre les fonctions Z et ^^ une relation analogue à celle qui lie les fonctions ^{s) et l(J) de Riemann.
2* Si 5j( — !)«-■ — 1, on part de la relation
et Ton trouve par la formule (1) du paragraphe actuel et la formule (4) du paragraphe précédent
Nous définirons, comme dans le cas précédenr, une nouvelle fonction ç, (5, y) par Téqualion
la fonction Z se ramène ainsi à la fonction Ç^, et Ton a
(7) . . . . fi(«,%) — ^/ M^^oà^^ dx.
31. Les formules (4) et (7) du numéro précédent viennent d'èlre établies pour ,31 (s) > 1, mais ces formules restent convergentes et par conséquent valables pour toute valeur de s. Elles prouvent donc que Z{8,'/) est une fonction synectique dans tout le plan (le caractère x ^^^'^^ supposé différent du principal). Toutefois cette circonstance n'est pas apparente dans les formules susmentionnées et, pour la mettre en pleine lumière, nous allons mettre les intégrales qui précèdent sous une autre forme, qui conduit encore à d*auires conséquences importantes.
1" Supposons d'abord ^( — 1) = 1. On a
"^d^yX)^^ rfxs»/ YiX* dx -^ I Y|X* dx.
Si Ton change la variable d'intégration ^ en - dans la seconde intégrale, puis utilise la relation fonctionnelle (7) du paragraphe précédent (n^ 23), il vient successivement
• / Y|(ar,5c)x*''*da;=i / 'F,(-.%jx~' dx
= fi(%) / '»^iU-, -jx * dx,
et, en substituant dans la formule (4) qui a lieu pour x( — 1 ) "» i >
On voit maintenant, en se reportant à Texpressioii de U^i en série (n* 22), que le second membre converge pour toute valeur de s et représente une fonction entière de s dans toufe retendue du plan.
La formule (4*) met encore en lumière la propriété fonctionnelle de il (5, y). Si Ton considère que Ton a (n* 23, form. 8)
on reconnaîtra à la seule inspeclioii du second membre Texactitude de la relation
D*où le théorème suivant :
Si x( — 1) = 1 , /a fonction S| (s, x) «^ reproduit^ multipliée par un fadeur indépendant de s el de module égal à f unité, par le changement simultané de s en 1 — set de y en ^> s/, en particulier, 5^ est le caractère réel correspondant à la racine w «■ — 1 , /a fonction se reproduit par le changement de s en l — s (*).
2* Passons au cas où x( — *) = — !• On a, par les mêmes
(*) Dans le cas du caractère réel, cette propriété a été découverte par M. Hurwitz. [Zeilschrifi fur Math. u. Pfi , t. XXVII, iÔ82 )
transformations que ci-dessus,
La formule (7'), qui n*est qu*une autre forme de la formule (7), met en évidence que l^ (<, y) est une fonction entière pour toute valeur de s. On en conclut, comme dans le premier cas, la relation fonctionnelle
(9) Çi(«,x) = fi(x)«.(i-«, -)•
D*où le théorème suivant :
Si x( — 1)= — 1> 'fl fonction $a(«,x) *^ reproduit, multipliée par un facteur indépendant de s et de module égal à l'unité, par
le changement simultané de s en l — s et de y en -* En particu-
Ai
lier, si y^ est le caractère réel correspondant à la racine iùts=a — 4, la fonction se reproduit simplement par le changement de s en 1— s.
3S. Remarque. — On peut encore énoncer les théorèmes contenus dans les formules (8) et (9) sous la forme suivante : Les produits
ti(«,x)Çi[«, -]' si 5c(— = ^;
restent invariables par le changement de s en i — s.
38 Conêéquevces relatives aux racines de Ç| et Ç,. — I.C8 formules (3) et (6) qui lient les fonctions Ç| et ^2 ^^ prouvent, puisque la fonction F ne peut pas s'annuler, que Ç| et ^^ ne peuvent avoir d'autres racines que celles de Z.
L'expression de Z (f, y) en produit infini
convergent pour ^ (<) > U prouve que Z («, /) ne peut avoir (le racines dont la partie réelle surpasse Tunité. Donc, en premier lieu, les fonctions if et ^2 ^^ peuvent avoir de racines dont la partie réelle surpasse Funité. Nais, d'autre part, les formules (8) ou (9) montrent que si s est racine de l\(s,y) ou
ia(«iX)' (* ""*) ^^^ ''®^'"® ^® 5t(^ 5^) ou 5a(«» |); donc, en vertu de la conclusion précédenle, s ne peut avoir non plus sa
