partie réelle négative. De là la conclusion suivante

Si les fonctions i^ et l^ ont des racines, ce sont nécessairement des racines de Z, et ces racines ont leur partie réelle comprise entre et + 1 (limites non exclues jusqu'à présent).

Nous allons démontrer au paragraphe suivant que ces racines existent effectivement.

§4. — Genre des fonctions ^1,^2^^^* R^^cines de ces fonctions.

84. Pour déterminer le genre de ces fonctions, nous allons employer encore une fois la méthode de M. Had<omard, dont nous 9Vons déjà fait connaître les principes au chapitre I"', § 3. Au lieu d appliquer simplement les théorèmes déjà démontrés, nous allons reproduire certaines démonstrations qui conduisent, dans dans le cas actuel, à des résultats un peu plus précis.

Développements de $1 et Çj par la formule de Maclaitrin, — l^s fonctions entières Ç| et Çj peuvent se développer par la formule de Maelaurin dans toute Fétendue du plan sous la forme

Çi(«»%)==tfo-^ Oi^ ♦• •

ê«(«» %) == to + b^^ -^ •

• -+- fc„.s" -*- •••.

Les coellicients du développement se déduisent direciement des formules (4*) et (7*) du paragraphe précédent, et peuvent se calculer par les formules

— ^)Mx)f ^« (^> -) [lxYdx\ .

On remarque que les deux quantités

Vi(x, %)— zH- (— ^)"f«{%)'r, (a:,-.).

ne diffèrent respectivement des deux quantités

2(^irf.(5c)e'"^-— .

que par un facteur qui tend vers Tunilé quand x augmente indéfiniment. On peut donc appliquer la remarque du n** 14 et poser, en désignant en général par '(\ une quantité qui tend vers zéro pour n infini, les expressions asymptotiques

35. Les formules précédentes font connaître la loi de décroissance des cocflicicnts a, et 6„. On peut, comme au n* 16, en déduire le genre de la fonction par la méthode de M. Hadamard. On conclut immédiatement de la comparaison des formules que les fonctions Çf (s, y) et l^Çs^y) sont du genre zéro ou du genre un.

Il est également très important de connaître la loi de croissance des modules des racines successives

Pli ^> • • p«» •••

de Tune ou de Tautre de ces fonctions supposées rangées par ordre de modules croissants. La démonstration du n^'l? s*applique encore et nous permet d'énoncer d'abord le théorème suivant :

La série

^ (mod pj

étendue à toutes les racines de la fonction Ç^ (s, ^), si x(— 1 ) «a 1 , ow iaCs» y)f ii xC"^ 1) ==» — 1, à supposer que ces racines soient en nombre illimité^ sera convergente, pourvu que k soit supérieur à Cunité.

Le théorème précédent ne suffit pas pour établir Texistcnce lies racines p. Il faudrait en outre trouver une limite inférieure du module de p„. On pourrait obtenir ce résultat comme il suit :

Supposons 5^( — 1) = 1. Posons alors

et considérons la fonction

qui, en vertu de la remarque du n* 32, sera une fonction paire de t.On peut, avec un peu d'attention, raisonner sur cette fonction comme M. Hadamard raisonne sur la fonction Ç(/) dans son

Mémoire^ et montrer que cette fonction est du genre zéro en fi. On déterminera ensuite avec exactitude la loi de croissance des modules de ses racines, qui est analogue à celle des racines de Ç(/). Cette loi étant connue pour le produit

Çi(i -♦- <t,x)ÇiM -♦- ft,-].

lest, par le fait même, pour chacun des facteurs séparément, parce que les racines de \\ (s, '^) sont les conjuguées de celles

de$.(,,i).

36. Nous ne nous arrêterons pas cependant à faire cette démonstration, qui est assez longue, et nous nous contenterons d'établir, par la méthode la plus simple possible, le résultat suivant :

Les fondions i| (s, '^) et ^^(s^ y) ^^^^ ^^ genre un et non du genre zéro^ et elles admettent une infinité de racines p. La loi de croissance des modules de ces racines est telle que la série

mod

ne peut pas être convergente.

Pour fixer les idées, supposons ^( — 1)^»! et raisonnons sur la fonction ii(^, x^. Le développement de ^1(^9/) en facteurs primaires ne peut renfermer que des facteurs exponentiels de la forme c"* et des facteurs de la forme (l — -\ puisque la fonction n*est pas d'un genre supérieur au premier (35). Les facteurs exponentiels doivent même disparaître si la fonction est du genre zéro; mais on peut comprendre ce cas dans le précédent, en admettant que les coefficients a peuvent être nuls.

Si, par impossible, la série l»-^ était absolument convergente, on pourrait, dans le développement en facteurs primaires, grouper séparément 1rs facteurs de la forme [l — -] en produit absolument convergent, et par suite grouper aussi séparément les expo-

nendelles. On obtiendrait ainsi un résultat de In forme

doù

et le second membre conserverait une valeur finie quand s tend vers Tinfini positif» toutes les racines p ayant leur partie réelle inférieure à Punité (33).

Mais, d*autre part, je vais montrer que le premier membre augmente indéfiniment quand s tend vers Tinfini positif. On a, en effet (30),

d'où

D log Ç, (», x) ^ log Q + D log r (|j + log Z («, x)-

L'expressiou de Z en produit infini (28) donne

Ce terme tend donc vers zéro, quand s tend vers Tinfîni positif, tandis que D log V \V\ augmente indéfiniment avec s. Donc D log il (s, y) augmente aussi indéfiniment. La série S -^r ne peut pas être convergente et le théorème est établi.

Le même raisonnement s'applique à Ç^(«,5^)si y^(^ — 1) = — 1. En résumant donc les résultats énoncés aux n"" 33 et 36, on o le théorème suivant :

37. La fonction Ç| (s^y) si y ( — 1 ) = 1 et la fonction Çj (s, y) si 5^( — i )«=* — 1, sont des fonctions du premier genre ayant une infinité de racines dont la partie réelle est comprise entre zéro et un.

La fonction Z (s, y)^ qui t'exprime par un produit de troii fonctions du premier genre

e$t donc aussi une fonction entière du premier genre.