CHAPITRE III

Étude analytique des fonctions de Dirighlet dans le cas

d*un module composé.

§ 1. — Définition et propriétés des caractères (mod. p**) dans le cas d'un nombre premier p impair,

38. Définition des caractères (mod p^). — Désignons par n un nombre quelconque premier à p et par g une racine primitive de la congruenee

Soit V rindice du nombre n, c'est-à-dire un nombre vérifiant la congruenee

(i) flf'' s n (mod p«).

Représentons par co une racine quelconque de Téquation (2) «p'^'Vo.^l.

La quantité

x(n,raod ;)«) = »"

est ce que nous appellerons un caractère du nombre n (mod /}*). Nous représenterons d'ailleurs ce caractère par x(n} quand aucune confusion ne sera possible.

On forme des caractères différents en remplaçant les unes par les aulres les différentes racines des équations (2). Ces racines peuvent s*exprimer comme puissances successives d'une racine primitive (0| :

et leur nombre, qui est celui des caractères différents, est égal à p^^^ip — !)• Nous représenterons ce nombre, suivant Tusage, par ?(p«).

L*équation (2) n*a que deux racines réelles + 1 et — 1 ; toutes les autres sont imaginaires, mais leur module est égal à Tunité.

On donne le nom de caractère principal à celui qui est formé avec la racine (o =» 1 ; il est égal à Tunité pour tous les nombres. En dehors du précédent, il n*y en a qu'un seul qui soit réel pour tous les nombres n : c'est celui qui correspond à !a racine (Osa — i . Il est égal à /^|, ce symbole représentant, d'après Legendre^ le caractère quadratique de n (mod p).

Nous donnerons à tous les autres caractères le nom de caractère$ imaginaires. Ceux-ci sont conjugués deux à deux, comme les racines qui servent à les former, de sorte qu'à tout caractère ^(n) formé avec la racine (o correspond un caractère conjugué ou opposé, que nous représenterons par les notations

et qui est formé avec la racine - conjuguée de la première. S'il y a lieu de les distinguer entre eux, nous représenterons encore les différents caractères par

et nous conviendrons que Xo représente le caractère principal.

Enfin, pour un caractère y^ quelconque» formé avec la racine coi \ on a

Le caractère ^( — 1) est donc égal à -4- 1 ou -- 1 suivant que la racine (o qui sert à le former est une puissance paire ou impaire de la racine primitive (i>|.

39. Les caractères ainsi définis jouissent encore des quatre propriétés fondamentales correspondant à celles du n^ 21 « savoir :

1* Pour deux nombres quelconques n et n' premiers avec /), on a

^ Si n ES n' (mod p''), on a

3* La somme £ s'étendant è tous les nombres inférieurs è p* et premiers à p, on a, dans le cas du caractère principal,

et pour tout autre caractère,

i"* La somme S s*étendant à la totalité des caractères, on a, pour un nombre n quelconque,

sauf cependant si

n ^ 1 (mod p% et, dans ce cas,

40. Subdiviiiùn det caractères en trois cloues. -^ Dans le cas d'un nombre premier, nous n*avionâ subdivisé les caraclères qu*en deux classes. Ici nous rencontrons une classe de plus :

La première classe renfermera le caractère principal seulement, comme dans le cas d'un module premier.

La deuxième classe renfermera les caractères impropres (mod p'). Nous appellerons ainsi ceux qui sont en même temps des caractères (mod />*~^), en désignant par p*'^ une puissance de p inférieure à p°^.

Pour que cette circonstance se présente, il faudra que le caractère x soit formé avec une racine co de Téquation

qui soit en même temps racine de

Si Ton désigne donc par (0| une racine primitive de la première équation, il faudra qu'on ait

Le nombre des valeurs distinctes de (o fournies par cette équation est (a — 1) (p — 1). Mais, comme nous excluons de la classe actuelle le caractère principal, on voit que le nombre des caractères impropres (mod p*) se réduit à (a — \){p — 1)— 1.

On remarquera encore que la classe qui nous occupe renfermera toujours le caractère réel formé av<*c la racine (i)>» — 1, car celui-ci étant égal è f ^] est aussi un caractère (mod p).

Enfin, la troisième classe renfermera tous les autres caractères, que nous appellerons les caractères propres (mod p^).

D'après les définitions précédentes, un caractère impropre (mod p") sera un caractère propre pour un module convenable p"'\ D'ailleurs, les nombres n premiers è p*"^ et à p" sont les mêmes, sauf pour a — X «> 0. Si donc nous laissons de côté le caractère principal, sur lequel nous reviendrons plus tard, on

voit que nous pouvons nous borner à étudier lé eas d*un caraclère propre (mod p*).

On a le théorème général suivant :

41. Théorème. — Soient, d'une part, 8 «=> p*"' e( A «=» p^ deux puissances de p; d'autre part, a e/ A deux nombres premiers à p. Soit ensuite 1 un nombre qui passe par toutes les valeurs de à 8 — l. Je dis que ton a, dans le cas d'un caractère propre (modp"=ainod8A),

2 x(« -^ 'A A, mod (TA) « 0,

En effet, les 8 nombres premiers à p :

a, a + AA, a + 2AA, ... a -*- (^ — l)AA,

sont congrus enire eux (mod A «» mod p^); d'autre part, ils sont incongrus entre eux (mod 8 A = mod p% car si Ton avait

/AA = l'A A (mod AJ), on en tirerait (A étant premier à A)

l s /' (mod â),

ce qui est impossible pour / et /' < 8.

Désignons donc les 8 indices de ces nombres par

i'o, ï'i, i'ii •. va i;

cçs indices seront congrus entre eux [mod p^** (p — l)] et incongrus [mod p^~* (p — 1)]. La suite précédente doit donc être, à Tordre près, équivalente [mod p**"* (p — 1)] è la suivante :

V Vo4-p^-*(p-1), .. + 2p^-'(p-1),.. .„^.(,y i)p-*(p-.i).

qui est la seule distincte possédant les deux propriétés indiquées. Posons donc, en abrégé,

il viendra

2 x(« -*" ^^\ n*od (JA) =a «;• r I -I- «, -f. a} 4- • • -•- uf'*\

et le second membre se met sous la forme

Le dénominateur (cof — 1) ne peut s*annuler pour un caractère propre, par définition; d*autre part, le numérateur est nul, car

»f — i — ûïP*"V*) I « 0;

donc le théorème est établi.

S 2. — Définition et propriétés des caractères (mod 2')

42. Définition des caractères (mod 2*). — Il n'y a pas de caractères (mod 2); nous supposerons donc, dans ce qui suit, c> i.

Pour tout nombre impair n, on peut poser

n = (— 1)«o^(mod2'),

où a est un des nombres (0, 1) el X un des nombres (0, 1,2, ... 2*"' — 1). A tout nombre n correspondent deux nombres a et X, déterminés d'une manière unique et qu'on appelle les indices de n (mod 2').

Dans le cas particulier où c est égal à 2 et le module à 4, on pose simplement

ns(— lf{mod4),

et les considérations relatives au nombre 5 peuvent être supprimées. Mais ce cas peut être considéré comme rentrant dans le cas général, car (c — 2) étant nul, X est nécessairement nul, et le nombre 5 ne joue aucun rôle dans le caractère détini précé-

demment. Les considérations que nous allons développer pour le cas général s*appliqueront donc encore pour c «a 3.

Désignons par et y^ des racines respectivement des deux équations

on dit que la quantité

x(n,niod2') = 6«jf^

est un caractère du nombre n (mod 2'). Nous le désignerons encore simplement par ^ ('0 ^> aucune confusion n*est possible. On forme encore des caractères différents en substituant les unes aux autres les différentes racines des équations (2). Le nombre de ces caractères différents est donc encore égal à

On appelle caractère principal celui qui est formé avec les racines «s 1, t; ca 1 . Tous les autres caractères ont encore leur module égal à Tunité. Parmi ceux-ci, il y en a encore trois qui sont réels pour tous les nombres n; ce sont ceux qui sont formés avec les racines

(•«i, iy--i), (e--4/,«i), {B 1, v«i).

Comme antérieurement, nous donnerons aux autres caractères le nom de caractères imaginaires et à ceux-ci le nom de caractères réels.

On reconnaît sans peine que les caractères (mod 2') jouissent des quatre propriétés fondamentales analogues à celles des n"^ 21 et 39. Il est inutile de les transcrire encore une fois.

Enfin, le nombre ( — 1) ayant pour indices (a = 1, X =» 0),

le caractère x( "" *» "^^ ^) ^^^ ^8*' ^ (*+" ^) ®" ^ ( — *) ^"''' vant qu*il sera formé avec la racine 9>»-»-1 ouO»» — Ide

réquation O^al.

43. Subdivision des caractères en trois classes. — Nous avons à reproduire ici les mêmes distinelions qu'au paragraphe préoé^

dent. Nous partageons les caractères (rood 2*) en trois classes : La première classe renferme le caractère principal seulement. La deuxième classe renferme les caractères impropres (modâ*).

Ce sont ceux qui sont formés avec une racine ri de Téquaiion

qui est en même temps racine de Téquation

de degré moindre. Ces caractères-là sont aussi des caractères (mod 2"^) et / est compris entre et c (limites exclues).

La troisième classe renferme les caractères propres (mod 2*). Ce sont tous les autres.

Remarques. ^ Si cs=a% les caractères (mod 4) sont formés avec les seules racines de 6* » 1. Il n*y a que deux caractères. L*un est le caractère principal ; Tautre est un caractère propre, qui est réel.

Si c B» 3, la seconde des équations (!2) devient

de sorte que les caractères (mod 8) sont encore tous réels. Us correspondent aux combinaisons de racines

La première combinaison donne le caractère principal; la seconde, un caractère impropre (mod 8), car cVst un caractère (mod 4); les deux dernières donnent des caractères propres (mod 8).

Enfin, pour une puissance de 2 supérieure à 8, tous les caractères propres sont imaginaires.

44. On peut étendre au cas actuel le théorème du n*41. Théorème. — Soient, d'une part, $ — 2*"' età = ^ deux puis»

tances de i; d'autre part, a e/ A deux nombres impairs. Soit ensuite I un nombre qui passe par toutes ies valeurs entières de Q àj — { ; ye dis que l'ofi a, dans le cas d'un caractère propre (mod AJ =« mod 2'),

2 X (« -♦- 'A A, mod âà) — 0.

La conclusion est immédiate si A>»2, car; danil ce cas, (a + / AA) représente successivement tous les résidus impairs (mod 2'), et la somme précédente s'annule en vertu d'une des quatre propriétés générales des caractères.

Supposons donc y> 1 . Les nombres

a^ a -¥- AA, a -♦- 2AA, ... a -♦- (î — i) AA

sont congrus entre eux (mod A «= mod 2^) et incongrus (mod S^ BB mod 2'). Si Ton désigne donc leurs indices (mod 2') par les suites

«0» ^IJ o't» •. «î i\

les indices a seront congrus entre eux (mod 2); en outre, les indices A seront congrus entre eux (mod 2^"') et incongrus (mod 2'"''). La suite des indices l est donc équivalente (mod 2*~') à la suite

en ne tenant pas compte de Tordre des termes. Par conséquent, si Ton pose en abrégé

il viendra

2 x(a + MA, mod <JA) =• 0«V* [^ -♦- Vi -h jfî -♦- ••• v*""*]

«= ô'^-iï^» -î^î « 0,

If, — 1

parce que ('^i — 1) est, par déflnition, différent de zéro pour un caractère propre, tandis que le numérateur

Le théorème est donc établi.

§ 3. — Définition et propriétés des caractères (mod M),

pour un module M quelconque.

46. Définition des caractères (mod M). — Décomposons M en ses facteurs premiers

Soit ensuite n un nombre premier à M. On appelle caractère de n (mod M) le produit des caractères de n selon les modules respectifs 2% je)|*% p/*, ... auxquels nous donnerons le nom de modules composants. On a, donc par définition,

X («I mod M) -« x(w, mod 2*)x(«. mod p^^*) ... .

Dans le cas où c =: 1 , comme il n'y a pas de caractère (mod 2), on supprime le premier facteur au second membre, comme dans le cas où M est impair.

Le caractères principal est celui qui est formé du produit dos caractères principaux selon tous les modules composants S% j9|"S... Nous le désignerons par ^o* 'l'^u^ '^^ caractères ont leur module égal à Tunité et leur nombre est égal à cp (M), en représentant, comme d'habitude, par 9 Tindicaleur de Gauss.

Pour un caractère ^ quelconque, on a

x( — 1,modM) = dbl, puisqu'il en est ainsi pour les modules composants.

46. Les caractères (mod M) jouissent des cinq propriétés suivantes :

I* Pour deux nombres n et n' premiers à M, on a

9* Si n 3s n' (mod M), on a ia relation

3* La somme S' s^étendant à tous les nombres premiers à M et inférieurs à M» on a» dans le cas du caractère principal,

« et pour tout autre caractère,

i* La somme S s*élendant à la totalité des caractères, on a, pour tout nombre n premier à M,

Sx('»)-0,

sauf si n^l (mod M), auquel cas

8xW-f(M).

K* Si M et M' sont deux nombres premiers entre eux et premiers i fi, on a

x(it, mod MM') s= ;^(fi, mod M)x(»> mod M')

46. Subdivision des caractères en quatre classes. — Dans le cas où M est un nombre composé, les caractères (mod M) doivent se partager eO quatre classes, comme il suit :

La première classe renferme le caractère principal.

La deuxième classe renferme les caractères formés avec des caractères principaux suivant une partie seulement des modules composants. Nous donnerons à ces caractères le nom de caractères incomplets (mod M).

Nous rangerons dans la troisième classe les caractères impropres (mod M). Ce sont ceux qui ne renferment dans leur composition aucun caractère principnl par rapport aux modules composants, mais un ou plusieurs caractères impropres.

Enfin nous rangerons dans la quatrième classe les caractères propres (mod M). Ce sont ceux qui sont exclusivement formés de caractères propres suivant tous les modules composants.

Les caractères des deux premières classes doivent exiger des considérations spéciales. Mais Pélude des caractères impropres (mod M) se ramène immédiatement à celle des caractères propres. En effet, tout caractère impropre (mod M) est un caractère propre (mod M'), en désignant par M' un diviseur de M qui contient tous les mêmes facteurs premiers et qui est, par conséquent, premier avec tous les mêmes nombres.

47. On a encore le théorème suivant, qui généralise ceux des n*"» 41 et 44.

Théorème. — Soient, (Tune part, A cf 8 deux nombres formés des mêmes facteurs premiers; de Vautre, a el A deux nombres premiers avec les précédents. Soit ensuite 1 un nombre qui passe par toutes les valeurs entières de ai — 1 ; /^ dis que l'on a, dans le cas d'un caractère propre (mod SA),

2 x(a -f- /A A, mod ^A) = 0.

/sO

Si les nombres A et S ne renferment qu*un seul facteur premier, le théorème a été démontré antérieurement [(41) et (44)]. Nous pouvons donc supposer maintenant que ces nombres renferment plusieurs facteurs premiers. Pour fixer les idées, nous supposerons qu'ils en renferment trois seulement, pn, p2, Pz, mais la démonstration sera générale. Posons donc (/}| pouvant être égal à 2)

A = pip^ph

On attribuera i / toutes les valeurs que cette qtiantité doit prendre dans la somme considérée, en posant

et en donnant à A:,, /*2* ^3 ^^^s les systèmes de valeurs compris dans le tableau

t, = 0J,2,...(pr-^ -1).

Pour établir le théorème, il suffit donc de montrer que, pour tout système particulier de valeurs de k^ et de A:,, la somme étendue à toutes les valeurs de k^

2 % (a -♦- /AA, mod ^A) == 0.

Comme on a

lecarac(ère^(a + / A A, mod SA) est égal au produit de deux autres (48, 5")

x(a -4- /AA, modpfpf)x((i -♦- /AA, raodpjf).

Le premier de ces deux caractères ne varie pas avec k^ (45, 2°) ; nous sommes donc ramenés à montrer que la somme

2 x(«-*- /AA, mod;/^)

est égale à zéro. Posons, pour simplifier,

à' = pl A' = Apfp?,

^' «= pl^"', o' ■= a -h (A-j -♦- kip})AA ;

celte dernière somme pourra s'écrire sous la forme

2 /(a' H- /A 'A', mod ^' A'), et elle s'annulera par le théorème du n* 41 .

§ 4. — Définition et propriétés des fonctions Wi (x, -^ mod M) et W^ (Xy ^ mod M) dans te cas d'un caractère propre (mod M).

48. Les fonctions qui vont nous occuper renferment, comme cas particulier, celles qui ont été définies au n° 23. Les développements que nous avons donnés alors nous permettront d abréger un peu les démonstrations du paragraphe actuel.

Nous poserons comme première définition

06 ti*Tr

Vj(x,xmodM)= 2' X(w)« " .

Y,(jr, X mod M) =- 2' X W« " •

»=— flO

Dans ces sommes, on doit donner successivement à n toutes les valeurs entières positives et négatives premières avec M. Les sommes sont alors absolument convergentes, pourvu que x soit positif.

On reconnaît, comme au n** 22, qu*il y a deux cas à distinguer :

l" Si i( — l,mod M)aa1,on a

2' Si x(— 1,mod M) = — 1, on a

On n*a donc à étudier la fonction 4^^ que si -/( — 1)= 1 et la fonction ^2 ^}^^ si y^{ — 1) = — 1.

49. Étude de W^{dc,y) quand y(— 1) = 1. On trouve, comme au n** 23, la relation

" Ik \

Dans la somme £\ il faut donner à k toutes les valeurs premières à M et inférieures à M. C'est pour cela que nous avons accentué cette somme.

Enfin, en transformant, comme au n"" 23, le second membre de Téquation (4), il vient

(5) ^,(x,xmodM) = -— r2U' "' 5' x(*) «os— — • Mais la somme

''2knn

S' /(A;) ces

s'évalue encore aisément.

1*" Si n et M ne sont pas premiers entre eux, je vais montrer que cette somme est nulle, dans Tliypothèse d'un caractère propre (mod M) dans laquelle nous nous sommes placés.

Si n est un multiple de M, la somme se réduit à

et la conclusion est immédiate (45, 3**)

Occupons-nous donc du cas plus difficile où n et M ont un plus grand facteur commun d différent de M.

Posons, n' et M' étant premiers entre eux,

M «= dM\ n = dn\

11 viendra, en groupant les termes dont les cosinus ont la même valeur,

Dans la somme intérieure

m prend toutes les valeurs inférieures à d, pour lesquelles (fc -h m M') est premier avec M. Pour établir le Ihéorème, il suffit évidemment de démontrer que cette dernière somme est nulle pour toutes les valeurs de k.

A cet effet, posons

d^où M » «^Ar/iM,,

A et S étant formes de la réunion des facteurs premiers qui sont communs à d et M'; d^ de la réunion de ceux de d qui ne divisent pas M\ et Mf de la réunion de ceux de M qui ne divisent pas c/. De la sorte, B et A renferment les mêmes facteurs premiers, et les trois nombres (8A), d^ et M| sont premiers entre eux deux à deux.

Gomme les nombres qui sont premiers à M sont les mêmes que ceux qui le sont à M'cf^, on attribuera à m toutes les valeurs que cette quantité prend dans la somme qui nous occupe, en posant

puis, en donnant dans le second membre à n toutes les valeurs inférieures à t/^ pour lesquelles (k •+- nW) est premier à M, ensuite à / toutes les valeurs de à (S — 1).

On a ainsi

m n IssO

Il suffit maintenant de montrer qu*on a, pour toute valeur particulière de n,

2 x(A:-t-»iM',modM) = 0.

Cest bien ce qui a lieu, car, comme M = (8A) dj M|, le caractère (mod M) est un produit de trois autres, qui correspondent aux trois facteurs premiers entre eux de M.

Deux de ces caractères, savoir

X (A -H mM', raod rf|), X (A; -•- mM', mod M|),

sont invariables dans la somme par rapport à /, écrite en dernier lieu. Quant à la somme des troisièmes :

2 X(*^ -«- (n -^ W,)M', mod ^A),

OÙ Ion posera, en abrégé,

MtM' = W,M,A«/AA.

elle se mettra sous la forme :

2 X (« •♦* 'A A, mod (î'A),

et elle s annule par le théorème du n* 47. Notre conclusion (1") est donc établie ; 2® Si n et M sont premiers entre eux, on a

, 2knn 1 ^, ,, , 2ftnr

Mais quand k varie, le produit kn représente, en même temps que k, le système convplet des résidus (mod M) qui sont premiers à M. Posons donc

on aura, quel que soit n premier avec M,

7 X[k) COS = T, (y).

é ^^ M xW

En substituant ces valeurs dans la formule (5), il vient

(7) . . . . r.(x.xmodM)-^-K.^-.-).

En posant, pour simplifier,

on trouve la relation fonctionnelle

1 fi \\

(9) . . . .^Fi(x,xmodM)=3fi(/J— :M', -, - .

Vx ^^ /-'

On montre ensuite, comme au n"" 23, que le module de et (y) est égal à Tunité. Cette quantité elle-mcme serait égale à un si le caractère était réel.

50. Étude de ^^3 (^> X ™^^ '^) 9^^^^ /("^O^"""^- On trouve d^abord, comme au n* 25,

(10) ... M^,(x, X mod M) = M I' X (k) h (jjj' Mx) ,

puis, par la relation fonctionnelle que vérifie la fonction W2,

{i\) Y,(x, xDiod M) = — — r 2 we "' 2' >C(*^) ^'" ~ii-*

Cette relation se simplifie comme dans le cas précédent. 1^ Si n et M ne sont pas premiers entre eux,

2'x(*)sin— ^0;

2* Si n est premier à M, on pose (12) rJx) = 2' X W sin :--;

on a alors

En substituant ces valeurs dans la formule (11), on trouve

(13) . . . M',(x,xmodM)--^MJ-, - .

On pose encore

(14) T.(x)«f.(/Jl^,

et on en déduit la relation fonctionnelle à laquelle satisfait la fonction W^ sous la forme définitive

1 (\ i\ (15) . . . Tj(x,/, modM) = ei(/J — -i^ï^î -»-•

x\/x ^^ yJ

On montre enfin, comme au n° 2S, que le module de e^ (5^) est égal à Puniié. Ce facteur lui-même serait égal à un si le caractère était réel.

§5. — Définition et propriétés des fonctions Z(s,5^), Si (s, 5^) et i, (s, y) dans le cas d'un caractère propre (mod M).

51. Nous définirons la fonction Z (5,^ mod M), pour <iR(«)> 1, par les expressions absolument convergentes

(I) . . . z(,.,) = 2'?^=n(i-^^Jr'

où n désigne successivement tous les nombres entiers premiers à M et 9 tous les nombres premiers qui ne divisent pas M.

L'expression de Z («, ^) en produit infini montre que celle fonction ne peut s'annuler pour ,îR(s)>1. Pour ^(«)=aii» le

produit cesse de converger : on ne peut donc pas affirmer, sans plus ample examen, que la fonction Z{8, ^) ne peut pas s'annuler pour des valeurs de s dont la partie réelle est égale à un. Nous ferons cette démonstration dans un chapitre ultérieur.

La série (i), au contraire, converge (mais non absolument) pour (!)\(j)>0. Nous n'insisterons pas sur cette circonstance qui ne nous servira pas, et nous allons, dans le paragraphe actuel, établir la relation fonctionnelle à laquelle satisfait la fonction Z(8, ^ mod M) dans le cas d'un caractère propre (mod M). Cette relation a été trouvée par M. Lipschitz, qui Ta obtenue directement (*). Il nous parait plus simple de la rattacher aux propriétés des fonctions Y| et ^2 ^ti paragraphe précédent.

62. La fonction Z(5, ^), comme nous Pavons déjà vu au n^ 29, jouit de propriétés très distinctes, suivantque^( — 1)=-h 1 ou — 1. Suivant l'un ou l'autre de ces deux cas, la fonction se ramène à la fonction W^ ou ^2-

!• Si ^( — 1) = 1, on définit, comme au n* 30, une nouvelle fonction î^ («,^) par Téquation

(2) . . . Ç,(«,xraodM)«(^)'^"r[î)zOsx), qui ramène Z à ^t. Puis au moyen de la relation