Objet de la première partie du mémoire. — La formule
.(.)=.n(.-Lr
montre déjà que la fonction ^{s) ne peut s*annuler pour ^(«)>l9 car le produit infini est convergent dans cette hypothèse. Mais on ne peut pas en conclure que la fonction ne puisse s'annuler pour une valeur de la forme
dans laquelle iR(s)=1, car, pour une valeur semblable, la série
2à ^i+Bi'
étendue aux nombres premiers, n*est pas absolument convergente, et il devient difficile de reconnaître si elle a une valeur finie. Dès lors, on ne peut affirmer, sans démonstration nouvelle, que le produit infini ne tend pas vers zéro, quand on fait tendre s vers une valeur de celte forme. A notre connaissance même, cette démonstration n*a pas été faite jusqu'à présent. L'objet essentiel de cette partie du mémoire sera de la fournir. Nous établirons donc avec une entière rigueur que la fonction Ç (s) n'a pas de racines de la forme 1 -4- ^t, et nous en déduirons quelques conséquences asymptotiques importantes pour la théorie des nombres premiers.
Auparavant, nous allons rappeler quelques résultats bien connus aujourd'hui et qui seront indispensables dans la suite.
3. Eocpression de Ç (s) pour <!R(5)> 0. — Les formules (1) ne sont valables que pour ((R(«)> 1. Il convient donc d'en trouver d'autres capables de fournir le prolongement analytique de la fonction. On en obtient une qui peut éire utile (*) par le raisonnement très élémentaire que voici :
On a par une simple intégration par parties, portant sur dx :
/* dx i /^* xdx
La substitution de cette valeur de (n + 1) ' dans l'expression de Ç(«) pour <!R («) > 1 , donne
Cette expression se simplifie, parce que Ton a
^ r' dx ^ r'^dx ^ \ Û\J (n -♦- x)* J x' s — i '
et il vient finalement
s u— » ^J (n + xr'J
La . série du second membre est absolument convergente, pourvu que S{. (s) soit plus grand que zéro. Le second membre de réquation (2) nous fournit donc une définition de ^{s) applicable à toute la portion du plan située à droite de Taxe imagi-
er) J'ai déjà atilisé cette formule dans un mémoire présenté récemment à l'Académie royale de Belgique : Démonstration simplifiée du théorème de Dirichlet sur ta progression arithmétique.
naire. On peut en dédufreimmédialemenl plusieurs conséquences importantes :
1** La fonction 'C,(s) est mëromorplie pour (^ (s) > et possède, dans cette région, un pôle unique et simple « = 1 ;
2*" Si i on attribue à s une valeur réelle, positive, intermédiaire entre zéro et un, le second membre de Téquation (2) sera négatif et '(^(s) ne pourra s'annuler;
5" Si Ç(«) possède des racines dont la partie réelle est plus grande que zéro, ces racines seront nécessairement imaginaires et conjuguées deux à deux.
4. Relation fonctionnelle de Riemann (*) et Schlômilch. Définition de Ç (s) pour S{ (s) < 0. — La fonction $(«) satisfait à une relation fonctionnelle qui constitue la propriété la plus remarquable de celte fonction et qui est la suivante :
2 Sx-
(3) ^-{^ - s) :=^ ■— cos-^ Y (s)t;(s).
Celte relation, comme le remarque Riemann, peut s'exprimer par ce fait que la fonction
reste invariable par le changement de ^ en 1 — s.
La formule (3) achève de définir ^(«) comme fonction uniforme de s dans tout le plan, car elle exprime Ç(«) pour <!R (s) négatif, en fonction de Ç (s) pour S{ (s) positif, qui est une fonction connue.
La formule (3) peut aussi se mettre sous la forme ,
= COS — I (s),
Ç(s) (in)' 2 ^"
(V Ueber die Anzahl der Primzahlen unier einer gegebenen Grosse, Werke (Leipzig, 1876), pp. 136 et suiv.
et elle renferme des conséquences importantes relatives aux zéros de }^(s). Le second membre de la dernière équation devient infini si s est égal à zéro ou à un nombre pair négatif — 2m, et il ne le devient que dans ce cas. Donc si Ton suppose S{ (s) < 0, Ç(1 — s) ne pouvant s'annuler, on voit que ^(s) n*aura que des racines réelles comprises dans la formule
Nous les appellerons les racines réelles de ^(j). En dehors de celles-là, toute racine de li(s) devra être aussi une racine de i;(l — s). Donc ^ (s) ne pourra plus avoir que des racines imaginaires conjuguées deux à deux (n*" 3, 3*) et dont la partie réelle doit être comprise entre zéro et un (limites non exclues jusqu'à présent). Nous les appellerons les racines imaginaires de Ç (s) et nous y reviendrons dans un instant.
5. Définition de la fonction i (/). — Riemann ramène la fonction ï,{s) è une fonction plus simple, qu'il désigne par ^ (/). Celle-ci est holomorphe dans toute l'étendue du plan et elle est liée à Z(s) par la relation
t(o-'-^^wrË)^--
La fonction ^{t) peut être définie directement, pour toute valeur de ^ par la formule
?(0 = ~ («• -^l) f H^)^" "*cos (^logxj dx
«al
La formule (4) met aussi en pleine lumière le caractère analytique de ^ (s) et en fait connaître les principales propriétés. Elle
nous montre que si ^ (s) a des racines imaginaires, elles doivent correspondre à des racines de ^ (i). Cette formule ramène donc rétnde des zéros de ^(s) à celle des zéros de I (t), sur lesquels nous allons porter maintenant notre attention.
6. Existence des racines de { (t). — La fonction i (t) possède une infinité de racines, que Ton désigne en général par la lettre a et dont Texistence a été mise hors de doute par M» Hadamard dans un mémoire fondamental (*).
La formule (5) montre que l{t) est une fonction paire de t; par conséquent, les racines a de ^ (t) seront deux à deux égales et de signes contraires. La loi de croissance des modules de ces racines est d'une extrême importance. Cette loi soupçonnée par Riemann a été rigoureusement démontrée par M. Hadamard et peut s'exprimer comme il suit :
Supposons que Ton range les racines a (deux à deux égales et de signes contraires) par ordre de modules croissants
et désignons par p^ le module de a^, p^ vérifiera une relation de la forme
logp
dans laquelle k reste compris entre deux limites positives indépendantes de p. On a, en particulier,
Nous aurons à utiliser ce résultat, mais sous une forme un peu différente. On conclut de ce qui précède que la série
pi Pf PP
(') Étude sur les propriétés des fonctions entières et en particulier d'une fonction considérée par Riemann. JOURNAL de MATHÉMATIQUES, 1893.
étendue à tous les modules successifs des rs^cines a, est absolument convergente pourvu que Ton ait w> \ (régalité étant exclue). Or il est clair que ce résultat subsistera sans changement, si les quantités p^ au lieu d*étre les modules des racines de i(0 représentent les modules des racines correspondantes de Ç (s)^ car, ces racines étant liées par la relation
leurs modules seront des quantités du même ordre de grandeur.
7. Genre de la fonction Ç {t). Expressions de 5 [t) en produit infini et de log l(t)en série. — M. Hadamard déduit des résultats précédents que la fonction ^ (t) est du genre zéro en t^, c*est-âdire qu'elle peut se développer en un produit de facteurs primaires
sans aucun facteur exponentiel. On sait d'ailleurs que ce produit sera uniformément convergent dans toute région déterminée du plan.
On tire de Téquation précédente
(6) . . . . logÇ(0 = logÇ(O)-H2*«g(*-^• Nous avons intérêt, pour simplifier récriture, à exprimer le second membre au moyen de la variable s^ et la chose est facile. On a, en effet,
iog(i-g=iog(i.^)-.iog(i-=i)
= [logt(a — — logai]-4-[logt(— a — — Iog(— a»)]»
et, par la substitution
— it = s,
cela se réduit à
Jog (l — -J =*<^«(2""* ■*" **j ■*" '^8 (i""* — ^ "■
log
log f i — •; ^-f- log/i —
Substituons ce résultai dans la formule (6). Nous obtiendrons le développement suivant, qui sera absolument et uniformément convergent dans toute région ne contenant pas de racines :
(7) log f (0 = C + 2
Jog / i —
log/i
at
8. Expression correspondante de D log (^ (s). — Remarquons d'abord que la formule (7) peut se mettre sous une forme plus simple et beaucoup plus avantageuse au point de vue qui nous occupe. Les quantités^ ^ h- ai\y /| — ai) ne sont autre chose que les racines imaginaires de t^(s). Dans toute la suite du mémoire, nous conviendrons de représenter ces racines tout simplement par la lettre p. La formule (7) peut alors s'écrire
(8) . . . . iogÇ(0-C-^2'^g(^--)'
pourvu que, dans cette somme, on range les racines p dans le même ordre que les racines a dans Péquation (7). Pour cela, il suffit de les ranger par ordre de modules croissants, de manière à introduire simultanément celles qui auraient le même module. Revenons maintenante la formule (4) qui s'écrit encore
On en tire
e I fa \ -.'
m — 2-Ç(»)r(2-Hi]T~'".
log Ç («)=.- log îr — log —
— iogr(-
log $|l).
et, par la formule (8),
logîW — C + -logr — log -^
-iogr(î-hiJ-*.2iog(i~-)
Différencions cette équation, ce qui se fait sans difficulté à cause de Tuniformité de la convergence. Il vient
(iO) 4T = :^log^ DIogr Uh- I -H 5
Cest la forniule qui va jouer le rôle essentiel dans notre démonstration, et il nous était indispensable de rappeler comment elle s*obtient. La somme S du second membre s*étend h toutes les racines imaginaires de Z (^) rangées par ordre de modules croissants, et il s'agira plus tard de prouver qu'aucune de ces racines n'est de la forme 1 -+- P«.
9. Racine8 multiples hypothétiques de ^ (s). — Rien ne permet d'affirmer jusqu'à présent que la fonction 1^ (s) n'a pas de racines multiples. S'il y avait une racine p multiple, il faudrait dans la somme £ de la formule (10) répéter le terme j^ un nombre de fois égal à l'ordre de multiplicité de cette racine.
On peut toutefois montrer, dès à présent, que si, par impossible, une racine p était de la forme I + ^i, elle ne pourrait pas être multiple.
La formule (1) donne, en effet, pour a(\ («) > 1,
D'autre part, la théorie des fonctions nous apprend que l'ordre de multiplicité l d'une racine p est égal à l'expression
X = lim (« — p)D log ç(«),
qui se réduit par la décomposition précédente, pour <iR(5) > i, à
Si p = 1 H- /3t , on aura donc
Ip
A = — lira f'S
Nous savons aussi que le point 8^=\ eât un pôle simple de S («)> et que, par conséquent,
lim (s - 1 ) D log t (s) = lira f 5 -^.
Or, tous les termes de cette dernière somme sont les modules des termes de la somme qui intervient dans la valeur de X. Donc X ne peut surpasser cette somme, et comme celle-ci est égale à Tunité, «Bsp ne peut être qu*un zéro simple.
