CALCUL ET PROPRIÉTÉS DE PLUSIEURS INTÉGRALES DÉFINIES

§ 1 . — Élude de Vinlégrale — / y'

ds

a bi

10. L'Intégrale dont nous allons nous occuper dans le paragraphe aciuel est bien connue, et ses propriétés, quand b tend vers Finfini, sont une source féconde de transformations analytiques dont nous allons profiter. Les géomètres qui les ont utilisées n*ont pas toujours pris les précautions nécessaires pour ne laisser flotter aucun doute sur l'exactitude des résultats qu'ils ont obtenus. C est ainsi que Ton rencontre souvent des changements d'ordre d'intégration, et des intégrations de série terme

par terme, même entre des limites inOnies, qui ne sont pas justifiées, et dont la justification, parfois inabordable, est souvent plus difficile que les auteurs ne semblent le supposer (*).

Afin de prévenir le même reproche, nous allons, dans ce paragraphe, déterminer les limites supérieures de Tintégrale en question dans différentes hypothèses qui se présenteront plus tard. Nous commencerons par la ramener à une autre, qui est étroitement liée à la théorie des séries ^de Fourier et dont les propriétés sont plus faciles à dégager.

11. Théorème. — Désignons par s une variable imaginaire^ para, b et y des quantités réelles^ enfin par k une quantité réelle ou imaginaire mais telle que l'on ait

je dis qu'on aura la relation

a-t-M ty

^ r ds \ ./*..„. sin 6*

'" ■ • ■ù/yé--\^f^'^

dt.

Démonstration. Posons la relation

i /* ds

On en tire, en différentiant,

^.. / X 1 /* j t * . ^ ^* I sin bly

(*) Je vise tout particulièrement ici l'ouvrage de M. P. Bachmann, excellent à d'autres points de vue, Die analytische Zahlentheorie, Leipzig, i894. — La thèse de M. Gahen Sur la fonction Ç {s) de Riemann (Paris^ 1894} soulève les mêmes critiques.

Dans riiypolhèse faite sur a + /r, /*(0) = 0; par conséquent, la relation précédente donnera par intégration

Enfin, en changeant la variable d'intégration par la relation ly s= /, il vient

et cette équation équivaut à I équation (1).