Six

64. Les deux formules précédentes mettent en évidence la propriété fonctionnelle des fonctions i| et ^21 comme on Ta vu encore au n^ 31. On a

loSix{-l) = l, 2-Six(-l)^ ^

doù le théorème suivant :

Les fonctions Ç^ (s, 5^) siy^( — 1 )=»1, om $2 (s, y) siy^l — 1)= — 1, se reproduisent respectivement, multipliées par un facteur indépendant de s et de module égal à un, par le changement simultané de s en (1 — s) et de -^ en ^- Dans le cas particulier d'un caractère ^ réel, ces fonctions se reproduisent simplement par le changement de sen (l — s).

55. Remarque. — Ce résultat peut encore s*énoncer comme il suit : Si ^ ( — 1)s=>ly le produit

ou, si ^ ( — 1) = — 1 , le produit

U(S,x)^Asy -b

demeurent invariables par le changement de « en (1 — s).

56. Conséquences relatives aux zéros de Ç^ et^^. — Les théorèmes précédents conduisent identiquement aux conclusions développées au n* 33 et que nous pouvons, par conséquent, nous contenter d'énoncer ici :

Si les fonctions €f ou ^ ont des racines, ce sont nécessairement des racines de Z et ces racines ont nécessairement leur

partie réelle comprise entre zéro et un (limites non exclues jusqu*à présent).

67. Genre des fonctions S| (s, y) ou I2 (s» y)' — L«a démonstration que nous avons faite au chapitre précédent, § 4, s'applique sans changement au cas général, et nous pouvons énoncer les conclusions suivantes :

Les fonctions 5|(«,x^ si^(— l)=I,ou ?3(s,x)5'x( — *)^^ — *» sont des fonctions entières du premier genre. Elles ont une infinité de racines dont la partie réelle est comprise entre zéro et un (limites non exclues jusqu'à présent). Enfin, si Ton désigne en général par p les racines d'une de ces fonctions, la série étendue à toutes ces racines

^ (mod p)* sera convergente pour ky \^ divergente pour A = i .

68. Genre de Z (s, -£), Racines de cette fonction. — Dans tous les cas, Z («, ^) se présente comme un produit de trois fonctions du premier genre :

Pour ^ ( — 1 ) = 1 , on a

'^*"^"(^^^iîï''^'"'

Pourri— <) — — 1,

^^''^^-{^''Zi^\''^'^'-^

Donc la fonction Z est une fonction du premier genre. Cette fonction a une infinité de racines dont les parties réelles ne peuvent surpasser Ttmité. Ce sont d'abord tous les pôles de r (Q si ^(— 1 ) = r ou bien tous ceux de T {*-^) si x(— ^ )^^ — ^ • En outre, une infinité de racines dont la partie réelle est corn-

prise entre zéro et un, et qui sont celles de S| ou de ^2 suivant l^e cas. Dans la suite, nous n'aurons aucune raison de distinguer ces racines les unes des autres. C*est pourquoi nous représenterons en général les racines de Z (s, j) par p (^) sans distinction.

Il est encore inriportant-de remarquer que, pour les racines p (^) ainsi définies, la série

^[modpix)]*

étendue à toutes ces racines, sera encore convergente pour A: > 1 , car cette proposition est vraie respectivement pour les deux catégories de racines qui avaient été distinguées précédemment.

^ 6. — Propriétés de la fonction Z (s, ^) dans le cas d\tn caractère quelconque (mod M).

59. Si ^ est un caractère propre (mod M), les propriétés de la fonction Z (s, y) ont été étudiées au paragraphe précédent.

Si ^ est un caractère impropre (mod M), nous savons que ^ sera un caractère propre (mod M'), en désignant par M' un certain diviseur de M, et Ton a

Z(s, X mod M) = Z(s, X mod M').

On est donc immédiatement ramené au cas précédent. Nous n'avons donc plus à examiner que le cas d'un caractère incomplet (mod M) et celui du caractère principal.