Cas d*un caractère incomplet (mod M). Supposons que

Ton ait

M = 2'/)f /)?• . . . fi?*.

Un caractère incomplet renferme, par définition, dans sa composition plusieurs caractères principaux par rapport aux modules composants. Pour fixer les idées, supposons que ce soit

— espar rapport è pf\ ;>?% ... /^f*. Le caractère ^ sera un caractère propre ou impropre pour le module

Or la fonction

ZKxmodM) = n(l-^(?:^')

ne diffère de

„/ /(g, modM,)\"*

7' que par la suppression des facteurs

/ /.(p,modM,) \-'^

relatifs aux nombres premiers p qui divisent JM sans diviser M|. Désignons donc par

^s,^)^n(i-6^!^iJ^)

le produit des inverses de ces facteurs qui sont en nombre limité. Gomme les facteurs qui le composent, A (s, ^) sera une fonction entière dans toute retendue du plan, elle sera du premier genre et admettra une infinité de racines dont la partie réelle sera nulle.

On aura

Z(s. X mod M) = A(«, x)Z(s, x raod M,).

Donc la fonction Z (s, ^ i^od M) sera encore une fonction entière du premier genre comme les deux facteurs qui la composent. Cette fonction aura une infinité de racines dont la partie réelle ne peut surpasser Tunité; seulement, dans le cas actuel, une infinité de racines sont situées sur Taxe imaginaire. Nous représenterons dorénavant toutes ces racines, sans distinction de

catégorie, par p (y). On voit d'ailleurs iminédiaiemenl que la série

étendue à toutes ces racines, est encore convergente pourvu que Ton ait fc > 1.