Cas du caractère principal (mod M). La réduction est

analogue à la précédente dans le cas du caraclère principal. La

fonction

Z {s, xo mod M)

ne diffère de la fonction

de Riemann que par la suppression des facteurs relatifs aux nombres premiers % p^y pji ••• ^^i divisent M. Désignons donc par

A(., Xo) = n (i - i)

le produit des inverses de ces facteurs. On aura

Z (s, X.I mod M) = A (s, xo) ^ «)•

Quant à A {s, -^q), c'est une fonction entière du premier genre, qui possède une infînité de racines situées sur Taxe imaginaire des différentes formes

^kni ^kîzi ^kni

t"! Ipi Ip

La fonction Z (s, ^q) possède donc un pôle simple 5 = 1. Mais le produit

(s--1)Z(s,Xo)

est une fonction entière dans toute retendue du plan et du pre-

mier genre qui possède, outre les racines de Ç (s\ une infinité de racines situées sur Taxe imaginaire. Nous représenterons dorénavant ces racines sans distinction par p (^q)* 1' ^^^ important de remarquer que la série

étendue à toutes ces racines, sera encore absolument convergente pour A: > 1 .

62. En résumé donc, on voit que la fonction (« — 1)Z(«,5^o) dans le cas du caractère principal, et les fonctions Z(5, x) dans le cas d*un autre caractère, sont des fonctions entières du premier genre. Ces fonctions admettent une infinité de racines dont la partie réelle ne peut surpasser Tunité, et si Ion désigne respec-* tivemenl ces racines par p (5^), dans tous les cas, le? séries

[mod |5(x)]* seront absolument convergentes pour A: > 1.